racionalización

RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una fracción es encontrar otra fracción equivalente que no tenga
raíces (radicales) en el denominador. Existen 3 casos posibles:
a) En el denominador hay un único radical cuadrático (raíz cuadrada)
Para eliminarlo, multiplicamos y dividimos por la raíz que aparezca en el
denominador
Ej:
3
3
2 3⋅ 2 3 2
=
⋅
=
=
2
2
2
2 2
2
15
2 5
=
15
2 5
5
⋅
=
5
15 5 15 5 3 5
=
=
2·5
10
2
b) En el denominador hay un único radical, pero no es cuadrático
Para eliminar la raíz del denominador, multiplicamos y dividimos por la raíz con
el mismo índice, pero con un exponente en el radicando (lo de dentro de la raíz) tal
que al sumarlo (por propiedades de la raíz y de las potencias) con el otro exponente, la
raíz se anule. Se entiende mejor con los ejemplos:
Ej:
8
5
4
5
3
7
=
2
=
8
5
5
3
7
4
2
⋅
⋅
5
43
5
3
3
72
3
72
4
=
=
85 4 3
5
4 ⋅4
2
53 7 2
3
73
=
3
=
85 4 3
5
4
5
( )
85 2 2
=
4
3
= 2 5 2 6 = 45 2
53 7 2
7
c) En el denominador hay dos términos que se suman o se restan, y al menos uno de
ellos es una raíz cuadrada
Para eliminar la raíz hacemos uso de la igualdad notable (a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2 .
Para ello multiplicamos y dividimos por una fracción que contenga los mismos sumandos
del denominador, pero con el signo cambiado (a esto se le llama conjugado). De esta
forma, el resultado será que los dos sumandos se elevan al cuadrado, con lo que la raíz
desaparece siempre.
Ej:
2
3+ 2
=
4
3− 2
2
⋅
3− 2
3+ 2 3− 2
=
4
3− 2
⋅
=
(
2⋅ 3− 2
)
(3 + 2 )⋅ (3 − 2 )
=
6−2 2
3 − 2
2
2
=
6−2 2 6−2 2
=
9−2
7
3+ 2 4 3+4 2 4 3+4 2
=
=
=4 3+4 2
2
2
3−2
3+ 2
3 − 2