El tensor de esfuerzos. Un análisis epistemológico desde una

El tensor de esfuerzos.
Un análisis epistemológico desde
una perspectiva pedagógica1
The stress tensor. An epistemological analysis from a pedagogical perspective
Juan Carlos Castillo, María Mercedes Ayala, José Francisco Malagón,
Isabel Garzón Barragán y Marina Garzón Barrios
Departamento de Física - Universidad Pedagógica Nacional
Bogotá, D.C. - Colombia
jccastillo@pedagogica.edu.co
ayalam49@gmail.com
jmalagon@pedagogica.edu.co
igarzon@pedagogica.edu.co
mar_zon@hotmail.com
Resumen
Se muestran rasgos distintivos de la conceptualización involucrada en el tratamiento
genérico de los medios elásticos que J. C. Maxwell presenta en diferentes textos, en
particular en el artículo “On the equilibrium of statics solids”, que recoge los desarrollos
logrados en este campo a mediados del siglo XIX; tratamiento que no difiere sustancialmente de las presentaciones que se hacen sobre la materia en textos actuales,
independientemente de su nivel. Se discuten tres aspectos: 1) La elasticidad y la perspectiva de estados y de continuo, asumidas estas perspectivas como estrategias de
organización y de análisis de los cambios en los cuerpos elásticos; 2) la relación entre
fuerza y esfuerzo y 3) el carácter tensorial del esfuerzo.
Abstract
It is shown distinguishing characteristics of the conceptualization involved in the
generic treatment of elastic media that J. C. Maxwell presents in several texts, especially
in the paper “On the Equilibrium of Statics Solids”, that gathers the developments
obtained in this field of study in the middle of century XIX; treatment that does not
differ substantially from the presentations that are made currently in textbooks on the
subject. Three aspects are discussed: 1) The elasticity from the perspective that takes
the idea of “state” as the core of the analysis of elastic phenomena; 2) the relation
between force and stress and 3) the tensorial character of stress.
1. El presente trabajo sintetiza algunos avances de la investigación “De la mecánica a la actividad de organizar los fenómenos
mecánicos: Hacia la elaboración de propuestas alternativas para la enseñanza de la mecánica”, financiada por la Universidad
Pedagógica Nacional.
Septiembre 6 de 2012 * Octubre 30 de 2012
Juan Carlos Castillo, María Mercedes Ayala, José Francisco Malagón, Isabel Garzón Barragán, Marina Garzón Barrios /
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Física y Cultura: Cuadernos sobre Historia y enseñanza de las ciencias - No. 8 , 2014 / ISSN 1313-2143 / Análisis Histórico-Críticos
Palabras Clave
Medios elásticos, medios continuos, estática,
Lagrange, Maxwell, Feynmann, esfuerzos,
fuerzas, tensor de esfuerzos, equilibrio.
Key Words
Elastic media, continuos medium, statics, Lagrange,
Maxwell, Feynmann, stress, forces, stress tensor,
equilibrium.
Juan Carlos Castillo Ayala
Profesor del Departamento de Física de la Universidad
Pedagógica Nacional. Licenciado en física y Magister en
Docencia de la física de la Universidad Pedagógica Nacional
(Bogotá, Colombia).
Miembro del grupo Física y Cultura. Estudios de Doctorado
en Educación, Universidad Distrital Francisco José de Caldas,
Actualmente, candidato a doctor en Educación.
El artículo se inscribe en la fase 2 del proyecto de investigación
“De la mecánica a la actividad de organizar fenómenos
mecanicos: hacia la construccion de propuestas alternativas para la enseñanza de la mecánica- Estática de medios
elástico” (2000), auspiciado por el Centro de investigaciones
de la Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá.
Si miramos la teoría electromagnética de campos se
puede afirmar que esta tiene con la mecánica una relación de constitución. Los indicios mecánicos de atracción
y repulsión son los que posibilitan en primera instancia
la percepción de los fenómenos mecánicos así como su
estructuración. Sin embargo, los indicios de atracción y
repulsión asociados a estos fenómenos pueden ser interpretados de dos formas principales: como debidos a la
interacción entre cuerpos (acción directa y a distancia) o
como debidos a la acción del medio interpuesto entre los
cuerpos electrizados o magnéticos. En cualquiera de los
casos planteados existen teorías de la mecánica que dan
cuenta de estas interpretaciones de la interacción: teoría
de potencial (Laplace, Poisson) en el caso en que se piense
en interacción entre cuerpos y, teorías de elasticidad y de
fluidos (teorías de medios continuos) en el caso de interacción a través de un medio. La teoría del potencial, como
bien señala H. Hertz (1893/1990) es una manera de describir la interacción entre cuerpos como acción directa y a
distancia y, por ende, se inscribe en la concepción newtoniana de la fuerza. Y si bien este enfoque teórico permite
organizar los fenómenos electrostáticos y magnetostáticos, no permite dar cuenta de los fenómenos electrodinámicos: las ondas electromagnéticas. En este caso se
requiere el desarrollo de una teoría electromagnética de
campos en el sentido estricto; es decir el campo deja de
ser una simple representación matemática de las acciones que un cuerpo o sistema electrificado (o magnético)
puede ejercer sobre un cuerpo prueba, para pasar a ser
la descripción del estado del espacio y sus modificaciones. Desde esta última perspectiva la causa de la acción
que experimenta un cuerpo electrizado o magnético se
debe únicamente a las variaciones del estado del espacio
o medio en la vecindad del cuerpo y no a un cuerpo distante (y que es considerado en la otra perspectiva como la
fuente del campo). Así, la mecánica de medios continuos
aporta las formas de organización de los fenómenos electromagnéticos desde la perspectiva de campos, como se
puede ver en la obra de J. C. Maxwell: Treatise of Electricity
and Magnetism.
