Soluciones - IES Vega del Jarama

CONCURSO DE PRIMAVERA-nivel III-2014-2015
Semana XI - Soluciones
SOLUCIÓN-21
no 2-nivel III-1a fase-2010
En la figura vemos un cuadrado de lado 4 cm y sus circunferencias inscrita y circunscrita. ¿Cuál es, en cm2 ,
el área de la corona circular determinada por ellas?
√
B) 6 2
A) 4π
C) 8
√
D) 2π 2
E) 3π
El área de la corona es la diferencia entre el área del cı́rculo circunscrito
al cuadrado y el área del cı́rculo inscrito.
4
El radio del cı́rculo circunscrito es la mitad de la diagonal del cuadrado
de lado 4 cm, es decir,
√
√
√
√
4 2
42 + 42
32
=
=
= 2 2 cm
R=
2
2
2
2
El área de este cı́rculo circunscrito:
4
√
A = πR2 = π(2 2)2 = 8π cm2
El radio del cı́rculo inscrito es la mitad del lado del cuadrado de lado 4
cm, es decir,
r=
4
= 2 cm
2
El área de este cı́rculo inscrito:
a = πr2 = π22 = 4π cm2
Ası́ el área de la corona circular es: A − a = 8π − 4π = 4π cm2
SOLUCIÓN-22
no 8-1a fase-nivel III-2010
El factor primo más grande de 56 − 1 es:
A) 7
B) 13
C) 31
D) 59
E) 61
Podrı́amos hacer el cálculo 56 − 1 y descomponer después en factores primos.
Pero descompongamos en factores pensando un poco:
Utilizando los productos o igualdades notables (diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia)
tenemos que,
56 − 1 = (53 − 1)(53 + 1) = 124 · 126 = (22 · 31) · (2 · 32 · 7) = 23 · 32 · 7 · 31
El factor primo más grande en la descomposición del número 56 − 1 es 31.