Módulo 2 y 3: Deflexiones en vigas y Métodos energéticos Archivo

Módulo
2
Deflexiones en vigas
Introducción
Todos los cuerpos reales se deforman bajo la aplicación de una carga, elástica o
plásticamente. Un cuerpo puede ser tan insensible a la deformación que el supuesto
de rigidez no afecte en grado suficiente a un análisis para asegurar un tratamiento
no-rígido. Si después se comprueba que la deformación del cuerpo no era
despreciable, entonces la declaración de rigidez fue una decisión errónea, no un
supuesto equivocado. Un cable metálico es flexible, pero en tensión puede ser
prácticamente rígido y se distorsiona mucho si se somete a cargas de compresión. El
mismo cuerpo puede ser rígido o no rígido.
El análisis de la deflexión influye en las situaciones de diseño en muchas formas. A
menudo, el tamaño de una pieza se determina de acuerdo con las deflexiones, en vez
de calcularse con base a los límites de esfuerzo y algunas veces, los elementos
mecánicos se diseñan para que tengan una característica particular de la relación
fuerza-deflexión.
En este capítulo nos centraremos en otro aspecto del diseño
de vigas, llamado “determinación de las deflexiones”.
Es de particular interés la determinación de la máxima
deflexión de una viga bajo ciertas condiciones de cargas pues
las especificaciones de diseño de la misma generalmente
incluyen un valor máximo admisible para dicha deflexión.
También será de interés conocer las deflexiones para el
análisis de vigas indeterminadas (aquellas en las que el
número de reacciones excede al de ecuaciones de equilibrio)
Para una viga prismática sometida a flexión pura la misma se
flexa un arco de circunferencia en el cual, dentro del rango
elástico, la curvatura de la superficie neutra se calcula de la
siguiente forma:
De aquí que este valor de deformación es válido en cualquier lugar y se concluye que la
deformación normal longitudinal x varía linealmente con la distancia y desde la
superficie neutra.
La deformación x alcanza su valor máximo en c que es la distancia mayor desde la
superficie neutra por lo que el máximo valor absoluto de dicha deformación es:
donde M es el momento flector, E el módulo de elasticidad e I el momento de
inercia de la sección transversal en su eje neutro.
Cuando una viga es sometida a cargas transversales, la ecuación anterior sigue
siendo válida para cualquier otra sección transversal, sin embargo, tanto el
flector como la curvatura de la superficie neutra podrán variar de sección a
sección.
Llamando x a la distancia de la sección desde la izquierda de la viga, podemos
escribir:
Deformación bajo cargas transversales
Consideremos, por eje,plo, una viga
cantilever AB de longitud L, sometida a
una carga concentrada P en su extremo
A. Tendremos que M(x)=-Px por lo que
quedaría:
Lo cual muestra que la curvatura de la superficie
neutra varía linealmente con x, desde cero en A,
donde A es , a –PL/EI en B donde . B=EI/PL
Notamos que el mayor valor de la curvatura (i.e., el
menor valor del radio de curvatura) ocurre en el
soporte C, donde M es máximo.
De la información obtenida de la curvatura, tendremos una idea aproximada de la
deformación de la viga. Sin embargo, el análisis y diseño de una viga usualmente
requiere mayor información precisa de la deflexión y de la pendiente en varios puntos.
El conocimiento de la máxima deflexión de la viga será de particular importancia
Ecuación de la elástica
Del análisis matemático se sabe que la curvatura de una curva plana en un punto
Q(x,y) de la curva puede ser expresada como
Pero en el caso de la curva elástica de una viga, la pendiente dy/dx es muy
pequeña, y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. De aquí que:
Y sustituyendo:
La ecuación obtenida es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. El
producto EI es conocido como rigidex flexional .
Para el caso de vigas de sección transversal constante:
Llamando (x) al ángulo medido en radianes que forma la tangente a la curva
elástica con la horizontal y observando que dicho ángulo es muy pequeño,
tendremos:
De aquí que se puede escribir la
ecuación anterior de forma alternativa:
Integrando:
Las constantes C1 y C2 se determinan con las condiciones de borde o, más
precisamente con las condiciones impuestas por la soportación de la viga.
