Calcule la integral ∮ 3 + i + z dz donde C es el cırculo |z| = 10

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Calcule la integral
I
C
e−i z
dz
3+i+z
donde C es el cı́rculo |z| = 10. Reporte el módulo del resultado.
Solución
El integrando se escribe como
f=
e−i z
f1
=
3+i+z
f2
Donde f1 = e−i z es entera y f2 = 3 + i + z. Por tanto, los únicos polos de f son
los ceros del denominador f2 :
f2 = 0 → zo = −3 − i
1
Como la curva de integración C es un cı́rculo con centro en z1 = 0 y radio r = 10
y la distancia de zo a z1 es
√
d(zo , z1 ) = |z1 − zo | = | − 3 − i| = 4 ≈ 3.162
Entonces, el polo se encuentra dentro de C; por tanto, para calcular la integral
debemos usar la fórmula de Cauchy:
I
e−i z
dz = 2 π i [e−i,z ]z=−3−i
C z − (−3 − i)
Los cálculos se ilustran en la siguiente figura. Los cálculos se ilustran en la
siguiente figura:
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