1 I.T.I. GESTIÓN BOLETÍN CON LOS EJERCICIOS RESUELTOS CÁLCULO NUMÉRICO CURSO 2004-05 3. Interpolación polinomial 1. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta función f de la que conocemos que: f(-1)=1 ; f(0)=-1 ; f(2)=2 y f(3)=2. Solución. En primer lugar los polinomios de Lagrange: P0 (x) = (x)(x − 2)(x − 3) (x − 0)(x − 2)(x − 3) = (−1 − 0)(−1 − 2)(−1 − 3) −12 P1 (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3) (x + 1)(x − 2)(x − 3) = (0 + 1)(0 − 2)(0 − 3) 6 P2 (x) = (x + 1)(x − 0)(x − 3) (x + 1)(x)(x − 3) = (2 + 1)(2 − 0)(2 − 3) −6 P3 (x) = (x + 1)(x − 0)(x − 2) (x + 1)(x)(x − 2) = (3 − 0)(3 + 1)(3 − 2) 12 Ahora el polinomio interpolador: P (x) = 1 (x + 1)(x − 2)(x − 3) (x + 1)(x)(x − 3) (x + 1)(x)(x − 2) (x)(x − 2)(x − 3) −1 +2 +2 −12 6 −6 12 P (x) = −1 (5x3 − 19x2 + 12). 12 2. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la función f (x) = log(x) con el soporte s = {1, 2, 4, 6, 8}. Determinar la función del error y acotar el error cometido al usar P(3) para aproximar el valor de log(3). Solución. Sabido que log(1) = 0; log(2) = 0.633147; log(4) = 2 log(2) = 1.386294; log(6) = 1.791759 y que log(8) = 3 log(2) = 2.079441, el polinomio interpolador es: P (x) = −0.001768x4 + 0.038892x3 − 0.325901x2 + 1.425121x − 1.136444. Para acotar la función error necesitamos la derivada cuarta de la función: f 4 (x) = 24 x5 . En el intervalo I = [1, 8], puesto que es una función decreciente en él, ofrecerá su valor máximo en x =1 luego: M= 24. Por tanto la función del error será: 24 ≤ |(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 6)| = |(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 6)|. 4! Para aproximar log(3) uso: P (3) = −0.00176834 + 0.03889233 − 0.32590132 + 1.4251213 − 1.136444 = 1.112814. con lo que el error: ≤ |(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 6)| = 6. Realmente la acotación resulta excesiva puesto que el valor “exacto” es log(3) = 1.098612 y el “error exacto:” 0.014202. 2 3. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta función f(x) de la que conocemos: f(-2)=0; f(0)=1; f(1)=-1. Idem por Newton, Diferencias Divididas. Escribirlo en la forma a0 + a1 x + a2 x2 para comprobar que son idénticos. Solución. Por Lagrange: (x)(x − 1) 6 (x + 2)(x − 1) P1 (x) = −2 P0 (x) = P2 (x) = Por lo tanto: P (x) = (x)(x + 2) 3 −1 (5x2 + 7x − 6) = −0.833333x2 − 1.166666x + 1. 6 Por Newton: xi −2 0 1 f (xi ) 0 1 −1 f [xi , xi+1 ] 0.5 −2 f [xi , xi+1 , xi+2 ] −0.833333 Con ello: P (x) = 0 + 0.5(x + 2) − 0.833333(x + 2)x = −0.833333x2 − 1.166666x + 1. 4. Disponemos de los siguientes datos sacados de un polinomio de grado g ≤ 5. ¿Podrı́amos averiguar de qué grado es? xi -2 -1 0 1 2 3 yi -5 1 1 1 7 25 Solución. Lo resolveremos por Diferencias Divididas. xi −2 −1 0 1 2 3 f (xi ) −5 1 1 1 7 25 f [xi , xi+1 ] 6 0 0 6 18 f [xi , xi+1 , xi+2 ] −3 0 3 6 f [xi , · · · , xi+3 ] 1 1 1 f [xi , · · · , xi+4 ] 0 0 f [xi , · · · , xi+5 ] 0 Con estos datos: P (x) = −5 + 6(x + 2) − 3(x + 2)(x + 1) + 1(x + 2)(x + 1)x + 0(x + 2)(x + 1)x(x − 1) = x3 − x + 1. Al anularse las diferencias de cuarto orden se deduce que se trata de un polinomio de tercer grado,como finalmente obtenemos. 