Ejemplos:
1. Determinar la ecuación de la elástica y la deflexión y pendiente en A
2. Determinar la ecuación de la elástica y la máxima deflexión de la viga
3. Determinar la pendiente y deflexión en D
Determinación de la elástica a partir de la
distribución de las cargas
Recordamos de CMM1 que, cuando una viga soporta una carga
distribuida w(x) , tenemos que: dM/dx = V y dV/dx =-w para cualquier
punto de la viga. Luego:
De lo anterior concluimos que, cuando una viga prismática está sometida a una
carga distribuida w(x) , su curva elástica se encuentra gobernada por la
siguiente ecuación diferencial lineal de cuarto orden :
Las cuatro constantes de integración pueden determinarse mediante las
condiciones de borde. Dichas condiciones incluyen (a) las condiciones
impuestas en la deflexión o pendiente de la viga, y (b) la condición de que V y M
son cero en el extremo libre de una viga cantilever:
Ecuaciones fundamentales
Intensidad de carga
x
Esfuerzo cortante
x
Momento flector
x
Pendiente
x
Deflexión
x
d4y
EI  w
4
dx
d3y
EI  V
3
dx
d2y
EI  M
2
dx
dy
EI  
dx
y
Ejemplo: La viga simplemente soportada AB está sometida a una carga
uniformemente distribuida w por unidad de longitud de viga. Determinar la ecuación
de la elástica y la máxima deflexión de la viga.
Vigas estáticamente indeterminadas
En el ejemplo mostrado se ve que las reacciones involucran 4 incógnitas mientras que
las ecuaciones de equilibrio son 3:
ECUACIONES DE EQUILIBRIO:
ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA:
Teniendo en cuenta las condiciones de borde indicadas, tenemos que x=0, =0 y
x=0, y=0 en A, por lo que sustituyendo en las ecs. anteriores se llega a C1=C2=0,
por lo que llegamos a :
Pero la tercera condición de borde requiere que y=0 para x=L. sustituyendo en la
ecuación anterior:
Funciones de singularidad o de Macaulay
Las 4 funciones de singularidad definidas en la tabla anterior, utilizando los
paréntesis   , constituye un medio útil y sencillo para integrar a través de
discontinuidades. Mediante su utilización, las expresiones generales para cortante y
flector pueden ser escritas cuando la viga es cargada con fuerzas y momentos
concentrados.
Como se puede ver en la tabla, los momentos y fuerzas concentradas son cero para
todos los valores de x diferentes de a y están indefinidas para valores de x=a.
Observar que el escalón unidad y las funciones rampa son cero solamente para
valores de x menores que a .
Las primeras dos integraciones de q(x) para V(x) y M(x) no requieren de constantes
de integración.
Las reacciones R1 y R2 pueden ser encontradas de la forma usual (suma de fuerzas y
momentos igual cero), o pueden ser encontradas notando que el cortante y el flector
deberán ser cero en cualquier lado excepto en la región 0 x  20in. Lo que significa
que V =0 para valores de x mayores que 20in . De aquí :
Como el flector deberá ser cero en la misma región, tenemos que:
Por lo cual:
La aplicación a la deflexión de vigas es una simple extensión de lo visto. Son fáciles
de evaluar y pueden simplificar enormemente la solución de problemas
estáticamente indeterminados.
Ejemplos:
1. Consideremos la viga mostrada. Desarrolle las
ecuaciones de deflexión utilizando funciones de
singularidad
2. Determine la deflexión para la viga simplemente soportada con la
distribución de cargas mostrada
La intensidad de carga es:
De la estática:
Integrando:
Empezando por la derecha podemos
omitir la función de singularidad:
Integrando dos veces
más:
Conds. de borde
3. Para la viga y cargas mostradas y utilizando funciones de singularidad, expresar
el cortante y el flector como función de x desde el soporte A
Superposición
Cuando una viga es sometida a varias cargas distribuidas o concentradas, es muchas
veces conveniente computar separadamente las pendientes y deflexiones causadas
por cada una de las cargas en cuestión. La pendiente y la deflexión debido a cargas
combinadas se obtienen aplicando el principio de superposición y sumando los
valores de las pendientes o deflexiones correspondientes a las cargas mencionadas.
Ejemplos: 1.
2. Caso hiperestático
La superposición resuelve el efecto de cargas combinadas sobre una estructura
mediante la determinación de los efectos que cada carga por separado y sumando
algebraicamente los resultados. La superposición puede aplicarse a condición de
qué:
1. Cada efecto esté relacionado linealmente con la carga que lo produce
2. Una carga no genere una condición que afecte el resultado de otra carga
3. Las deformaciones resultantes de alguna carga específica no sean lo
suficientemente grandes como para alterar las relaciones geométricas de las
partes del sistema estructural.
Método de las «Areas – Momento»
En la primera parte de este capítulo utilizamos un método matemático basado en
la integración de una ecuación diferencial para determinar la deflexión y
pendiente de una viga en cualquier punto. El momento flector fué expresado
como una función M(x) de la distancia x medida a lo largo de la viga, y dos
integraciones sucesivas llevan a las funciones (x) e y(x) que representan
respectivamente, la pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga.
