Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica CAPM y componentes principales Mogens Bladt Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Capital Asset Pricing Model I Portafolio de mercado: el portafolio que consiste de la totalidad de todos los valores. I Imposible de calcular en practica; usar proxy como un indice de bolsa o varios indices de bolsa. I Considere N valores o portafolios. I Rendimiento libre de riesgo: Rf . I Rendimiento en exceso del valor i a tiempo t esta definido por Zi,t = Ri,t − Rf donde Rf es el rendimiento del valor libre de riesgo. I Rm,t el rendimiento del portafolio del mercado y Zm,t = Rm,t − Rf el rendimiento en exceso (de Rf ). Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Capital Asset Pricing Model I La teorı́a de CAPM dice que IE(Ri ) = Rf + βim (IE(Rm ) − Rf ) I Esto es lo mismo que IE(Zi ) = IE(Ri − Rf ) = βim IE(Zm ). I Aqui βim = cov(Ri , Rm ) cov(Zi , Zm ) = . Var(Rm ) Var(Zm ) Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Capital Asset Pricing Model I Pongamos Zt = (Z1,t , ...., ZN,t )0 . I Se modela Zt = α + βZm,t + t . I α parámetro que debe de ser zero si el modelo es valido (vector N × 1). I β pendientes (vector N × 1). I vector de errores en la regressión. I Aquı́: IE(t ) = 0, Var(t ) = IE(t 0t ) = Σ. I 2 y cov(Z IE(Zm,t ) = µm , Var(Zm,t ) = σm m,t , t ) = 0. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica I I I Este es una regressión no totalmente estandar: una regression multivariada donde hay una variable explicativo y univariada. Las estimadores de máxima verosimilitud, sin embargo, son faciles de derivar. Los estimadores son PT (Zt − µ̂)(Zm,t − µ̂m ) α̂ = µ̂ − β µ̂m,t , β̂ = t=1 . PT 2 t=1 (Zm,t − µ̂m ) I Σ̂ = T 1 X (Zt − αt − βZm,t )(Zt − αt − βZm,t )0 T t=1 I µ̂ = T T 1 X 1 X Zt , µ̂m = Zm,t . T T t=1 Mogens Bladt t=1 CAPM y componentes principales Close.Walmart Close.CocaCola Nov Jan Mar Index May Mogens Bladt Jul Sep 18 20 22 24 26 22 Close.Telmex 26 30 Close.Att 44 46 48 50 19 20 21 22 7 8 9 28 32 22 26 60 65 Close.exxon 24 70 20 28 75 Close.MICROSOFT 25.5 55 Close.Chrysler 24 Close.DELL 10 24.5 23 20 Close.Ford 21 Close.INTEL 19 85 25 30 Close.GM 80 Close.IBM 1300 32 36 40 Close.McDonalds 1200 Close.SP500index Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Ejemplo Portfolio CAPM y componentes principales Nov Jan Mar Index May Jul Sep Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Capital Asset Pricing Model Ejemplo I Datos consisten en 13 series de diferentes sectores y un indice (S&P500). I Checamos los supuestos del modelo CAPM con los valores individuales. I Según el CAPM los plots de los rendimientos netas de una valor contra el indice de bolsa deberia caer más o menos en una linea recta que paso por zero. I Observamos que el CAPM no aplica para valores individuales. I Construimos un portafolio de los 13 valores. Checamos si este portafolio cumple con el CAPM. (Sesión práctica, R). Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Ejemplo ● 1.02 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● 1.01 ● ● ● ● ● ● 1.00 ● ● ● ●● ● ● ●● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● 0.99 SPreturns ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 IBMreturns Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Ejemplo ● 1.02 ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● 1.01 ● ● ● ● ● ● ● ● 1.00 ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ●●● ●●● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ●● ●● ● ● ● ● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.99 SPreturns ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● 0.98 ● 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 WALreturns Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Ejemplo ● 1.02 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 1.01 1.00 0.99 ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ●● ●● ● ● ●●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● SPreturns ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.90 0.95 ● 1.00 1.05 1.10 GMreturns Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Ejemplo ● 1.02 ● ● ● ● ●● ● ● ● 1.01 ● ●● 1.00 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ●●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ● ●●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ●● ● ●●●●●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● 0.99 SPreturns ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.98 1.00 1.02 1.04 ATTreturns Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Ejemplo 0.02 ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.01 ● ● ● 0.00 ● ● ● −0.01 ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●●●● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ●●● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ●●● ● ● ● ●● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −0.02 SPreturns ● ● −0.02 ● −0.01 0.00 0.01 0.02 Preturns Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Arbitrage Pricing Theory I La teorı́a de APT (Ross, 1976) supone que el rendimiento del valor i, Ri satisface Ri = ai + b0i F + i donde I IE(i |F) = 0 y IE(2i ) = σi2 ≤ σ 2 < ∞. I ai es la intersección del modelo. I F es un vector de dimensión p < N de factores comunes. I bi es un vector de ponderadores (sensitividades) de los factores. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Arbitrage Pricing Theory I Si escribimos el modelo en notación vectorial–matricial: R = a + BF + , I donde B es la matrı́z cuyo filas son b0i , a = (a1 , ..., aN )0 , y = (1 , ..., N )0 . I R1 a1 R 2 a2 ... = ... RN aN b11 b12 b21 b22 + ... ... bN1 bN2 Mogens Bladt ... b1p F1 F2 ... b2p ... ... ... ... bNp Fp 1 2 + ... . N CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Arbitrage Pricing Theory I I Se supone que cov(F, ) = IE ((F − IE(F))0 ) = 0. Si ΓF es la matrı́z de covarianza de F y Γ la matrı́ de covarianza de entonces cov(R) = BΓF B0 + Γ . I I Nota: Γ es diagonal. Ahora suponemos que tenemos datos R1 , ..., Rn I que representan los rendimientos de unos factores de riesgo (como e.g. rendimientos de valores). A cada tiempo t tenemos una observación Rt y se supone que este vector se puede expresar como un modelo de factores con factores Ft y errores t . Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Arbitrage Pricing Theory I I I I I La calibración (o estimación) del modelo depende si los factores son observables o no–obsewrvables (lantentes). Observable: por ejemplo Ft = Ft de dimension uno (solamente un factor), F1 , ..., Fn datos de un indice de bolsa (Dow Jones, S& P500, Nasdaq etc.) y bfRt datos de unos portafolios o valores. Latente: aqui los factores son estimados usando los mismos datos R1 , ..., Rn . Hay dos maneras distintos: componetes principales y analisis de factores clásico. Vamos a concentrarnos en el método de componentes principales. Cuando los factores son observables básicamente tenemos el problema de una regressión. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Arbitrage Pricing Theory I I I I I Independientemente si tenemos factores observables o latentes, la razón por el uso de modelos de factores en el manejo de riesgo es la reducción de dimensión. Supongamos que tenemos 100 valores en un portafolio. Queremos describir el movimiento de los valores en conjunto para fines de predicción y para calcular VaR o ES. Este es una serie de tiempo en dimensión 100 lo cual es no es manejable (la matrı́z de Cov tienen 10,000 entradas). El otro extremo es considerar solamente el valor del portafolio a cada tiempo; series de tiempo en dimensión 1. Con un modelo de factores tratamos de explicar el movimiento total de los 100 valores en terminos de unos (pocos) factores. Por ejemplo indices de bolsas o unos tantos valores en nuestra portafolio. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales I I I La idea con el analisis componentes principales (PCA) es de reducir la dimensionalidad de datos altamente correlacionados. En PCA no estimamos ningun modelo pero hacemos una rotación de los datos. Es meramente exploratorio o descriptivo la tecnica. Deomposición espectral es la base: para A matrı́z N × N simétrica se puede escribir A = ΓΛΓ0 I donde Λ = diag(λ1 , .., λN ) con λi siendo los eigenvalores de A. Se recuerda que los eigenvalores se calcula a traves: det(A − λI) = 0. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales I Se puede suponer que λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λN . I Γ son matrices N × N con columnas que son los eigenvectores normalizados (de longitud 1). I Se recuerda que v es un eigenvector para A si existe un número (eigenvalor) tal que Av = λv. I Las matrices Γ son ortogonales: ΓΓ0 = Γ0 Γ = I, i.e. Γ−1 = Γ0 . I Ahora suponemos que R tiene medio IE(R) = µ y covarianza cov(R) = Σ. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales I La transformada de componentes principales esta dado por Y = Γ0 (R − µ) . I R − µ esta centralizando los datos; Γ0 esta rotando los datos. I El i–esima componente principal esta definido por Yi = γ 0i (R − µ) donde γ i es el eigenvector de Σ que corresponde al eigenvalor λi . Recuerden que son ordenados. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales I IE(Y) = IE (γ 0i (R − µ)) = 0. I cov(Y) = cov(Y, Y) = cov(Γ (R − µ) , Γ (R − µ)) = IE [Γ (R − µ)] [Γ (R − µ)]0 = ΓIE (R − µ) (R − µ)0 Γ0 = ΓΣΓ0 = ΓΓ0 ΛΓΓ0 = Λ. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales I I I Entonces los componentes principales Y1 , ..., YN son no–correlacionadas, y Var(Yi ) = λi , i.e. los eigenvalores son sus varianzas. Los componentes principales son ordenados en orden decreciente de las varianzas. Se puede demostrar que el primer componente principal satisface Var(γ 01 R) = max{Var(a0 R)|a0 a = 1}. I Para el componente principal número j, es el portafolio que maximiza la varianza entre todas las portafolios que son ortogonales (i.e. no–correlacionadas) con los primeros j − 1 portafolios. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales I También tenemos N X Var(Yj ) = j=1 I trace(Σ) = datos. I La fracción N X λj = trace(Λ) = trace(Σ) = j=1 P j N X Var(Rj ). j=1 λj es una medida de la variabilidad total en los Pk j=1 λj PN j=1 λj se interpreta como la proporción de la variabilidad explicado por los primeros k componentes principales. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales en la practica I Supomgamos que R1 , ..., Rn tienen la mismas distribución y matrı́z de covarianza Σ no conocido. I Nota que no se supone independencia. I Es práctica común de estimar la matrı́z de covarianza por n SR = 0 1X Rt − R̄ Rt − R̄ n t=1 donde n R̄ = 1X Rt . n t=1 Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales en la practica I Aplicamos la descomposición espectral a la matrı́z SR . I SR = GLG0 . Aqui L = diag(l1 , ...., ln ), donde l1 ≥ l2 ≥ ... ≥ lN son los eigenvalores ordenados y G la matrı́z cuyo columnas consiste en los eigenvectores normalizadas. Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales en la practica I Definimos nuevos datos, los componentes principales empiricos, Yi,t , dado por Yi,t = g0i Rt − R̄ . I Los datos Yt = (Y1,t , ..., YN,t ) = G0 Rt − R̄ son rotaciones de los datos originales y centrados. I Los datos rotados no tienen correlación entre sus componentes y tiene matrı́z de covarianza L = diag(l1 , ..., lN ). Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales en la practica I Componentes principales como factores. I Y = Γ0 (R − µ) =⇒ R = µ + ΓY. I Supongamos que es razonable pensar que k < N de los componentes principales explicarı́a la mayor parte de la variación total. I Partimos Y0 = (Y01 Y02 ) donde Y1 es de dimensión k y Y2 de dimensión N − k. I Partimos la matrı́z Γ en dos de la misma forma: 0 Y1 Γ1 = R − R̄ . 0 Y2 Γ2 Mogens Bladt CAPM y componentes principales Contenido CAPM Arbitrage Pricing Theory Componentes principales Componentes principales en la practica Componentes principales en la practica I Este es lo mismo como R = µ + (Γ1 Γ2 ) I Y1 Y2 = µ + Γ1 Y1 + Γ2 Y2 . La regressión correspondiente es R = µ + Γ1 Y1 + Γ2 Y2 + . I Γ2 Y2 se supone es pequeño y se agrega al termino de error . De este forma obtenemos un modelo de la forma I R = µ + Γ1 Y1 + ˜. Mogens Bladt CAPM y componentes principales