Sesión 1.

Unidad I: Números Complejos
Objetivo específico 1: Al finalizar esta unidad, el alumno estará en condiciones de:
diferenciar entre un número real y un imaginario, identificar la parte real e imaginaria de un
número complejo, realizar operaciones fundamentales con números complejos (suma,
resta, multiplicación, división, conjugado y potencia), determinar el módulo de un número
complejo.
Conceptos a desarrollar en la unidad: definición, origen y operaciones fundamentales
con números complejos.
1.1 Origen y definición de números complejos.
Los números empleados ordinariamente en los cursos básicos de álgebra representan
números reales, es decir; enteros y fraccionarios – positivos y negativos -, incluyendo el
cero, que son los llamados números racionales; y números irracionales tales como √2,
3
√3. Sin embargo, existen ecuaciones que no se pueden resolver con tan sólo el conjunto
de números reales, por lo que surge el concepto de números complejos para llegar a
soluciones de este tipo de ecuaciones.
Ecuación
𝑥2 = 9
9
𝑥2 =
4
𝑥2 = 5
𝑥2 = −5
Soluciones
3, - 3
3 −3
, 2
2
Tipos de número necesarios
Números enteros
Número racionales
√5 , −√5
¿?
Números irracionales
Números complejos
Las soluciones de las tres primeras ecuaciones de la tabla, están en los números reales;
no obstante, como los cuadrados de los números reales nunca son negativos, dicho
conjunto, no contiene las soluciones de 𝑥 2 =- 5. Para resolver esta ecuación es necesario
el sistema de números complejos C que contiene tanto a los reales como a números cuyos
cuadrados son negativos.
Empecemos presentando la unidad imaginaria, que se representa con i, y tiene las
propiedades siguientes:
𝑖 = √− 1 , 𝑖2 = −1
Debido a que su cuadrado es negativo, la letra 𝑖 no representa un número real. Es una
nueva entidad matemática que forma el sistema de números complejos C.
Un número complejo, es una combinación de un número real y una unidad imaginaria. La
representación de un número complejo es un binomio, a saber: 𝑎 + 𝑏𝑖, donde el número a
es la parte real del número complejo y el número b es la parte imaginaria del mismo. Si b
es igual a cero ( b= 0), el número complejo se reduce a un número real, ya que 𝑎 + 0𝑖 = 𝑎.
Si a = 0, el número complejo se reduce a 𝑏𝑖 y se dice que es una unidad imaginaria pura.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, así como de ramas de
las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales,
aerodinámica, y electromagnetismo.
Los números complejos se utilizan por doquier en las matemáticas, en muchos campos de
la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en
electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.
La tabla siguiente presenta as definiciones que se utilizarán en esta unidad:
Terminología
Número complejo
Igualdad
Suma
Producto
Definición
𝑎 + 𝑏𝑖, donde a y b son números reales e 𝑖 = √−1
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖, si y sólo si a =c y b = d
(𝑎 + 𝑏𝑖) + ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
Suma, resta y multiplicación de números complejos.
Como punto de partida, consideremos la suma y multiplicación de números complejos.
Posteriormente analizaremos la división.
Las operaciones de suma y multiplicación resultan muy sencillas si consideramos cada
número complejo, como un polinomio de variable 𝑖 y tenemos en cuenta que 𝑖2 = −1.
Veamos algunos ejemplos:
a) (5 + 4𝑖 ) + ( 6 − 7𝑖) = ( 5 + 6 ) + (4 − 7)𝑖
= 11 + (4 − 7 )𝑖
= 11 − 3𝑖
b) (2 + 3𝑖) − (4 − 5𝑖) = (2 − 4) + [ 3 − (−5)]𝑖
= −2 + [ 3 + 5]𝑖
= −2 + 8𝑖
c) (5 + 3𝑖) ∙ ( 6 − 2𝑖) = 5 ( 6 − 2𝑖) + 3𝑖 ( 6 − 2𝑖)
= 30 − 10𝑖 + 18𝑖 − 6𝑖2 ; 𝑖2 = −1
= 30 + 8𝑖 − 6 (−1)
= 30 + 8𝑖 + 6
= 36 + 8𝑖
Una vez que hemos resuelto los ejercicios anteriores, estamos en condiciones de establecer
las siguientes reglas para la suma y multiplicación de números complejos:
Si 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 son números complejos, entonces:
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
( 𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑖
De acuerdo a lo anterior, podemos realizar las siguientes observaciones:
Al sumar dos números complejos, obtenemos otro número complejo.