En esta parte veremos como las propiedades geométricas de la curva elástica
pueden ser utilizadas para determinar la deflexión y la pendiente de una viga en
un punto específico.
Consideremos una viga AB sometida a alguna carga
arbitraria (Fig. a). Representamos el diagrama que
representa la variación a lo largo de la viga de la
cantidad M/EI (Fig. b).
Vemos que, excepto por la diferencia en las escalas de
las ordenadas, este diagrama es el mismo que el de
flector si la rigidez a la flexión de la viga es constante
Primer teorema de Mohr: D/C = área bajo el diagrama (M/EI) entre C y D
Consideremos ahora dos puntos P y P’
localizados entre C y D, a una distancia dx uno de
otro (ver figura).
Las tangentes a la elástica por P y P’ interceptan
a la vertical por C determinando un segmento de
longitud dt
La pendiente  en P y el ángulo d formado por
las tangentes en P y P’ son ambos pequeñas
cantidades, por lo que podremos asumir que dt
es igual al arco de radio x subtenido el ángulo d.
Tendremos , por ende:
Ahora integramos la ecuación anterior desde C a D. Notamos que, el punto P describe
la curva elástica desde C a D, la tangente en P barre la vertical a través de C desde C a
E. La integral de la parte izquierda es entonces igual a la distancia vertical desde C a
la tangente en D. Esta distancia se denota por tC/D y es llamada la desviación
tangencial de C respecto de D. Tenemos, por lo tanto:
Observamos que (M/EI)dx representa un elemento de área bajo el diagrama (M/EI),
y x1 (M/EI)dx el momento de primer orden de este elemento respecto a un eje
vertical por C.
El miembro de la derecha representa el momento
de primer orden respecto de el eje del área
localizada bajo el diagrama (M/EI) entre C y D.
Podemos, por consiguiente, establecer el segundo
teorema del área-momento (2° teorema de
Mohr):
La desviación tangencial t C/D de C respecto de D es
igual al primer momento respecto a un eje vertical
por C del área bajo el diagrama (M/EI) entre C y D.
Recordando que el primer momento de un área
respecto de su eje es igual al producto del área por
la distancia desde su centroide al eje, podemos
expresar el segundo teorema de la siguiente forma:
Módulo
3
Métodos energéticos
Energía de deformación
Consideremos una barra BC de longitud L y sección transversal A empotrada en B
sometida a una carga axial P que se incrementa lentamente y graficamos en un
diagrama esfuerzo-deformación.
Ahora consideramos el trabajo dU realizado por la carga P cuando la barra se estira
una longitud diferencial dx. Dicho trabajo elemental es igual a P dx
El trabajo total U realizado por la carga cuando la barra se deforma hasta x1 es por lo
tanto:
El trabajo realizado por la carga P mientras esta es aplicada lentamente a la barra
deberá resultar en un incremento de alguna energía asociada con la deformación de
dicha barra. Esta energía se conoce como la energía de deformación de la barra.
Unidades: N.m (joules) ó lb-ft
En el caso de deformaciones elásticas y lineales, la
parte del diagrama carga-deformación involucrada
puede ser representada mediante una recta de
ecuación P=kx.
Veremos más adelante que el concepto de energía de deformación será útil para la
determinación de los efectos de cargas de choque sobre estructuras o componentes
de máquinas.
Densidad de energía de deformación
La idea es eliminar el efecto del tamaño y centrar la atención en las propiedades del
material. Dividiendo la energía de deformación U por el volumen V = AL de la barra,
tendremos que:
Teniendo en cuenta que P/A representa el esfuerzo normal x en la barra, y x/L la
deformación normal ϵx :
Notamos que la densidad de
energía de deformación u es igual
al área bajo la curva esfuerzodeformación, medidos desde ϵx
hasta ϵx = ϵ1
El valor de la densidad de energía
de
deformación
obtenida
haciendo ϵ1 = ϵR, donde ϵR es la
deformación de ruptura es
conocida como el módulo de
tenacidad del material (área total
bajo
la
curva
esfuerzodeformación)
Módulo de resiliencia
Representa la energía por unidad
de volumen que el material puede
absorber sin entrar en fluencia.
Energía elástica de deformación para esfuerzos normales
El valor de la energía de deformación
U de un cuerpo sujeto a esfuerzos
normales uniaxiales pueden ser
obtenidos integrando:
Energía elástica del cuerpo
Energía elástica de deformación para carga axial
Para el caso de una barra
de sección uniforme A:
Ejercicio:
Una carga P es aplicada en B a dos barras del mismo material y de sección uniforme
A. Determinar la energía de deformación del sistema.
Energía elástica de deformación para flexión
Sea M el momento flector a una distancia x:
La segunda integral representa el
momento de inercia I de la sección
transversal a través de su eje neutro.