3 5. Sabemos que P4 (x) = los datos: −5 4 24 x + 14 3 24 x + 29 2 24 x xi yi − 62 24 x -1 3 es el polinomio interpolador de cierta función para 0 0 1 -1 2 1 3 2 Lo hemos calculado por Diferencias Divididas, compruebalo y determina el polinomio interpolador resultante si ampliamos los datos con el punto A = (4, 3). Solución. Comenzaremos por las Diferencias Divididas para el soporte inicial: xi −1 0 1 2 3 f (xi ) 3 0 −1 1 2 f [xi , xi+1 ] −3 −1 2 1 f [xi , xi+1 , xi+2 ] 1 1.5 −0.5 f [xi , · · · , xi+3 ] 0.166666 0.666666 f [xi , · · · , xi+4 ] −0.208333 Y de aquı́, el polinomio interpolador es: P4 (x) = −5 4 14 3 29 2 62 x + x + x − x = −0.2083333x4 + 0.583333x3 + 1.208333x2 − 2.583333x. 24 24 24 24 Ahora ampliamos la tabla de Diferencias Divididas: xi −1 0 1 2 3 f (xi ) 3 0 −1 1 2 f [xi , xi+1 ] −3 −1 2 1 f [xi , xi+1 , xi+2 ] 1 1.5 −0.5 f [xi , · · · , xi+3 ] 0.166666 0.666666 0.166666 f [xi , · · · , xi+4 ] −0.208333 0.208333 f [xi , · · · , xi+5 ] 0.833333 Obtenemos el término que hay que añadir: 0.833333(x + 1)x(x − 1)(x − 2)(x − 3) y que sumaremos al polinomio anterior: P5 (x) = −0.2083333x4 + 0.583333x3 + 1.208333x2 − 2.583333x + 0.833333(x + 1)x(x − 1)(x − 2)(x − 3) P5 (x) = 0.833333x5 − 0.625x4 + x3 + 1.625x2 − 3.083333x. 3. Integración numérica 6. Calcular el valor de {0, π2 , π}. Rπp 0 1 + cos2 (x)dx usando la fórmula de Newton-Cotes con el soporte S = Solución. El soporte es equiespaciado de paso h = π2 , los coeficientes serán:A0 = A2 = π6 y A1 = Z πp π 2π π 1 + cos2 (x)dx ' f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) = 6 3 6 0 √ π 2π π √ π√ 2 = (2 + 2) = 1.138711π 2+ + 3 3 6 6 Rπp 2 y si tomamos π = 3.141592; 0 1 + cos (x)dx ' 3.575355 = 2π 3 y con ello, 4 R1 7. La función f (x) = e2x+1 es continua en [−1.1]. Hallar el valor exacto de −1 f (x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la fórmula de Newton-Cotes en el soporte S = {−1, 0, 1}. Determina una cota del error cometido. Solución. Integrando directamente tenemos Z 1 Z 1 1 2x+1 e3 − e−1 e2x+1 dx = e 2dx = = 9.858829 2 −1 2 −1 Como se trata de un soporte equiespaciado de paso h = 1, los coeficientes serán:A0 = A2 = A1 = 43 y con ello, Z 1 e2x+1 dx ' 10.442181 1 3 y −1 Comparando, el error es = |10.442181 − 9.858829| = 0.583352 Newton-Cotes con el soporte dado n = 2 ⇒ es Simpson, por lo tanto lo podemos hacer directamente Z 1 1 4 1 e2x+1 dx ' e−1 + e0 + e1 = 10.442181 3 3 3 −1 Como es la fórmula de Simpson, acotamos el error, previa acotación de la derivada cuarta de la función f 4 (x) = 16e2x+1 como se aprecia en la evolución de las derivadas la siguiente serı́a positiva en su dominio lo que hace que podamos asegurar que la f 4 es creciente en [−1, 1] y M = 16e3 < 16(33 ) = 432 < (1 + 1)5 432 = 4.8 2880 que como se aprecia es una cota muy mala. Rπ 8. Calcular el valor exacto de 0 sen(x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la fórmula compuesta de los Trapecios para n=8. Determina una cota del error cometido. Solución. Integrando directamente tenemos Z π sen(x)dx = −cos(π) + cos(0) = −1 + 1 = 2 0 Para aplicar la fórmula del trapecio para n = 8 el soporte es π 2π 3π 4π 5π 6π 7π , , , , , , , π} 8 8 8 8 8 8 8 Rπ π 2π 3π 4π 5π por lo tanto: 0 sen(x)dx ' π−0 2(8) [sen(0) + 2{sen( 8 ) + sen( 8 ) + sen( 8 ) + sen( 8 ) + sen( 8 ) + π π 2π 3π 4π 5π π π π sen(6 8 )} + sen(π)] = 8 [sen( 8 ) + sen( 8 ) + sen( 8 ) + sen( 8 ) + sen(6 8 )] = 8 [2sen( 8 ) + 2sen( π4 ) + π 2sen( 3π 8 ) + sen( 2 ] = 1.974232 S = {0, Para llegar al resultado anterior hemos considerado lo siguiente: q √ π 1− 22 π 4 sen( 7π ) = sen( ) = sen( ) = 8 8 2 2 π sen( 6π 8 ) = sen( 4 ) = sen( 5π 8 ) = sen( 3π 8 ) √ = 2 2 cos( π8 ) 3 q = √ 1+ 22 2 (π−0) Cota del error, < 12(8 la derivada segunda de la función es f 2 = −sen(x) por lo tanto M2 = 1 2 )M 2 y consecuentemente, π3 3.23 32.77 < < = = 0.0426.. 2 12(8 )1 768 768 5 R1 2 9. Determinar el número mı́nimo de partes necesarias para calcular 0 ex dx por la fórmula compuesta de los Trapecios con 4 cifras decimales exactas. Calcular el valor de dicha integral en el caso que necesitemos que el error sea menor que una centésima. Solución. 