El resultado de multiplicar entre sí dos números complejos, es otro número complejo.
No es necesario memorizar las fórmulas para sumar y multiplicar números complejos. Es
mejor seguir el método que mostramos en los ejemplos anteriores.
La resta de números complejos, se define a partir de la suma, como en los números
reales así:
(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑏𝑖) + [ −(𝑐 + 𝑑𝑖)]
= (𝑎 + 𝑏𝑖) + [ −𝑐 − 𝑑𝑖]
= (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
El elemento neutro para la suma, en el conjunto de los números complejos, es el cero, el
cual representaremos como 0 + 0𝑖. Por tanto:
Para todo (𝑎 + 𝑏𝑖) ∈ 𝐶 ∶ (𝑎 + 𝑏𝑖) + (0 + 0𝑖) = ( 𝑎 + 0 ) + (𝑏 + 0)𝑖
= 𝑎 + 𝑏𝑖
El inverso aditivo de 𝑎 + 𝑏𝑖 es −𝑎 − 𝑏𝑖 porque:
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (−𝑎 − 𝑏𝑖) = [ 𝑎 + (−𝑎)] + [ 𝑏 + (−𝑏)]𝑖
= 0 + 0𝑖
=0
El elemento neutro para la multiplicación de números complejos es el uno, el cual se
representa por 1 + 0𝑖 ; es decir:
Para todo (𝑎 + 𝑏𝑖) ∈ 𝐶 ∶ (𝑎 + 𝑏𝑖) + (1 + 0𝑖) = 𝑎 + 0𝑖 + 𝑏𝑖 + 0𝑖2
= 𝑎 + 𝑏𝑖
Multiplicación de un escalar por un número complejo.
Para efectuar la operación se multiplica el escalar por la parte real e imaginaria del
número complejo como lo indica la siguiente fórmula:
𝑐(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐𝑖
Ejemplo.
Realiza la operación: 3(2 − 5𝑖)
Solución.
Se realiza la multiplicación de 3 por ambos elementos del número complejo:
3(2 − 5𝑖) = 3(2) − 3(5𝑖) = 6 − 15𝑖
Ejemplo.
Obtén el resultado de 3( 7 − 4𝑖) − 2 (−3 + 2𝑖).
Solución.
Se realiza el producto de los escalares por los números complejos.
3( 7 − 4𝑖) − 2 (−3 + 2𝑖) = [(3)(7) − (3)(4)𝑖] + [ (−2)(−3) + (−2)(2)𝑖]
= (21 − 12𝑖) + (6 − 4𝑖)
= (21 + 6) + ( −12 − 4 )𝑖
= 27 − 16𝑖
División de números complejos.
Es momento de estudiar la división de números complejos. Para definir la división de
números complejos definiremos primeramente el conjugado de un número complejo.
Definición de conjugado de número complejo. Dos números complejos son conjugados
cuando sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias difieren sólo en el signo. El
conjugado se representa por: 𝑧̅
De esta forma:
El conjugado de 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖) es 𝑧̅ = ( 𝑎 − 𝑏𝑖)
Así podemos citar los siguientes ejemplos:
Número complejo
5 + 7𝑖
5 − 7𝑖
4𝑖
3
Conjugado
5 − 7𝑖
5 + 7𝑖
−4𝑖
3
Estamos en condiciones de realizar la siguiente observación:
1. Si efectuamos el producto (𝑎 + 𝑏𝑖) ( 𝑎 − 𝑏𝑖) obtenemos:
(𝑎 + 𝑏𝑖) ( 𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏2
Esto implica que el producto de un número complejo y su conjugado es un número real.
