Estudios anteriores han demostrado que puede admitirse una dis

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Estudios anteriores han demostrado que puede admitirse una distribucion de Poisson para el numero de hembras, en una determinada region, de la mosca tropical americana (Dermatobia hominis)
la cual se caracteriza por poner sus huevos en un mosquito, pasando las larvas de la mosca a la piel de la persona cuya sangre ha
chupado el mosquito.
Examinada la region en cuestion en 10 das elegidos al azar, se
obtuvo el siguiente numero de moscas hembra de la citada especie:
2; 1; 3; 3; 4; 2; 1; 2; 3; 2
Se pide:
a) Estimar la ley de probabilidad que rige el mencionado numero
de moscas hembra de la region en estudio.
b) Determinar la estimacion de maxima verosimilitud del numero
medio de moscas hembra de la region en cuestion.
c) Calcular el numero mnimo de das que debe de muestrearse
en la region en estudio, para que la diferencia entre el numero medio de moscas hembra de la region y su estimacion, se diferencien
en menos de una, con probabilidad 0 99.
0
a) Del enunciado se desprende que para la variable aleatoria X , numero
de moscas hembra de la region en estudio, puede admitirse una distribucion
de Poisson P ( ), lo cual signica que modelizamos, en cuanto a la forma,
la ley de probabilidad que rige dicha variable aleatoria |la correspondiente
a una distribucion de Poisson{, dependiendo la determinacion completa de
dicha ley de probabilidad del valor que asignemos a . Estimando convenientemente, habremos estimado la ley de probabilidad de la variable en
estudio.
Un metodo que nos proporciona buenos estimadores del parametro o
parametros de la distribucion es el de la m
axima verosimilitud, independientemente de lo que representen aquellos |media, varianza u otra cosa|.
Para determinar el estimador de maxima verosimilitud de debemos
formar, en primer lugar, la ecuacion de verosimilitud. Como la funcion de
masa de la distribucion de Poisson P ( ) es
( )=
p x
a
e
0
x
!
x
x
= 0; 1; 2; :::
dicha funcion sera
Y
( )=
n
L =1
i
a
e
0
x
i
xi
!
=
la cual tiene por logaritmo neperiano
log
L() = 0n +
Xx
a
la cual tiene como
similitud de
0
i=1
i
n
P
n
1
xi
x1 ! 1 ::: 1 xn !
n
Derivando esta funci
on respecto a
verosimilitud:
a
e
2
log
0 log
a
Yx :
n
i=1
i!
obtenemos la siguiente ecuaci
on de
P
n x
@
i=1 i = 0
log L( ) = 0n +
@
a
^ = x; por tanto, el estimador de m
soluci
on axima vero-
sera la media muestral y, en consecuencia, estimaremos la ley
a
x) = P (2 3).
de probabilidad que rige la variable en estudio por una P (
0
(Obs
ervese que, en la obtenci
on del estimador de m
axima verosimilitud,
no se ha tenido en cuenta el que
cir, la media de la poblaci
on.
fuera la media de la distribuci
on, es de-
En la obtenci
on del estimador s
olo hay que
seguir los tres pasos antes indicados: obtenci
on de la ecuaci
on de verosimilitud, derivada (igualada a cero) de dicha funci
on respecto al par
ametro o
par
ametros que determinan totalmente la distribuci
on modelo y, por u
ltimo,
resoluci
on de la ecuaci
on o sistema de ecuaciones determinado en el segundo
paso.)
b)
Como la media de la distribuci
on de Poisson es el par
ametro que
la caracteriza (CB-secci
on 4.4.2), el cual hemos estimado en el apartado
anterior, la estimaci
on de m
axima verosimilitud del n
umero medio de moscas
0
hembra de la regi
on es 2 3.
c)
El problema aqu
es el de determinar el menor tama~
no muestral
n tal
que se cumpla la condici
on
P fj 0 a
xj < 1g = 0 99
0
o bien,
P fja
x 0 j < 1g = 0 99
0
para lo que ser
a necesario conocer la distribuci
on de la media muestral.
