3.3 Una esfera conductora de radio a se mantiene a potencial V

3.3 Una esfera conductora de radio a se mantiene a potencial V0 . Está
rodeada por un cascarón esférico concéntrico, de radio b, que tiene una densidad
super…cial de carga ( ) = 0 cos , donde 0 es una constante con las unidades
apropiadas y es la coordenada polar.
a. Calcula el potencial para todo el espacio
b. Calcula el campo eléctrico para todo punto
Solución: (Versión 060716, 18:48)
a)
La solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas para
problemas con simetría azimutal (es decir, que no dependan del ángulo '), es
1
X
Bn
V (r; ) =
An rn + n+1 Pn (cos )
r
n=0
En este problema tenemos tres regiones:
1) El interior de la esfera de radio a.
Como la esfera es conductora y está a un potencial V0 todo la región está a
ese potencial. Así que,
V1 (r; ) = V0
0 r a
2) El espacio entre las dos esferas.
En esa región denotaremos el potencial como V2 (r; ) y propondremos la
solución como
1
X
Bn
V2 (r; ) =
An rn + n+1 Pn (cos )
r
n=0
3) El espacio fuera de la esfera de radio b.
Al potencial en toda esa región lo denotaremos como V3 (r; ) y lo escribiremos como
1
X
Dn
V3 (r; ) =
Cn rn + n+1 Pn (cos )g
r
n=0
Veamos ahora las condiciones de frontera de este problema.
Recordemos que el potencial V (r; ) debe ser continuo y que cuando haya
una densidad super…cial de carga, la componente normal del campo electrostático
"brinca" en una cantidad .
"0
Las condiciones de frontera son:
V1 (r = a; ) = V2 (r = a; )
Continuidad del potencial sobre la esfera
de radio a
V2 (r = b; ) = V3 (r = b; )
de radio b
Continuidad del potencial sobre la esfera
@
@
( )
V2 (r; )
V3 (r; )
=
@r
@r
"
0
r=b
nente normal del campo electrostático
1
Discontinuidad de la compo-
V3 (r; ) ! 0
Al estar la carga en una región …nita del espacio,
r!1
el campo en el in…nito tiene que irse a cero
Impongamos la primera condición de frontera.
Tenemos que
1
X
Bn
V2 (r; ) =
An rn + n+1 Pn (cos )
r
n=0
y lo evaluamos en la esfera interior,
1
X
Bn
V2 (r = a; ) =
An an + n+1 Pn (cos )
a
n=0
y como
V2 (r = a; ) = V0
se debe cumplir
1
X
Bn
An an + n+1 Pn (cos ) = V0
a
n=0
que podemos reescribir como
1
Bn
B0 X
An an + n+1 Pn (cos ) = V0
+
A0 +
a
a
n=1
Como los polinomios de Legendre son linealmente independientes, se satisface
B0
A0 +
= V0
a
y
Bn
An an + n+1 = 0 para toda n > 0.
a
De la primera ecuacó deducimos facilmente que
B0
A0 = V0
a
y de la segunda que
Bn
An =
2n+1
a
Sustituimos estos resultados en la expresión del potencial para la región 2,
y nos queda
1
X
1 1
1
rn
V2 (r; ) = V0 + B0
+
Bn Pn (cos )
n+1
2n+1
r
a
r
a
n=1
Para facilitar los cálculos, antes de imponer la condición de continuidad sobre
la esfera exterior, impondremos la condición de que el potencial sea cero en el
in…nito.
