Hoja de Problemas #4

Métodos Matemáticos I
Curso 2013-14
Hoja de Problemas #4
1. Calcula las integrales siguientes:
2
Z 2
1
(a)
− i dt
t
1
Z π/6
(b)
ei 2t dt
0
Z ∞
e−zt dt
(c)
0
Sol. (a) −1/2 − i 2 ln 2;
(b)
√
3/4 + i/4;
(c) 1/z, z 6= 0.
2. Teniendo en cuenta que
π
Z
e
(1+i)x
Z
π
Z
x
e cos x dx + i
dx =
ex sen x dx.
0
0
0
π
Evalúa las integrales de la derecha calculando la de la izquierda e igualando las partes real e
imaginaria de ambos miembros.
Sol. −(1 + eπ )/2,
(1 + eπ )/2.
3. Aplica la desigualdad
Z
a
b
Z
w(t) dt ≤
b
w(t) dt,
a < b.
a
para probar que para todo valor x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1, las funciones
Z
n
p
1 π
Pn (x) =
x + i 1 − x2 cos θ dθ, n = 0, 1, 2, . . .
π 0
satisfacen la desigualdad |Pn (x)| ≤ 1.
4. Supongamos que una función f (z) es analı́tica en un punto z0 = z(t0 ) de un arco diferenciable
z = z(t) con a ≤ t ≤ b. Prueba que si w(t) = f z(t) , entonces
w0 (t) = f 0 z(t) z 0 (t)
Sugerencia: Escribe f (z) = u(x, y) + i v(x, y) y z(t) = x(t) + i y(t), de modo que
w(t) = u[x(t), y(t)] + i v[x(t), y(t)].
Aplica entonces la regla de la cadena para funciones de dos variables para escribir
w0 = ux x0 + uy y 0 + i (vx x0 + vy y 0 ),
y utiliza la ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Z
5. Calcula
f (z) dz para f (z) = (z + 2)/z cuando C es
C
(a) el semicı́rculo z = 2eiθ ,
iθ
(b) el semicı́rculo z = 2e ,
iθ
(c) el cı́rculo z = 2e ,
0 ≤ θ ≤ π.
π ≤ θ ≤ 2π.
0 ≤ θ ≤ 2π.
Sol. (a) −4 + 2πi,
1
(b) 4 + 2πi,
(c) 4πi.
Z
6. Calcula
f (z) dz para f (z) = π exp(πz̄) cuando C es el contorno del cuadrado con vértices en
C
los puntos 0, 1, 1 + i e i, orientado en sentido positivo.
Sol. 4 (eπ − 1).
Z
7. Calcula
f (z) dz para f (z) = 1 cuando C es un un contorno arbitrario desde un punto fijo z1
C
hasta el punto fijo z2 en en plano, ambos arbitrarios.
Sol. z2 − z1 .
8. Sea C el arco del cı́rculo |z| = 2 que va de z = 2 a z = 2i en el primer cuadrante. Sin calcular la
integral, prueba que
Z
dz π
≤ 3.
2
C z −1
9. Sea C0 el cı́rculo |z − z0 | = R, en sentido contrario al de las agujas del reloj. Usa la representación
paramétrica z = z0 + R eiθ con −π ≤ θ ≤ π para C0 con objeto de deducir las siguientes fórmulas
de integración:
Z
dz
(a)
= 2πi.
z
−
z0
ZC0
(b)
(z − z0 )n−1 dz = 0 n = ±1, ±2, . . ..
ZC0
2Ra
sen(aπ), donde a es cualquier número real distinto de cero y donde
(c)
(z − z0 )a−1 dz = i
a
C0
se toman la rama principal del integrando y el valor principal de Ra .
10. Prueba, con ayuda de una primitiva, que para todo contorno C que vaya de un punto z1 a un punto
z2 ,
Z
1
z n dz =
z2n+1 − z1n+1 , n = 0, 1, 2, . . .
n
+
1
C
11. Calcula estas integrales, donde el camino es un contorno arbitrario entre los lı́mites de integración:
Z i/2
(a)
eπz dz.
i
Z π+2i
(b)
cos(z/2) dz.
0
Z 3
(c)
(z − 2)3 dz.
1
Sol. (a) (1 + i)/π,
(b) e + (1/e),
(c) 0.
12. (a) Usando la rama
ln z = ln r + i θ,
r > 0, 0 < θ < 2π
de la función logaritmo como primitiva para 1/z, prueba que
Z 2i
dz
= −πi
−2i z
cuando el camino de integración desde −2i hasta 2i es la mitad izquierda del cı́rculo |z| = 2.
(b) Prueba que
Z
dz
= 2πi
C z
cuando C es el cı́rculo completo |z| = 2 orientado positivamente.
2
Z
13. Aplica el teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
f (z) dz = 0 cuando el contorno es el
C
cı́rculo |z| = 1, con cualquier orientación, y cuando
z2
.
z−3
(b) f (z) = ze−z .
1
(c) f (z) = 2
.
z + 2z + 2
(d) f (z) = sech z.
(a) f (z) =
(e) f (z) = tan z.
(f) f (z) = ln(z + 2).
14. Sea C el contorno cerrado orientado positivamente del semidisco 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, y sea f una
función continua definida en ese semidisco poniendo f (0) = 0 y usando la rama
√
f (z) = r eiθ/2 , r > 0, −π/2 < θ < 3π/2
Z
de la función multivaluada z 1/2 . Demuestra que
f (z) dz = 0 calculando por separado las
C
integrales de f (z) sobre el semicı́rculo y sobre los dos radios que constituyen C. ¿Por qué no se
aplica el teorema de Cauchy-Goursat?
15. Prueba que si C es un contorno cerrado simple positivamente orientado, el área de la región limitada
por C se puede expresar
Z
1
z̄ dz.
2i C
Sugerencia. Nótese que se puede usar el teorema de Green a pesar de que la función f (z) = z̄
no es analı́tica.
16. Sea C el contorno del cuadrado cuyos lados están sobre las rectas x = ±2 e y = ±2, con C recorrido
positivamente. Calcula las siguientes integrales:
Z
e−z
(a)
dz.
C z − iπ/2
Z
cos z
(b)
dz.
2 + 8)
z(z
C
Z
z
(c)
dz.
2z
+1
C
Z
tan(z/2)
(d)
dz, −2 < x0 < 2.
(z
− x0 ) 2
C
Z
cosh z
(e)
dz.
z4
C
Sol. (a) 2π,
(b) iπ/4,
(c) −π/2,
(d) iπ sec2 (x0 /2),
(e) 0.
17. Halla en valor de la integral g(z) a lo largo del cı́rculo |z − i| = 2 en sentido positivo cuando
1
.
z2 + 4
1
(b) g(z) = 2
.
(z + 4)2
(a) g(z) =
Sol. (a) π/2,
3
(b) π/16.
18. Sea C el cı́rculo |z| = 3, descrito en sentido positivo. Prueba que si
Z
2z 2 − z − 2
dz, |w| =
6 3,
g(w) =
z−w
c
entonces g(2) = 8πi. ¿Cuál es el valor de g(w) cuando |w| > 3?
19. Sea C el cı́rculo unidad z = eiθ , −π ≤ θ ≤ π. Prueba en primer lugar que, para cualquier constante
a real,
Z az
e
dz = 2πi.
C z
A continuación, escribe la integral en términos de θ para deducir la fórmula de integración
Z π
ea cos θ cos(a sen θ) dθ = π.
0
4