SEÑALES Y SISTEMAS { } [ )

SEÑALES Y SISTEMAS
SEMINARIO DE MATLAB Nº 2
Series y Transformada de Fourier
Actividad 1
Cree un archivo SyS21.m
Se tienen las siguientes señales en el tiempo y su correspondiente transformada de Fourier:
2a 2
−a t
x1 (t ) = ae ⇒ X 1 (ω ) = 2
a +ω2
x 2 ( t ) = a.sinc(aπt ) ⇒ X 2 ( ω) = Pa (ω)
a) Genere y grafique las funciones x1 (t ) , x 2 (t ) en el intervalo [-10,10) , y sus respectivos
espectros X 1 (ω ), X 2 (ω ) . Dándole valores al parámetro “a” , a>0 , observe y analice los
cambios en las funciones anteriores.
b) Con a = 50 , compruebe que si x3(t) = x2(t - 4) , entonces X 2 (ω ) = X 3 (ω )
c) Con a = 10 , compruebe la propiedad de convolución en el tiempo para x1(t) y x2(t) , es
decir :
ℑ{x1 (t ) * x 2 (t )}= X 1 (ω ) X 2 (ω )
Actividad 2
Cree un archivo SyS22.m
a) Dado el tren de 5 pulsos con t ∈ [0,10) .
k=
x(t)
b
T
1
0
b
T
2T
3T
4T
5T=10
t
Genere y grafique x(t) y los coeficientes complejos de Fourier X(nω0). Dándole valores
b
a k = con 1 ≤ k ≤ 200 , observe y analice los cambios en las funciones anteriores.
T
b) Dada la función v(t) = 1+ sen (2π f0t) , genere y grafique en el intervalo [0,1) la señal
v(t) y los coeficientes complejos de Fourier V(nw0). Dándole valores a la frecuencia f0 ,
con 1< f0 < 90 , observe y analice los cambios en las funciones anteriores.
c) A partir de los coeficientes X(nw0) de la señal x(t) del inciso a) , genere la serie de
20
Fourier s (t ) = ∑ X (nω 0 ) cos(nω 0 t − φ (nω 0 )) . Realice un gráfico que muestre
n =1
secuencialmente en el tiempo la aproximación enésima y la señal original x(t)
superpuestas.
SOLUCIONES
Actividad Nº1 – SyS21.m
%a) Señales de energía y sus transformadas- Cambio de escala
a=10;
t=-10:.01:9.99;
N=length(t);
x1=a*exp(-a*abs(t));
x2=a*sinc(a*t);
x3=a*sinc(a*(t-4));
w=(2*pi*100/(N))*(-N/2:(N-1)/2);
X1=20*abs(fft(x1))/N;
X1=fftshift(X1);
X2=20*abs(fft(x2))/N;
X2=fftshift(X2);
figure(1)
Subplot(2,1,1) , plot(t,x1),
xlabel('t'),ylabel('x1(t)'),title('Función en t')
Subplot(2,1,2) , plot(w,X1)
xlabel('w'),ylabel('X1(w)'),title('Espectro en w')
figure(2)
Subplot(2,1,1) , plot(t,x2)
xlabel('t'),ylabel('x2(t)'),title('Función en t')
Subplot(2,1,2) , plot(w,X2)
xlabel('w'),ylabel('X2(w)'),title('Espectro en w')
%b) Desplazamiento en el tiempo
X3=20*abs(fft(x3))/N;
X3=fftshift(X3);
figure(3)
Subplot(2,1,1) , plot(t,x3)
xlabel('t'),ylabel('x3(t)'),title('Función en t')
Subplot(2,1,2) , plot(w,X3)
xlabel('w'),ylabel('X3(w)'),title('Espectro en w')
%c) Convolución en el tiempo
y=20*conv(x1,x2)/N;
y=y(1000:2999);
Y=20*abs(fft(y))/N;
Y=fftshift(Y);
Y1=X1.*X2;
figure(4)
Subplot(3,1,1) , plot(t(500:1500),y(500:1500))
xlabel('t'),ylabel('y(t)'),title('Función en t')
Subplot(3,1,2) , plot(w,Y)
xlabel('w'),ylabel('Y(w)'),title('Espectro en w')
Subplot(3,1,3) , plot(w,Y1)
xlabel('w'),ylabel('Y(w)'),title('Espectro en w')
Actividad Nº2 – SyS22.m
%a) Generación de una señal periódica y su espectro
k=2;
t=0:.01:9.99;
N=length(t);
w=(2*pi*100/(N))*(-N/2:(N-1)/2);
z=zeros(1,(200-round(200/k)));
u=8*ones(1,round(200/k));
x=[z u z u z u z u z u];
X=fft(x)/500;
Xmod=abs(X);
Xmod=fftshift(Xmod);
figure(1)
subplot(2,1,1) , plot(t,x),
xlabel('t'),ylabel('x(t)'),title('Función en t')
subplot(2,1,2) , plot(w(300:700),Xmod(300:700))
xlabel('w'),ylabel('X(w)'),title('Espectro en w')
%b) Señal senoidal y su espectro
f0=20;
tau=0:.001:.999;
N=length(tau);
v=1+sin(2*pi*f0*tau);
f=(1000/(N))*(-N/2:(N-1)/2);
V=1*abs(fft(v))/N;
V=fftshift(V);
figure(2)
Subplot(2,1,1) , plot(tau,v)
xlabel('t'),ylabel('v(t)'),title('Función en t')
Subplot(2,1,2) , plot(f(401:600),V(401:600))
xlabel('f'),ylabel('V(f)'),title('Espectro en f')
%c) Aproximación de una señal periódica por su serie finita de Fourier
s0=X(1)/2*ones(1,length(t));
serie=s0;
for i=1:20
s(i,:)=abs(X(5*i+1))*cos(i*pi*t+angle(X(5*i+1)));
serie=serie+s(i,:);
figure(3),
subplot(2,1,1),plot(t,s(i,:))
subplot(2,1,2),plot(t,x,t,serie)
pause
end