Retomando el concepto de división de números complejos, decimos que lo que se busca al
dividir números complejos es que el divisor (denominador) se transforme en un número real.
Esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor; así:
Estas fórmulas no hay que memorizarlas, lo importante es aplicar el procedimiento. A
continuación, mostraremos algunos ejemplos:
Realizar la siguiente división:
4−𝑖
3−7𝑖
Solución:
Multiplicamos el cociente, por el conjugado del denominador, es decir:
4−𝑖
=(
3−7𝑖
4−𝑖
)(
3+7𝑖
3−7 𝑖
)
3+7 𝑖
=
12+28 𝑖−3𝑖−7𝑖2
9−49𝑖2
=
19+25 𝑖
58
=
19
25
+ 𝑖
58
58
Realizar la siguiente división:
1
9+2𝑖
Solución:
Multiplicamos el cociente, por el conjugado del denominador, es decir:
1
9+2𝑖
=(1
9+2𝑖
=
)(
9−2𝑖
)
9−2𝑖
9−2𝑖
81−4 𝑖2
=
9−2𝑖
81+4
=
9−2𝑖
85
=
9
85
−
2
𝑖
85
Potencias de 𝑖
Se obtienen al elevar la unidad imaginaria 𝑖 = √−1 a la enésima potencia, con 𝑛 ∈ 𝑁.
𝑖1 = 𝑖
𝑖2 = ( √−1)2 = −1
𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖
𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = (−1)(−1) = 1
Para las potencias mayores que 4, los resultados son equivalentes a los anteriores; con el
fin de poder determinarlos, la potencia se descompone de la siguiente manera:
𝑖𝑛 = 𝑖−4𝑚+𝑘 = 𝑖𝑘 con 𝑛 = 4𝑚 + 𝑘
Donde 𝑛, 𝑚 𝑦 𝑘 ∈ 𝑁 además 𝑛 > 4 𝑦 𝑘 < 4
Ejemplo.
¿Cuál es el resultado de 𝑖13?
Solución.
La potencia de 𝑖13 se representa como sigue:
𝑖13 = 𝑖 12+1 = 𝑖4(3)+1
Se aplica la fórmula anterior y se obtiene:
𝑖13 = 𝑖−4(3)+1 = 𝑖1 = 𝑖
Por tanto, se deduce que 𝑖13 = 𝑖
Ejemplo.
Obtén el resultado de: 𝑖6 + 2 𝑖9 − 𝑖11.
Se obtienen los valores de las potencias de 𝑖:
𝑖6 = 𝑖 −4(1)+2 = 𝑖2 = −1
𝑖9 = 𝑖−4(2)+1 = 𝑖1 = 𝑖
𝑖11 = 𝑖−4(2)+3 = 𝑖3 = −𝑖
Al sustituir estas equivalencias y realizar las operaciones se determina que:
𝑖6 + 2 𝑖9 − 𝑖11 = −1 + 2𝑖 − (−𝑖) = −1 + 2𝑖 + 𝑖 = −1 + 3𝑖
Forma rectangular y forma cartesiana de números complejos.
Un número complejo se puede representar de las siguientes formas:
Forma rectangular o binomial
𝑧̅ = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑧̅ = 𝑎
𝑧̅ = 𝑏𝑖
Forma cartesiana
𝑧̅ = (𝑎, 𝑏)
𝑧̅ = (𝑎, 0)
𝑧̅ = (0, 𝑏)
Ejemplo.
Representa en forma cartesiana los números complejos 𝑧̅1 = −4 + 5𝑖, 𝑧̅2 = 2𝑖, 𝑧̅3 = 8.
Solución.
Forma cartesiana
𝑧̅1 = (−4,5)
𝑧̅2 = (0,2)
𝑧̅3 = (8,0)
𝑧̅1 = −5 + 5𝑖
𝑧̅2 = 2𝑖
𝑧̅3 = 8
Ejemplo.
