Ley de Stefan

Ley de Stefan-Boltzmann
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Ley de Stefan-Boltzmann
La ley de Stefan-Boltzmann establece que un cuerpo
negro emite radiación térmica con una potencia
emisiva hemisférica total (W/m²) proporcional a la
cuarta potencia de su temperatura:
Donde Te es la temperatura efectiva, es decir, la
temperatura absoluta de la superficie y sigma es la
constante
de
Stefan-Boltzmann:
Esta potencia emisiva de un cuerpo negro (o radiador
ideal) supone un límite superior para la potencia
emitida por los cuerpos reales.
La potencia emisiva superficial de una superficie real
es menor que el de un cuerpo negro a la misma
temperatura y está dada por:
Gráfica de una función de la energía total emitida por un cuerpo
negro
, proporcional a su temperatura termodinámica
. En
azul está la energía total de acuerdo con la aproximación de Wien,
Donde epsilon (ε) es una propiedad radiactiva de la
superficie denominada emisividad. Con valores en el
rango 0 ≤ ε ≤ 1, esta propiedad es la relación entre la
radiación emitida por una superficie real y la emitida por el cuerpo negro a la misma temperatura. Esto depende
marcadamente del material de la superficie y de su acabado, de la longitud de onda, y de la temperatura de la
superficie.
Demostración
Demostración matemática
Esta ley no es más que la integración de la distribución de Planck a lo largo de todas las longitudes de onda del
espectro de frecuencias:
Donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:
Puede demostrarse haciendo la integral que:
Por lo que la constante de Stefan-Boltzmann depende de otras constantes fundamentales en la forma:
Ley de Stefan-Boltzmann
Experimento del cubo de Leslie
La ley de Stefan-Boltzmann queda bastante clara con el experimento del cubo de Leslie:
En general en la emisión radiante a altas temperaturas se desprecia el efecto de la temperatura del orden de la
temperatura ambiente a la que se encuentran los objetos circundantes. Sin embargo debemos tener en cuenta que esta
práctica estudia esta ley a bajas temperaturas para las cuales no se puede obviar la temperatura ambiente. Esto hace
ver que como el detector del sensor de radiación (una termopila no está a 0 K) irradia energía radiante y una
intensidad proporcional a ésta es la que mide, luego si la despreciamos estamos falseando el resultado. Su radiación
se puede cuantificar de forma proporcional a su temperatura absoluta a la cuarta potencia:
De esta forma podemos conocer la radiación neta que mide a partir del voltaje generado por el sensor sabiendo que
es proporcional a la diferencia de radiación entre la absorbida y la emitida, es decir:
Por último haciendo una serie de suposiciones, como puede ser evitar que el sensor se vea influenciado por la
radiación del cubo de Leslie cuando no sea necesario, tomar mediciones (podemos alejarlo), y sólo entonces
podremos considerar que la temperatura del detector es la del ambiente. Con alejarlo cuando sea innecesario esta
hipótesis puede ser suficiente.
Ejemplos
Primera determinación de la temperatura del Sol
Utilizando su ley Stefan determinó la temperatura de la superficie del Sol. Tomó los datos de Charles Soret
(1854–1904) que determinó que la densidad del flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad del flujo
de energía de una fina placa de metal caliente. Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo de la medición
que permitía verla con el mismo ángulo que se vería el Sol desde la Tierra. Soret estimó que la temperatura de la
placa era aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan pensó que el flujo de energía del Sol es absorbido en parte
por la atmósfera terrestre, y tomó para el flujo de energía del Sol un valor 3/2 veces mayor, a saber
Las medidas precisas de la absorción atmosférica no se realizaron hasta 1888 y 1904. La temperatura que Stefan
obtuvo era un valor intermedio de los anteriores, 1950 °C ( 2223 K). Como 2,574 = 43,5, la ley de Stephan nos dice
que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de una placa de metal, así que Stefan consiguió un
valor para la temperatura de la superficie del Sol de 5713 K (el valor moderno es 5780 K). Éste fue el primer valor
sensato para la temperatura del Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan pequeños como 1800 °C o tan altos
como 13.000.000 °C. El valor de 1800 °C fue hallado por Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838. Si
nosotros concentramos la luz del Sol con una lente, podemos calentar un sólido hasta los 1800 °C.