El potencial en el área 3 es
1
X
Dn
V3 (r; ) =
Cn rn + n+1 Pn (cos )
r
n=0
la condición
V3 (r; ) ! 0
r!1
2
exige que
Cn = 0 para toda n
Por tanto, nos queda
1
X
Dn
Pn (cos )
V3 (r; ) =
rn+1
n=0
Debemos de hacer cumplir ahora la condición de continuidad del potencial
sobre la esfera exterior, es decir,
1
X
1 1
bn
1
V2 (r = b; ) = V0 + B0
Bn Pn (cos )
+
b a
bn+1
a2n+1
n=1
debe ser igual a
1
X
Dn
V3 (r = b; ) =
Pn (cos )
bn+1
n=0
Igualando las dos expresiones obtenemos
1
1
X
X
Dn
1
bn
1 1
P
(cos
)
=
V
+
B
+
Bn Pn (cos )
n
0
0
bn+1
b a
bn+1
a2n+1
n=0
n=1
Separando el termino n = 0,
1
1
X
D0 X Dn
1
1 1
bn
+
P
(cos
)
=
V
+B
+
Bn Pn (cos )
n
0
0
b n=1 bn+1
b a
bn+1
a2n+1
n=1
Como los polinomios de Legendre son linealmente independientes, necesariamente se cumple
1 1
D0
= V0 + B 0
b
b a
y
1
bn
Dn
=
Bn
n+1
n+1
2n+1
b
b
a
De estas ecuaciones concluimos que
b
D0 = bV0 + B0 1
a
y
b2n+1
Bn
Dn = 1
a2n+1
Sustituyendo en la expresión
1
X
Dn
P (cos )
V3 (r; ) =
n+1 n
r
n=0
para la zona 3, se tiene
b
bV0 + B0 1
1
X
b2n+1
Bn
a
V3 (r; ) =
+
1
P (cos )
2n+1
n+1 n
r
a
r
n=1
Imponemos ahora la condición de discontinuidad de la componente normal
del campo electrostático,
@
@
( )
V2 (r; )
V3 (r; )
=
@r
@r
"
0
r=b
usando las expresiones que ya encontramos más arriba,
3
3
1
B0 X
n + 1 nrn 1
+
Bn Pn (cos )
7
6
r2
rn+2
a2n+1
7
6
n=1
( )
7
6
b
=
7
6
7
6 bV0 + B0 1
"0
1
X
5
4
b2n+1 (n + 1) Bn
a
P
(cos
)
1
n
r2
a2n+1
rn+2
n=1
r=b
que queda
1
B0 X
n + 1 nbn 1
+
Bn Pn (cos )
b2
bn+2
a2n+1
n=1
b
bV0 + B0 1
1
X
b2n+1 (n + 1) Bn
a
0
1
Pn (cos ) =
P1 (cos )
2
2n+1
n+2
b
a
b
"
0
n=1
donde hemos usado que P1 (cos ) = cos .
Usando una vez más la independencia lineal de los polinomios de Legendre,
se encuentran
b
bV0 + B0 1
B0
a
Ecuación derivada del término cero:
=0
b2
b2
3
1
b
2B1
2
B1
1
=
Ecuación derivada del término uno:
b3
a3
a3
b3
2
0
"0
Ecuación derivada de los términos superiores a uno:
1
b2n+1
a2n+1
n+1
bn+2
nbn 1
a2n+1
Bn =
(n + 1) Bn
bn+2
La primera la transformamos en
La segunda en
y la tercera en
B
a3 b3
"0 4a3 b3
n + 1 nbn 1
bn+2
a2n+1
B1 =
b
ab
V0
2a
0
n + 1 (n + 1) bn
+
bn+2
a2n+1
1
Bn = 0
que se reescribe como
n+1
bn 1
2 n+2 + 2n+1 Bn = 0
b
a
y de donde se concluye que
Bn = 0
para toda n 2:
r
Sustituyendo en las expresiones que ya teníamos, se obtiene la respuesta …nal
V1 (r; ) = V0
0 r a
a
b3
a3
b
0
V0
1 +
1 r cos
a
V2 (r; ) = V0 +
b 2a
r
"0 4a3 b3 r3
b
3
a b b
b3 b3
0 a
V3 (r; ) = V0 1 +
+
cos
b r
3
b 2a r
"0 4a
b3 r 2
4
~ =
b) Para el campo eléctrico solo hay que usar E
5
rV