Representa en forma binomial o rectangular los siguientes números complejos: 𝑧̅1 =
(3, −1), 𝑧̅2 = (2,0), 𝑧̅3 = (0, −3).
Solución.
Forma binomial
𝑧̅1 = (3, −1)
𝑧̅2 = (2, 0)
𝑧̅3 = (0, −3)
𝑧̅1 = 3 − 𝑖
𝑧̅2 = 2
𝑧̅3 = −3𝑖
Representación gráfica.
Para representar en el plano cartesiano cualquier número complejo de la forma 𝑧̅ = 𝑎 + 𝑏𝑖,
se ubica a la parte real en el eje horizontal (eje real) y a la parte imaginaria en el eje vertical
(eje imaginario).
Sea el número complejo 𝑧̅ = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces su representación gráfica es:
Eje imaginario
𝑧̅ = 𝑎 + 𝑏𝑖
b
𝑧̅ = (𝑎, 𝑏)
0
a
Eje real
Ejemplo.
Grafica el siguiente número complejo: 𝑧̅ = 4 + 5𝑖.
Solución.
Se convierte en la forma cartesiana 𝑧̅ = (4 , 5)y su gráfica es:
Eje imaginario
𝑧̅ = 4 + 5𝑖
5
Eje real
0
4
Ejemplo.
Grafica 𝑧̅ = −4 − 6𝑖.
Solución.
Se ubica el punto (−4, −6) en el plano y se une con el origen mediante un segmento de
recta y se obtiene la representación gráfica de 𝑧̅:
Eje real
-4
0
𝑧̅ = −4 − 6𝑖
-6
Eje imaginario
Valor absoluto o módulo de un número complejo.
El módulo de un número complejo |𝑧̅| es la distancia que existe del origen al punto que
determina el número complejo. Su magnitud está dada por la fórmula:
|𝑧̅| = |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏2
Y su representación gráfica es:
Eje imaginario
b
𝑧̅ = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑧̅ = (𝑎, 𝑏)
|𝑧̅|
Eje real
0
a
Ejemplo.
Obtén el módulo de 𝑧̅ = 3 − 4𝑖.
Solución.
Se sustituye 𝑎 = 3 y 𝑏 = −4 en la fórmula y se obtiene el resultado:
|𝑧̅| = |3 − 4𝑖| = √(3)2 + (−4)2 = √9 + 16 = √25 = 5
El resultado indica que existen 5 unidades del origen al punto 𝑧̅ = (3, −4).
Ejemplo.
¿Cuál es el módulo del número complejo 𝑧̅ = − 1 − √3 𝑖 ?
2
2
Solución.
Se sustituyen los valores y se obtiene:
1
|𝑧̅| = |− −
2
1
√3
1 3
√3 2
𝑖| = √(− ) 2 + (−
) = √ + = √1 = 1
2
2
2
4 4
Ejemplo.
Determina el valor absoluto del número complejo (1,7).
Solución.
Se sustituyen los valores en la fórmula y resulta que el módulo de 𝑧̅ es:
|𝑧̅| = √(1)2 + (7)2 = √1 + 49 = √50 = √25 ∙ 2 = 5 √2
Bibliografía.
1. Introducción al Álgebra Lineal.
Fernando Mesa, Edgar Alirio Valencia Angulo, Oscar Fernández Sánchez.
Ecoe Ediciones, 2012.
Primera Edición.
2. Introducción al Álgebra Lineal.
Serge Lang.
Addison Wesley Iberoamericana, 1990.
Segunda Edición.
3. Precálculo, con avances de cálculo.
Dennis G. Zill, Jacqueline M. Dewar.
Mc-Graw Hill, 2008.
Cuarta Edición.
4. Álgebra e Introducción al Cálculo.
Dra. Irene F. Mikenberg.
Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, 2013.
Primera Edición.
5. Introducción al Álgebra Lineal.
Howard Anton.
Editorial Limusa, 1994.
Cuarta Edición.