DOMINIO Conjunto de definición o conjunto de partida de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por: El dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores que resultan. Ejemplo: RANGO Es el conjunto de todos los posibles valores que asume la función al ser evaluada en cada valor del dominio. Son valores que obtenemos al evaluar la función, ó valores para los cuales la función tiene sentido. CONTRADOMINIO Es un conjunto de elementos que los que se relacionan los elementos del conjunto de salida, llamado conjunto de llegada, también es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como codominio, recorrido o rango. DIFERENCIA ENTRE RANGO Y CONTRADOMINIO El rango son todos los valores posibles del conjunto de llegada, aunque no sean imagen de algo. El contradominio (o codominio) es el conjunto de los que son imagenes (el contradominio es un subconjunto del rango) por eso las funciones suprayectivas deben tener rango igual al codominio... para que no "sobre" ningun elemento y todos tengan preimagen. 1- FUNCIÓN INVERSA Y 3 EJEMPLOS Es aquella que se obtiene al intercambiar el dominio y el recorrido de “f”. a función que se obtiene es la inversa de la función dada. Las gráficas resultantes de estas dos funciones (la normal y la inversa) son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante y del 3er cuadrante en el plano cartesiano. Ejemplo 1 Encontremos la función inversa de la siguiente función ambas funciones en el mismo plano. y dibujemos la grafica de Solución: Despejamos x de la siguiente manera: Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f −1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f −1 (b) = a. Ejemplo 2 Ejemplo 3 2- FUNCIONES ESPECIALES: a) FUNCIÓN CONSTANTE Es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: Y=F(x) entonces Y=a donde a tiene un para valores de a iguales: Y=8, Y=2, Y=-4 valor constante, en la gráfica tenemos representadas: b) FUNCIÓN IDENTIDAD Es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. Le damos valores a x X f(x) = x 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2 y Grafica: 4 F(x)=x 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 5 c) FUNCION POTENCIAL X F(x)= x3 2 8 1 1 0 0 -1 -1 F(x)= x3 -2 -8 F(x) = x4 X F(x)= x4 2 16 1 1 0 0 -1 1 -2 16 d) FUNCION DE PROPORCIONALIDAD INVERSA F(x)= 3/x X F(x)= 3 x 2 32 1 3 -1 -3 -2 -3 2 e) FUNCIÓN LINEAL Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades (ver más abajo para un uso ligeramente diferente del término): Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f (y), entonces f(x+ y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición. Propiedad homogénea: f (ax) = af (x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida. x F(x) = 3x+1 -2 -5 -1 -2 0 1 1 4 2 7 F(x)=3x+1 f) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es: Le damos valores a x X y= 2 2 x y = 2 = 2 y = 1 =1 y= 0 =0 y= 1 =1 y= 2 =2 1 1 0 0 -1 1 -2 2 g) FUNCIÓN RADICAL La función X es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue: 4 2 3 1,73 2 1,41 1 1 0 0 y x y La función radical X f(x)= 3 x f(x)= -2 -1,25 3 x -1 -1 0 0 1 1 f(x)= 2 1,25 3 x h) FUNCION EXPONENCIAL F(x)=ax, con a > 1 F(x)= 2x X F(x)= 2x -2 0,25 -1 0,5 0 1 F(x)= 2x 1 2 2 4 i) FUNCIÓN LOGARITMO Son funciones que tienen la forma f(x) = logax, donde la base a es una constante positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ∞) y su imagen (- ∞, ∞). Ejemplo y = log 3 x X y = log3x 1/9 -2 1/3 -1 1 0 3 1 9 2 1/27 -3 27 3 y = log3x j) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. FUNCIÓN SENO Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es: y = sen x FUNCION COSENO Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es: y = cos x FUNCIÓN TANGENTE FUNCION COTANGENTE Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es: y = sec x , con A = Â - { x / x = (2k+1) p/2 } FUNCION SECANTE FUNCIÓN COSECANTE 3- CONTINUIDAD DE UNA FUNCION Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite. Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva. En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad. La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a. Expresemos esto en términos del concepto de límite... Ejemplo 1 X+1 si x 1 F(x)= 3 – ax2 si x > 1 Ejemplo 2 X2 + 2x - 1 si x < 1 F(x)= Ax + b si 0 x < 1 2 si x 1 Ejemplo 3