TRANSITORIEDAD DEL MOVIMIENTO BROWNIANO EN SUBVARIEDADES DE UNA VARIEDAD RIEMANNIANA* VICENTE PALMER** 1.- Introducción: Transitoriedad y Recurrencia del movimiento Browniano 2.- Transitoriedad y Recurrencia bajo el punto de vista de la Teorı́a del Potencial 3.- Capacidad en los espacios modelo: el criterio de transitoriedad de Ahlfors-Milnor. El criterio de Ichihara. 4.- Un nuevo criterio para la transitoriedad * Trabajo en colaboración con S. Markvorsen, DTU, Dinamarca, **Departament de Matemàtiques, Universitat Jaume I, palmer@mat.uji.es. 1 2 V. PALMER 1. Introducción: Transitoriedad y Recurrencia del movimiento Browniano * Movimiento Browniano: movimiento irregular de partı́culas microscópicas en la superficie de un lı́quido, (R. Brown, 1828) * Su causa: colisiones de las partı́culas en suspensión con las moléculas de la superficie del lı́quido. * El movimiento resultante es de naturaleza estocástica y la distribución de probabilidad del desplazamiento de una partı́cula satisface una ecuación de difusión. (A. Einstein, 1905) MAT.ES 2005 3 * Modelo matemático más sencillo: desplazamiento aleatorio de una partı́cula sobre los nodos de una red, Z2, (Zq ), (modelo discreto). * La partı́cula salta de nodo en nodo, escogiendo en cada paso uno de los 4, (2q), nodos vecinos con probabilidad 14 , ( 2q1 ). 4 V. PALMER * Qué ocurre con una partı́cula cuando ha dado un número infinito de saltos?. * Si el movimiento es homogéneo e isótropo, cabrı́a esperar que, a largo plazo, el número de movimientos en las 4 direcciones posibles deberá ser el mismo, y, por tanto, la partı́cula debe volver al punto de partida al cabo de un tiempo. * Esto no es ası́ : el comportamiento a largo plazo de la partı́cula depende de la dimensión de la red, (G. Polya, 1921). MAT.ES 2005 5 * Si q ≤ 2, la partı́cula volverá un número infinito de veces al origen del movimiento, con probabilidad 1, (Recurrencia). * Si q > 2, la partı́cula pasará por el nodo origen del movimiento un número finito de veces, con probabilidad 1. * Es decir, transcurrido un cierto tiempo, la partı́cula no volverá a pasar por el origen del movimiento y lo mismo ocurrirá con cualquier nodo visitado, de forma que la partı́cula vagará indefinidamente por la red infinita, (Transitoriedad). * Con el modelo continuo de movimiento Browniano, debido a N. Wiener, (1923), se tiene que es recurrente si n ≤ 2 n IR y transitorio si n > 2 6 V. PALMER 2. Transitoriedad y Recurrencia bajo el punto de vista de la Teorı́a del Potencial * El problema de decidir si una superficie no compacta es transitoria o recurrente está relacionado con el problema de determinar si esta superficie es conformalmente equivalente al disco unitario, (hiperbólica) o al plano, (parabólica), lo que se conoce como problema de los tipos. * El conocido como Criterio de Milnor, (J. Milnor, 1977), relaciona la curvatura de Gauss de una superficie completa y rotacionalmente simétrica alrededor de un punto con su tipo conforme- y por tanto, con su transitoriedad o recurrencia. MAT.ES 2005 7 * Esta cuestión ya habia sido abordada por L. V. Ahlfors en 1935, de forma que usando sus técnicas se puede extender la parte de este criterio correspondiente a la parabolicidad, a superficies con un polo, (sobre las que se puede definir un sistema de coordenadas polares global), involucrando al área de los circulos geodésicos. * P.G. Doyle, (1988), se inspira en Ahlfors y en el conocido, (dentro de la teorı́a de la electricidad), como Método de los cortes de Rayleigh para establecer un criterio similar, (con un sustrato