Si el tama~
no muestral resultante fuera grande, digamos mayor que 100,
3
a
ax ; N ; pa
x=n
( an )
podr
amos utilizar la aproximaci
on normal a la distribuci
on de
CB-secci
on 5.5, la cual es
u
ltima expresi
on ser
a
(
a
).
a
x
dada en
En ese caso, tipicando en la
p
P
con
Z
;N
;
(0 1).
j
Zj <
p
a
a
x
0
= 0 99
La tabla 3 de la distribuci
on normal nos dice que a la
0
0
area de probabilidad 0 005, por lo que dentro del
derecha de 2 575 hay un 0
;
0
0
0
intervalo (02 575 2 575) habr
a un area de probabilidad 1 0 2 2 0 005 = 0 99.
8
Es decir, que es
9
P jZ j < 2 575
0
Por tanto, debe ser
aa
p
n
a
a
x
p
0
= 0 99
:
0
= 2 575
a
o bien,
p
pa
n = 2 575 1 a
x = 2 575 1 2 3
a
p
0
0
0
es decir,
n = 2 5752 1 2 3 = 15 25:
0
A medida que
mal de
a
x
n aumenta,
0
0
disminuye la varianza de la distribuci
on nor-
antes utilizada, por lo que esta estar
a cada vez m
as concentrada
entorno a su media,
,
y ser
a cada vez mayor la probabilidad del suceso
puesto como condici
on al inicio del apartado.
muestral requerido es
n = 16.
En suma, el
menor
tama~
no
Observemos, sin embargo, que hemos utilizado una aproximaci
on normal, la cual es buena cuando el tama~
no muestral es grande; como no ha
resultado tan grande como lo inicialmente supuesto, vamos a calcular directamente la probabilidad en cuesti
on:
utilizando el que
x = 16 1 a
x
n1a
antes mencionada. Ser
a
P fja
x 0 j < 1g
;
P (16
) como se indica en la seccion de CB
4
P fja
x 0 j < 1g = P f 0 1 < a
x < + 1g = P
(
16( 0 1) <
Si es = 2 3, esta probabilidad sera
16
X
i=1
Xi
)
< 16( + 1) :
0
P
con P16=1 X
i
i
P f20 8 <
0
16
X
i=1
(
20 8 <
0
Xi < 52 8g
0
Xi < 52 8
)
0
aa a
; P (36 8). Por tanto,
0
16
X
i=1
16
16
16
X
X
X
= P f X = 21g + P f X = 22g + ::: + P f X = 52g
i
i
i=1
i=1
36 821 + e
21!
= F (52) 0 F (20)
= e
360 8
0
0
36 822 + ::: + e
22!
360 8
0
i
i=1
0
36 852
52!
360 8
0
0
= 0 992986 0 0 001840
0
0
= 0 991146 > 0 99
0
0
como queramos y en donde F representa la funcion de distribucion de la
P (36 8).
Como ultimos calculos a realizar que conrman el que n = 16 aes el menor
tama~
requerido, se tiene que, si fuera n = 15, sera n1 x = 15 1 ax =
P15 nXo muestral
; P (15 ) = P (15 1 2 3) = P (34 5) y
=1
0
i
0
i
0
(
P fjax 0 j < 1g
= = P 15(2 3 0 1) <
0
(
= P 19 5 <
0
X
15
i=1
15
X
i=1
Xi < 15(2 3 + 1)
Xi < 49 5
)
0
)
0
= F (49) 0 F (19)
= 0 992295 0 0 002957 = 0 989338 < 0 99
con F ; P (34P5) no llegando, por tanto, a la probabilidad exigida, y si fuera
n = 17, sera 17=1 X ; P (17 1 2 3) = P (39 1) y
0
0
0
0
i
i
0
0
0
5
P fjax 0 j < 1g
(
= P 22 1 <
0
17
X
i=1
)
Xi < 56 1
0
= F (56) 0 F (22)
= 0 995758 0 0 002135 = 0 993623 > 0 99
con F ; P (39 1), mayor que la probabilidad solicitada aunque no siendo
n = 17 el menor tama~no muestral que lo cumple.
Por tanto, se concluye que es razonable utilizar la aproximacion normal
para la media de una muestra procedente de la distribucion de Poisson,
al menos en una primera etapa. Si el tama~no muestral resultante no es
muy grande conviene realizar unos calculos, similares a los anteriores, que
conrmen el resultado obtenido.
0
0
0
0
0