3 2 (1−0) Sabemos que < 12(n la derivada segunda de la función es f 2 = (4x2 + 2)ex función creciente 2 )M 2 en el intervalo de integración, por lo tanto M2 = 6e < 18 y consecuentemente, 0.0001 > 18 12(n2 ) 18 12(0.0001) ⇒ n2 > = 15000 ⇒ n > 122.47.. Luego tendremos que tomar n = 123; si apuramos más en las cotas, por ejemplo tomando e = 2.8, mejoramos algo la partición. 6(2.8) 12(n2 ) Ahora hacemos, 0.01 > ⇒ n2 > S = {0, por lo tanto: 1.465794.. R1 0 2 ex dx ' 6(2.8 0.02 = 140 ⇒ n > 11.8.. tenemos que tomar n = 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 , , , , , , , , , , , 1} 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 1 1−0 0 12 2(12) [e + 2[e 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + e 12 + e 12 + e 12 + e 12 + e 12 + e 12 + e 12 + e 12 + e 12 +] + e1 ] = El valor ”exacto” es 1.462652 y el ”error exacto” 0.003... 10. Usar el método de Simpson para calcular el valor de R1 0 x5 dx con error menor que una milésima. Solución. Lo primero es averiguar la partición que necesitamos para cumplir el enunciado. f 4 = 120x por lo 120 120 4 tanto es fácil deducir que M4 = 120 0.001 > 180(n 4 ) ⇒ n > 180(0.001) = 666.6... ⇒ n > 5.08... Bastará tomar n como el primer número natural par posterior a 5.08.. es decir n = 6. Aplicando Simpson con la partición obtenida: Z 1 0 Partición = {0, 16 , 26 , 36 , 46 , 56 , 1} E = 0 + 1 = 1; I = ( 16 )5 + ( 36 )5 Z 0 11. Calcular el valor de R2 1 1 x5 dx ' x5 dx ' 1−0 [E + 4I + 2P ] 3(6) + ( 56 )5 = 0.433256..; P = ( 26 )5 + ( 46 )5 = 0.135802.. 1 [1 + 4(0.433256) + 2(0.135802)] = 0.1669238.. 18 x8 log(x)dx con error menor que 5(10−2 ). Solución. Las derivadas de la función son continuas en todo su dominio, la segunda es f 2 = x6 (15 + 56log(x)) y la cuarta, f 4 = x4 (1066 + 1680log(x)); ambas crecientes en [1, 2]. Si usamos el método de los Trapecios: M2 = f 2 (2) = 26 (15 + 56log(2) = 3444.24 ; 0.05 > n = 76. 3444.24 12(n2 ) ⇒ n2 > 3444.24 12(0.05) ⇒ n > 75.7... debo tomar Si usamos el método de Simpson: M4 = f 4 (2) = 24 (1066 + 1680log(2)) = 35687.8.. ; 0.05 > tomar n = 8. A la vista del resultado, lo haremos por Simpson. 35687.8 180(n4 ) ⇒ n4 > 35687.8 180(0.05) ⇒ n > 7.93... debo 6 xi yi 1 0 1.125 0.302206 1.250 1.330039 1.375 4.068815 12.5 10.391627 2 Z x8 log(x)dx ' 1 1.625 23.606041 1.750 49.225977 1.875 96.026375 2 177.445668 1 [E + I + 2P ] = 33.13978 24 R∞ 12. Sabemos que 2 e−3x dx = 0.0008 con todas sus cifras decimales exactas, ¿podemos afirmar que R ∞ −3x R2 e dx = 0 e−3x dx con error menor que una milésima? 0 R∞ Con los datos conocidos y aplicando Simpson, calcular 0 e−3x dx con una cifra decimal exacta, determinando previamente la partición del intervalo de integración que lo garantiza. Solución. En primer lugar, R ∞ −3x R2 R∞ e dx = 0 e−3x dx + 2 e−3x dx ⇒ 0 R2 R∞ R ∞ −3x e dx − 0 e−3x dx = 2 e−3x dx = 0.0008 < 0.001 0 R2 luego como el error es menor que una milésima, podemos usar 0 e−3x dx para aproximar el valor de R ∞ −3x e dx sin que repercuta sobre el error que necesitamos: ε < 0.001. 0 R2 R∞ Ahora calcularemos 0 e−3x dx en las condiciones solicitadas,aproximada por 0 e−3x dx f4 = 81 e3x por lo que su valor máximo, en el intervalo de integración, lo dará en el extremo inferior, M4 = 81. Con este dato averiguaremos la partición necesaria, 0.1 > 25 180n4 81 2 ⇒ n4 > 25 1800.1 81 = 24 32 ⇒ n2 > 2 3 ⇒ n > 3.4 debemos tomar n = 4. xi yi 0 1 0.5 −3 e2 1 e−3 1.5 −9 e2 2 e−6 y con estos datos: Z 0 Podemos concluir que R2 0 2 e−3x dx ' 2 [E + I + 2P ] = 0.339835 12 e−3x dx = 0.3 con todas sus cifras exactas.