geométrico), para la hiperbolicidad de superficies con un polo. * En esta sección presentamos los instrumentos necesarios, (teorı́a potencial), para establecer: 8 V. PALMER (i) Un criterio de transitoriedad o recurrencia, para variedades de cualquier dimensión, rotacionalmente simétricas alrededor de un punto, que relaciona estas propiedades con el área de sus esferas geodésicas. Lo llamamos de Ahlfors-Milnor. (ii) Una extensión de este criterio, (para la transitoriedad), a variedades con un polo y con determinadas curvaturas seccionales acotadas superiormente. (Ichihara, 1982) (iii) Estos criterios sirven para contextualizar nuestro criterio de transitoriedad, que generalizarı́a el de Ichihara. (iv) En resumen: estudiar la influencia de las curvaturas de la variedad en las propiedades del movimiento Browniano definido sobre ella. Criterios Geométricos vs. Criterios Analı́ticos. MAT.ES 2005 9 * Vamos a utilizar los conceptos de Capacidad y Resistencia para caracterizar la Recurrencia y la Transitoriedad del movimiento Browniano definido en una variedad bajo el punto de vista de la Teorı́a del Potencial. * Si imaginamos a la variedad infinita, (completa y no compacta), constituida por un material conductor homogéneo, la determinación de si es transitoria o recurrente es equivalente a determinar si la resistencia al paso de la corriente en toda la variedad es finita, (transitoriedad) o infinita, (recurrencia). 10 V. PALMER Definición: Capacidad * (M n, g) variedad riemanniana. Suponemos M constituida por un material conductor homogéneo. K compacto * Sea K ⊆ Ω donde Ω precompacto * Se define Z Cap(K, Ω) = < ∇M u, ν > dσ ∂K donde ν = unitario normal a ∂K apuntando hacia afuera de K * donde u es la solución de la ecuación de Laplace con condición de Dirichlet definida en el dominio Ω ∼ K, ∆M u = 0 on Ω ∼ K u|∂K = 0 u|∂Ω = 1 MAT.ES 2005 11 * u representa el potencial electrostático generado por una concentración de carga en el interior de K. * y la cantidad Cap(K, Ω) representa la corriente total fluyendo en el interior de Ω ∼ K a través de ∂K. 12 V. PALMER Definición: Resistencia * Aplicando la Ley de Ohm, la resistencia efectiva al flujo de la corriente a través del trozo de superficie Ω ∼ K viene dado por 1 Res(K, Ω) = Cap(K, Ω) Definición: Sucesión exahustiva de precompactos * Familia de conjuntos {Σn}n∈N que satisface las siguientes condiciones: (1) ∀n ∈ N, el conjunto Σn es un precompacto en M con frontera ∂Σn (2) Σn ⊆ Σn+1, ∀n ∈ N (3) ∪n∈NΣn = M MAT.ES 2005 13 Definición: Capacidad en el infinito de K * Se define la “Capacidad en el infinito” ó “Capacidad en M ” de un compacto/precompacto K como Cap(K, M ) = lim Cap(K, Σn) n→∞ donde {Σn}n∈N es una sucesión exahustiva cualquiera de precompactos tales que K ⊆ Σn0 , n0 ∈ N Teorema, (Criterio de KelvinNevanlinna-Royden) * Sea (M n, g) variedad riemanniana. M es transitoria si y solo si para todo precompacto, (para un compacto), K Cap(K, M ) > 0 M es recurrente si y solo si existe un precompacto K tal que Cap(K, M ) = 0 14 V. PALMER 3. El criterio de transitoriedad de Ahlfors-Milnor. El criterio de transitoriedad de Ichihara. 3.1 Definición : espacios modelo Mwm = [0, L[×w S10,m−1 donde S10,m−1 es la esfera euclı́dea de radio 1 y ×w denota el producto “warped”, siendo w : [0, L[−→ IR+ tal que w(0) = 0, w0(0) = 1. 