Ejercicio:
Determinar la energía de deformación de la viga cantilever AB, tomando solamente
en cuenta los efectos de los esfuerzos normales
Energía elástica de deformación para cortante
Energía elástica de deformación para torsión
Energía elástica de deformación para cortante transversal
Energía elástica de deformación para un estado general de
esfuerzos
Donde a , b y c son los esfuerzos principales en el punto dado
Separemos ahora la densidad de energía de deformación u en dos partes, una
parte uv asociada con un cambio en el volumen del material y una parte ud
asociada con una distorsión o cambio de forma del material en el mismo punto: u
= uv + ud
dilatación:
Cambio en volumen por unidad de volumen
La porción uv de la densidad de energía de deformación correspondiente a un
cambio de volumen del elemento puede ser obtenido sustituyendo cada uno de los
esfuerzos principales por 
Para el caso de estado plano de esfuerzos , y asumiendo que el eje c es
perpendicular al plano de esfuerzos, tenemos que c=0 entonces:
Considerando el caso particular de ensayo de tracción, notamos que, en fluencia
a= Y , b= 0, por lo que (ud)Y = Y2/6G.
Y deberá cumplirse que para un estado dado de esfuerzos estaremos del lado
seguro siempre y cuando ud  (ud)Y ó:
Trabajo y energía bajo estado de carga simple
Trabajo y energía bajo estado de cargas múltiples
Los coeficientes ij se llaman coeficientes de influencia
Energía de deformación debido a las cargas P1
y P2
Diferenciando ambos miembros con respecto a P1 y P2 queda
Teoremas de Castigliano
Más generalmente, si una estructura elástica está sometida a n cargas P1, P2, ……, Pn,
la deflexión xj del punto de aplicación de Pj, medido a lo largo de la línea de acción
de ésta, puede ser expresado como la derivada parcial de la energía de deformación
de la estructura respecto a la carga Pj:
ídem para momentos:
Teoremas de Castigliano
En la figura se muestra una curva
carga-deflexión general para un
sistema elástico. Los símbolos Q y
 son generales y pueden indicar
cualquier tipo de carga (axial,
torsional, flexión o cortante
transversal) y su correspondiente
deflexión (lineal o angular). El
único requerimiento es el de
“relacionamiento lineal” , lo que
implica que todos los esfuerzos
están dentro del rango elástico y
no ocurren inestabilidades.
Trabajo   Qd
Que corresponde al área bajo la curva de la
figura. Si el material es perfectamente elástico,
dicha área es también igual a la energía elástica
U almacenada dentro del material
Además, debido a que el sistema es lineal, dicha energía
también será igual al área U' (energía complementaria) :
Vale decir que la energía elástica almacenada es igual a la
deflexión multiplicada por la fuerza promedio. La energía
adicional asociada con la carga incremental dQ es:
La tasa de cambio de la energía con la
carga cuando actúa dicha carga Q es:
Q
U' U 
2
dU '  dU  dQ
dU dQ


dQ
dQ
ó
dU

dQ
De aquí que la deflexión elástica en este sistema simple es la derivada de la energía de
deformación respecto de la carga aplicada
2º TEOREMA DE CASTIGLIANO: Cuando un cuerpo es deformado elásticamente mediante
cualquier sistema de cargas, la deflexión en cualquier punto P y en cualquier dirección a, es
igual a la derivada parcial de la energía de deformación (con el sistema de cargas
actuando) respecto de la carga P actuando en la dirección a .
Matemáticamente, dicho teorema puede
expresarse como:
U

Q
Cuando Q es una fuerza,  es una deflexión lineal (). Cuando Q es un momento, 
es una deflexión angular ().
El teorema puede ser aplicado incluso si el sistema de carga no incluye la carga en
el punto P en la dirección a. En dicho caso es necesario aplicar una carga
imaginaria (fuerza o momento “fantasma”), comúnmente designada Q. Luego de
que se obtenga su expresión, la misma será igualada a cero para obtener el
resultado final.
1er TEOREMA DE CASTIGLIANO:
U
Q

Ejemplos
Tablas
Ejemplos
Principio de los trabajos virtuales
Asumiendo que el sistema es conservativo, el trabajo virtual W realizado por fuerzas
reales a través de desplazamientos virtuales en la dirección de las fuerzas aplicadas es
cero.
Trabajo virtual externo = Trabajo virtual interno