1 Decaimiento radioactivo. E: El uranio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si M1 y M2 gramos están presentes en los instantes t1 y t2 , respectivamente, mostrar que la vida media del uranio es .t2 t1 /.ln 2/ tm D : ln M1 ln M2 D: H Si M.t/ es el número de gramos de uranio en el instante de tiempo t 0, entonces: M.t1 / D M1 & M.t2 / D M2 : Suponiendo que M0 es la cantidad inicial de uranio, el número M.t/ está dado por la solución del PVI: M 0 .t/ D kM.t/; con M.0/ D M0 y además M.t1 / D M1 & M.t2 / D M2 : Resolvemos este problema. Z Z M 0 .t/ M 0 .t/ Dk ) dt D k dt ) ln M.t/ D k t C C ) M .t/ D kM.t/ ) M.t/ M.t/ ) M.t/ D e ktCC D e kt e C D e kt C ) M.t/ D C e kt : 0 Ahora: M.0/ D M0 ) C e 0 D M0 ) C D M0 ) M.t/ D M0 e kt : Además: M.t1 / D M0 e kt1 D M1 & M.t2 / D M0 e kt2 D M2 ) M2 M0 e kt2 e kt2 D D D e kt2 kt1 D e k.t2 t1 / ) M1 M0 e kt1 e kt1 M2 ln M2 ln M1 ) k.t2 t1 / D ln ) kD : M1 t2 t1 ) Si tm es la vida media del uranio, entonces se tiene que 1 1 1 M.tm / D M0 ) M0 e ktm D M0 ) e ktm D ) 2 2 2 1 ln M2 ln M1 D ln 2; como k D ) ) k tm D ln 2 t2 t1 ln M2 ln M1 .t2 t1 / ln 2 .t2 t1 / ln 2 ) .tm / D ln 2 ) tm D D : t2 t1 ln M2 ln M1 ln M1 ln M2 7. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010