3.2 Nota : Propiedades geométricas de los espacios modelo * Si π : Mwm −→ [0, L[, entonces pw = π −1(0) es el centro de Mwm. * Los Mwm son esféricamente simétricos y si L = ∞, el centro pw es un polo de Mwm, de forma que se puede definir globalmente sobre el espacio modelo un sistema de coordenadas polares (r, θ). MAT.ES 2005 15 * La curvatura seccional de Mwm a lo largo de las geodésicas radiales que parten del centro pw es w00(r) secMww (γpw ) = − w(r) * Las bolas geodésicas con centro en pw son los conjuntos Brw = π −1([0, r]), y su borde son las esferas geodésicas ∂Brw = π −1(r). Estas fibras ∂Brw = π −1(r) son: 0,m−1 (i) isométricas a la esfera euclı́dea Sw(r) , (ii) vol(∂Brw ) = vol(S1m−1)wm−1(r) (iii) y su curvatura media H∂Brw = w0 (r) w(r) . 16 V. PALMER 3.3 Ejemplos de espacios modelo: las formas espaciales reales * Las formas espaciales reales n S (b) si b > 0 IK n(b) = IRn si b = 0 Hn(b) si b < 0 son espacios modelo Mwn = [0, L[×w S1n−1, con √ π sin (1) Si b > 0, L = √b y wb(r) = √bbr (2) Si b = 0, L = ∞ y wb(r) = r (3) Si b < 0, L = ∞ y wb(r) = √ sinh √ −br −b MAT.ES 2005 17 3.4 Teorema: (Criterio de AhlforsMilnor) Sea Mwm un espacio modelo completo y no compacto, (L = ∞). Entonces Mwm es transitoria, (recurrente) si y solo si Z ∞ dr < ∞, (= ∞) m−1 w (r) 3.5 Idea de la Demostración * Aplicar el Criterio de Kelvin-NevanlinnaRoyden con la sucesión exhaustiva de precompactos {BRw (pw )}R>ρ 18 V. PALMER * Definición de capacidad Cap(Bρw , Mwm) = lim Cap(Bρw , BRw ) ZR→∞ m = lim < ∇Mw u, ν > dσ R→∞ ∂Bρw * Se calcula la solución u de la ecuación de Laplace con condición de Dirichlet definida en el dominio BRw ∼ Bρw , m ∆Mw u+ = 0 on BRw ∼ Bρw u(ρ) = 0 u(R) = 1 * Entonces Cap(Bρw , Mwm) = R∞ ρ 1 dr wm−1 (r) MAT.ES 2005 19 4. Transitoriedad de subvariedades. 4.1 Planteamiento del Problema: El criterio de Ichihara. * Existe una generalización del Criterio de Ahlfors-Milnor, para variedades riemannianas N n con un polo, debida a K. Ichihara. * Un polo es un punto de la variedad tal que expp : TpN −→ N es un difeomorfismo. El polo p es el origen de una función distancia r(x) = distN (p, x), realizada por una única geodésica γx que une p y x ∈ N . Las γx se llaman geodésicas radiales. 20 V. PALMER * Las curvaturas seccionales a lo largo de las geodésicas radiales γx se llaman curvaturas seccionales p-radiales y se denotan como secp,N (γx). Teorema: (Criterio de Ichihara) Sea N n una variedad riemanniana con un polo p, completa y no compacta, de forma que sus curvaturas seccionales p-radiales cumplen w00(r) secp,N (γx) ≤ − w(r) siendo w : [0, ∞[−→ IR+ diferenciable tal que w(0) = 0 y w0(0) = 1. Entonces, si Z ∞ dr <∞ n−1 (r) w ρ la variedad N es transitoria. MAT.ES 2005 21 * El Criterio de Ichihara generaliza el de Ahlfors-Milnor, ya que un espacio modelo Mwn con L = ∞ es una variedad completa no compacta, con curvaturas seccionales raw00 (r) diales iguales al cociente − w(r) . * La cuestión abordada consiste en generalizar el criterio de Ichihara, dada P m una subvariedad completa de la variedad riemanniana ambiente con polo N n, encontrando: 22 V. PALMER (i) Condición geométrica intrı́nseca más general para N , en términos de cotas para las curvaturas seccionales p-radiales. (ii) Condición geométrica extrı́nseca más general para P , en términos de cotas para la curvatura media radial de P , Hp,P , tales que juntas garanticen que P es una variedad transitoria. Definición La curvatura media p-radial de P en N se define como Hp,P (x) = − < ∇N r(x), HP (x) > Estas curvaturas aparecen en la expresión de la Laplaciana, restringida a P , de las funciones radiales f (r)|P . MAT.ES 2005 23 4.2 El resultado: Un nuevo criterio para la transitoriedad de subvariedades Teorema, (S. Markvorsen, V. Palmer, 200?) N n variedad riemanniana con un polo p. P m subvariedad tal que P * BRn (p) ∀R Sea w(r) ≥ 0 con w(0) = 0 y w0(0) = 1. Sea H(r) tal que w0(r) Hp,P (x) ≤ H(r(x)) ≤ w(r) Sea K(r) tal que −w00(r) secp,N (γx) ≤ K(r(x)) ≤ w(r) Entonces, si Z ∞ m G (r) dr < ∞ m−1 (r) w ρ Rr siendo G(r) = exp( ρ H(t)dt). La subvariedad P es transitoria. 