Las temperaturas y radios de las estrellas
La temperatura de las estrellas puede obtenerse suponiendo que emiten radiación como un cuerpo negro de manera
similar que nuestro Sol. La luminosidad L de la estrella vale:
donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann , R es el radio estelar y T es la temperatura de la estrella.
Esta misma fórmula puede usarse para computar el radio aproximado de una estrella de la secuencia principal y, por
tanto, similar al Sol:
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Ley de Stefan-Boltzmann
donde
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es el radio solar.
Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos puede inferir los radios de las estrellas fácilmente. La ley también
se usa en la termodinámica de un agujero negro en la llamada radiación de Hawking.
La temperatura de la Tierra
Podemos calcular la temperatura de la Tierra
igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la
Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su
temperatura
. A la distancia de la Tierra a0 (unidad astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre
la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio a0. Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación
pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una
temperatura
con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4. Por ello:
donde
es el radio del Sol. Por ello:
Resulta una temperatura de 5 °C. La temperatura real es de 15 °C.
Resumiendo: La distancia del Sol a la Tierra es 215 veces el radio del Sol, reduciendo la energía por metro cuadrado
por un factor que es el cuadrado de esa cantidad, es decir 46.225. Teniendo en cuenta que la sección que interfiere la
energía tiene un área que es 1/4 de su superficie, vemos que disminuye en 184.900 veces. La relación entre la
temperatura del Sol y la Tierra es por tanto 20,7, ya que 20,7 4 es 184.900 veces.
Esto muestra aproximadamente por qué T ~ 278 K es la temperatura de nuestro mundo. El cambio más ligero de la
distancia del Sol podría cambiar la temperatura media de la Tierra.
En el cálculo anterior hay dos defectos. Parte de la energía solar es reflejada por la Tierra que es lo que se denomina
albedo y esto disminuye la temperatura de la Tierra hecho por el cálculo anterior hasta -18 °C y parte de la energía
radiada por la Tierra que tiene una longitud larga, entre 3 y 80 micras, es absorbida por ciertos gases llamados "de
efecto invernadero", calentando la atmósfera hasta la temperatura actual. El llamado efecto invernadero es entonces,
vital para la vida en el planeta.
Para calcular la constante solar o energía emitida por el Sol por unidad de tiempo y área a la distancia de la Tierra
basta con dividir esta energía por 46.225 resulta:
Intercambios radiativos entre cuerpos negros
El flujo de calor se obtiene de la siguiente manera:
Para el cálculo de intercambios radiativos de dos cuerpos negros, hay que afectar a la expresión anterior por el
llamado factor de forma F, el cual indica que fracción de la energía total emitida por una superficie es interceptada
(absorbida, reflejada o transmitida) por otra superficie, es un concepto puramente geométrico. La expresión final es
de la forma:
Ley de Stefan-Boltzmann
Hay que tener en cuenta que se cumple
Para superficies reales (con emisividad menor a 1) hay que tener en cuenta que además de emitir, la superficie refleja
energía, para ello se define J como la radiosidad, que es la suma de la energía emitida y la reflejada.
En el caso particular de un cuerpo negro se cumple que
Ejemplo:
Para una cavidad cerrada compuesta por dos superficies reales, el intercambio radiativo es:
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Fuentes y contribuyentes del artículo
Fuentes y contribuyentes del artículo
Ley de Stefan-Boltzmann Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=70234560 Contribuyentes: 19jp87, Ascánder, Cuat, Diegusjaimes, Dodo, Gustronico, Jkbw, Laura Fiorucci,
Maldoror, Metronomo, Miquelmama, Mpeinadopa, Ninrouter, Quesada, Rafa3040, Ricardogpn, Tamorlan, Urdangaray, Xenoforme, Xgarciaf, 53 ediciones anónimas
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