estad stica maestr a (2 o cuatrimestre 2010) pr actica 4 A) Consistencia y distribucion asintotica. 1. (a) Sea n un estimador con V (n) < 1: Probar que si ECM ( ) ! 0; entonces n es debilmente consistente. (b) Sea X ; : : : ; Xn una m.a. tal que E (X ) = y V (X ) < 1: Consideremos el siguiente estimador aleatorizado de : + "nn n = (1 "n ) X donde "n Bi (1; 1=n) y es independiente de las Xi: Probar que n es debilmente consistente, aunque ECM ( ) ! 1: 2. Sea un espacio parametrico nito y n el EMV de : Probar que n es debilmente consistente si y solo si P (n = ) ! 1 8 2 : 3. Sea X ; : : : ; Xn una muestra aleatoria de una distribucion E () : Probar que el EMV de es fuertemente consistente y asintoticamente eciente. 4. Sea X ; : : : ; Xn una muestra aleatoria de una distribucion P (). Consideremos n = X y n 1 n 1 1 v u u t n X 1 1 1 n = 2 + 4 + n i Xi 2 =1 (a) Analizar si estos estimadores de son fuertemente consistentes. (b) Hallar sus distribuciones asintoticas. Decir si alguno de los dos es asintoticamente eciente. (Nota: E (X ) = + 6 + 7 + ) 5. Sea X ; : : : ; Xn una muestra aleatoria de una distribucion U (0; ). (a) Probar que el EMV de es debilmente y fuertemente consistente y hallar su distribucion asintotica. (b) Probar que el estimador de momentos para es fuertemente consistente y hallar su distribucion asintotica. (c) >Cual de estos dos estimadores preferira?>Por que? 6. Sea X ; : : : ; Xn una m.a. de una distribucion exponencial desplazada, cuya densidad es f (x) = e x I ;1 (x) : (a) Probar que el EMV de es debilmente y fuertemente consistente y hallar su distribucion asintotica. (b) Probar que el estimador de momentos para es consistente y hallar su distribucion asintotica. (c) >Cual de estos dos estimadores preferira?>Por que? 7. Sea X ; : : : ; Xn una m.a. de una distribucion F (x ) con F una funcion de densidad ja y 2 IR. Sea n un estimador de equivariante por traslaciones (i.e.: para cualquier constante c 2 IR se verica que n (x + c; : : : ; xn + c) = n (x ; : : : ; xn ) + c). Mostrar que la varianza asintotica de n (si existe) no depende de : 4 4 3 2 1 1 ( 1 ) [ ) 0 1 0 1 1 8. Sea X ; : : : ; Xn una muestra aleatoria de una distribucion F con densidad f (x satisface: i) f (x) = f ( x), ii) f (x) continua en x = 0: 1 ) donde f (x) (a) Sea Za;i = I fXi ag:Mostrar que Za;i tiene distribucion Bi(1; F (a)): (b) Sea Za = P Za;i. Mostrar que Za tiene distribucion Bi(n; F (a)): (c) Probar que P (Za n + 1) P (mediana(X ;:::; Xn ) a) P (Za n ) (d) Mostrar que mediana(X ;:::;Xn) es un estimador debilmente consistente de : 1 2 2 1 B) Ejercicio para hacer en la computadora. 1. Retomemos el ejercicio 1 de la practica 2 parte D). Para cada uno de los 4 conjuntos de 1000 datos realizar un histograma. Puede decir algo sobre las distribuciones asintoticas de los estimadores?, a que familias pertenecen?, cuales son sus parametros?. 2