24 V. PALMER 4.3 Idea de la Demostración * Instrumentos: (i) El Criterio de Kelvin-Nevanlinna-Royden, usando las bolas extrı́nsecas centradas en el polo p, (ii) Teorı́a de Comparación para el hessiano y la laplaciana de funciones radiales. * La idea es cortar la subvariedad P con bolas geodésicas BRn (p), de la variedad ambiente N , encajadas unas dentro de otras y centradas en el polo p, como se ilustra en el siguiente dibujo: MAT.ES 2005 25 * Se obtiene ası́ una sucesión exhaustiva de dominios, DR = P ∩BRn (p) R ≥ ρ, componente conexa Estas son las bolas extrı́nsecas. * Entonces, se aplica el Criterio de kelvinNevanlinna-Royden, calculando Cap(Dρ, P ) = lim Cap(Dρ, DR ) R→∞ * La igualdad anterior es cierta tanto si las bolas extrı́nsecas DR son precompactas como si no. * Para obtener lim Cap(Dρ, DR ) > 0 R→∞ 26 V. PALMER * Se busca la comparación Cap(Dρ, DR ) ≥ Cap(Bρw , BRw ) donde BRw son las bolas geodésicas en los espacios modelo Mwm. * Esta comparación se obtiene a partir de la comparación entre funciones radiales que se definen como las soluciones de determinados problemas de Laplace. Aquı́ entran en juego las hipótesis sobre Hp,P y secp,N . * Nota 1: Criterio de Ichihara como corolario de esta demostración Si P = N , ∇P r = ∇N r y entonces no es necesaria, para la comparación anterior, la hipótesis w0(r) Hp,P (x) ≤ H(r(x)) ≤ w(r) Además, podemos poner HP = 0, con lo que H(r) = 0 y ası́ G(r) = exp 0 = 1 MAT.ES 2005 27 * Nota 2: Demostración heurı́stica de la desigualdad para la Capacidad anterior. En el dibujo tenemos bolas extrı́nsecas sobre una superficie minimal, (el helicoide) y bolas geodésicas del mismo radio sobre el plano. Las aplicaciones conformes conservan la Capacidad, (y la Resistencia). 28 V. PALMER 4.4 Dos corolarios * Este resultado no sólo es una generalización del Criterio de Ichihara. * A partir de él, se obtienen los siguientes teoremas: Teorema 1, S. Markvorsen, V. Palmer, GAFA, 2003 Las subvariedades minimales de las variedades de Cartan-Hadamard son transitorias. En particular, las subvariedades minimales, (de dimensión mayor o igual que tres), de los IRn son transitorias. MAT.ES 2005 29 Comentarios al Teorema 1 * Las variedades de Cartan-hadamard son variedades con polo, con curvaturas seccionales acotadas superiormente por 0 y las subvariedades minimales tienen curvatura media nula. * Los espacios modelo con los que comparamos son los euclı́deos IRn y los hiperbólicos Hn,√con funciones w0(r) = r y wb(r) = sinh √ −br , respectivamente. Como H(r) = 0, −b entonces G(r) = 1 ∀r. * Se verifica entonces que Z ∞ si b = 0, cuando m ≥ 3 dr < ∞; m−1 si b < 0, cuando m ≥ 2 wb (r) 30 V. PALMER Teorema 2, S. Markvorsen, V. Palmer, 200? Sea P m, (m ≥ 2), una subvariedad no acotada de una variedad de Cartan-Hadamard N n con curvaturas seccionales secN ≤ b < 0 Suponemos además que las curvaturas medias p-radiales de P satisfacen √ (m − 1) −b Hp,P ≤ H0 < m m Entonces P es transitoria. MAT.ES 2005 31 Comentarios al Teorema 2 * Minimalidad implica transitoriedad pero no al contrario. * En este caso, se elige H(r) = H0, de forma que G(r) = exp(H0r). El espacio modelo con el que√se compara es el hiperbólico, con wb(r) = sinh√−b−br Z * Entonces, Z ∞ m G (r)dr < m−1 wb (r) ∞ √ mH0 −(m−1) −b e dr < ∞