Los números complejos a + bi Los números complejos se pueden representar por expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales, i se conoce como un número imaginario definido como i complejo consta de una parte real y una imaginaria. 1 . Por lo tanto un número Ejemplos de números imaginarios: 2+15i, -6+7i, 4-3i Los números imaginarios se pueden manipular de la misma manera que un número real , es decir, los podemos 1 , entonces es cierto que i2 = -1. Observa que easto no sumar, restar, multiplicar o dividir. Ya que i es posible en los números reales ya que cualquier número real elevado al cuadrado da como resultado un número positivo. Decimos que dos números complejos a + bi y c + di son iguales, a + bi = c + di, si y sólo si a =c y b =d. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se definen como si todas las letras representaran números reales, con la condición adicional de que cada vez que aparezca i2 se sustituya por -1. Suma y resta de dos números complejos a + bi y c + di : Suma (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i Ejemplo (3 + 2i) + (-4+i) = (3-4) + (2i+i) = -1 + 3i Resta (a+bi) - (c+di) = (a+c) + (-b+-d) i Ejemplo (3 + 2i) - (-4+i) =(3+2i + 4 - i= 7 + i Multiplicación de dos números complejos a + bi y c + di es dada por (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad +bc) i. Se aplica la propiedad distributiva como si estruvieras multiplicando dos binomios. (3+2i)(-4+i)=3(-4)+3i - 8i+2i2 = -12 - 5i + 2 (-1) = -14 - 5i Práctica (7 i)( 2 5i) Podemos considerar a los números reales como un subconjunto de los números complejos, identificando el número real a con el complejo a + 0i. Ejemplo El número 8 es un número complejo ya que su expresión como tal es 8+0i. Un número complejo de la forma 0 + bi se abrevia bi. Los números complejos aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones de la forma f(x) = 0, donde f(x) es un polinomio. Por ejemplo, si únicamente se admiten raíces reales, entonces la ecuación x2 = - 4 no tiene solución. Sin embargo, si se admiten números complejos como raíces, entonces la ecuación tiene la solución 2i, ya que (2i)2 = 22i2 = 4 (-1) = -4. También -2i es una solución de x2 = -4. Como i2 = -1, a veces usamos el símbolo 13 = 1 en lugar de i y escribimos 13 i, 2 + 25 = 2 + 5i Las raíces de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, están dadas por la fórmula cuadrática x= b2 2a b 4 ac Si b2 - 4ac < 0, entonces las raíces son números complejos. Por ejemplo, si aplicamos la formula cuadrática a la ecuación x2 - 4x + 13 = 0, obtenemos 36 = 4 ± 6i x= 4 2 2 Por lo tanto, esta ecuación tiene las dos raíces complejas: 2 + 3i y 2 - 3i. Conjugado de un número complejo Sea a+bi un número complejo al que llamaremos z, es decir, z = a+bi , el conjugado de z se le llama z y es dado por a - bi . Ejemplos El conjugado de 3-16i es 3+16i. El conjugado de -5+2i es -5-2i. Multiplicación de un número complejo y su conjugado: (a bi)( a bi) a2 b2 *El producto de un número complejo y su conjugado es un número real. Ejemplos (5 2i)( 5 2i) ( 3 i)( 3 i) Práctica (7 2i)(7 2i) 52 22 ( 3) 2 25 12 4 29 9 1 10 División de números complejos En una división el divisor (denominador) no puede ser un número complejo por lo tanto lo eliminamos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del divisor. 3 + 2i 2-i Ejemplo 1 = (3+2i)(2+i) = 6 + 7i +2i2 = 6+7i+2(-1) = 4+7i = 4 + 7 i (2-i) (2+i) 4 - i2 4-(-1) 5 5 5 Ejemplo 2 3 2i 4 i (3+2i)(4+i) = 12 +11i+2i2 = 12+11i-2 =10+11i (4-i) (4+i) 16 - i2 16-(-1) 17 Lleva a cabo la división y expresa la respuesta en la forma a + bi. (A) 3 i 3i (B) 3 2i 2 i Respuesta: A) 1 2 i 3 3 B) 4 7 + i 5 5 Práctica (A) 3+i 2i (B) 2 + 4i 3 + 2i Radicales cuyas raíces no son reales a = a i para a > 0 9 (9 )( 1) Escribe en la forma a+bi: (A) 4 (B) 4 + 40 (C) 3 7 2 9 1 3i Solución: (A) 4 = i 4 = 2i (B) 4 + 40 = 4 + i 40 = 4 +i 4 ∙ 10 = 4 + 2i 10 (C) - 3 - √-7 = -3 - i√ 7 = -3 -√7 2 2 2 2 Práctica Simplifica: (A) (3+2i)+(2-i) (B) (3+2i)-(2-i) (C) (3+2i)(2-i) (D) (2-3i)2 - (4i)2 Solución (A) (3+2i) + (6-4i) (C) (2-4i)(3+2i) (B) (3-5i)-(1-3i) (D) (3i)2 - (3-2i)2 Representación gráfica de los números complejos Plano complejo _ Eje imaginario (b) a=2 b=1 _ _ Eje real (a) 2+i | | Así como el valor absoluto de un número x , en la recta real es la distancia desde ese número al cero, el módulo de un número complejo es la distancia desde el punto y el origen del plano. Representa gráficamente los siguientes números complejos. y 15 (A) 3+2i (B) -15-8i 10 (C) -7+5i (D) 4-9i 5 x -15 -10 -5 5 -5 -10 -15 10 15 (E) 5i (F) -4i El módulo de un número complejo a 2 Eje imaginario (b) bi ; es dado por a bi 2 r | a bi | a b Es decir, es la distancia desde el punto hasta el origen del plano. r Eje real (a) b a Ejemplo El módulo de 6+8i es r | 6 62 8i | 82 36 64 100 10 Dibuja los siguientes puntos y calcula sus respectivos módulo. (A) 5-2i (B) -3+i (C) 1+i y 15 10 5 x -15 -10 -5 5 -5 -10 -15 10 15