Ahora bien, desde una perspectiva de eficiencia disciplinar, resulta preocupante que se centre la enseñanza de la
mecánica en el enfoque newtoniano y que no se explore,
en lo más mínimo, la problemática del medio continuo en
la enseñanza de la física.
La estática y la dinámica de medios continuos requieren del uso de esquemas de análisis y organización, para
caracterizar el estado y los cambios que se dan en ellos,
muy diferentes de las utilizadas en una mecánica de lo
discreto como es la mecánica de corte newtoniano. La
ausencia de un reconocimiento de estas diferencias se
constituye en un gran obstáculo para la comprensión del
comportamiento de los medios continuos2 y de los planteamientos teóricos sobre los mismos. La determinación
y caracterización de los rasgos distintivos de un planteamiento científico es de especial importancia en la orientación de los procesos de recontextualización de los saberes científicos inherentes en la actividad de enseñanza de
las ciencias y de la física en particular. Con este propósito,
en el presente escrito mostraremos rasgos distintivos de
la conceptualización involucrada en el tratamiento genérico de los medios elásticos que J.C. Maxwell presenta en
el artículo “On the equilibrium of statics solids” y que recoge
los desarrollos logrados en este campo a mediados del
siglo XIX, en especial la teoría que había logrado configurar Stokes.3 Este tratamiento no difiere de manera sustancial de las presentaciones que se hacen sobre la materia en textos actuales, independientemente de su nivel.
La elasticidad y la perspectiva
de estados y del continuo
En la mecánica, dos clases de medios han sido analizados
con especial énfasis: los medios elásticos y los fluidos. La
respuesta que los medios ofrecen cuando se les deforma,
2. Véase Bautista, G. y Rodríguez, L. D., “Construir explicaciones: el equilibrio de los líquidos”. Física y Cultura: Cuadernos sobre Historia y Enseñanza de las Ciencias, n.° 4, 1998, Bogotá.
3. Maxwell distingue las siguientes líneas de desarrollo en la investigación sobre la elasticidad: Las investigaciones de Leibniz, Bernoulli, Euler, Varignon, Young, La Hire y Lagrange, son limitadas al equilibrio de barras torcidas; pero aquellas de Navier, Poisson, Lamé y
Clapeyron, Cauchy, Stokes, y Werthein son principalmente dirigidas
a la formulación y aplicación de ecuaciones generales. Y sobre estas
últimas Maxwell hace la siguiente relación: 1. Las investigaciones de
Navier están contenidas en el séptimo volumen de Las memorias del
instituto, página 373; y en los Anales de Química y de Física, 2a serie,
XV. 264, y XXXVIII.435; La aplicación de la mecánica, Tomo I. 2. Los
trabajos de Poisson en Las memorias del instituto, VIII. 429; Anales de
Química y de Física, 2a serie, XXXVI. 334; XXXVII. 337; XXXVIII. 338; XLII.
Journal de l’Ecole Politecnique, capítulo XX, con resumen en Anales de
Química para 1829. 3. Las memorias de MM. Lamé y Clapeyron están
contenidas en Mathematical Journal, vol. VII; y algunas observaciones
sobre elasticidad se encuentran en Cursos de Física de Lamé. 4. Las
investigaciones de M. Cauchy están contenidas en sus Ejercicios de
Análisis, vol. III. p. 180, publicada en 1828. En lugar de la suposición
que cada presión es proporcional a la compresión lineal que esta
produce, él supone esto consistente de dos partes, una de las cuales es proporcional a la compresión lineal en la dirección de la presión, mientras la otra es proporcional a la disminución de volumen.
La teoría del profesor Stokes está contenida en el vol. VIII. Parte 3, de
la Cambridge philosophical transactions, y fue leída en abril 14, 1845.
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permite, en una primera aproximación y desde una perspectiva puramente fenomenológica, distinguir los medios
entre elásticos y plásticos, y a estos de los fluidos. Si bien
tanto los cuerpos4 elásticos como los plásticos se oponen
a ser deformados, los primeros buscan restaurar su condición de no deformación tan pronto cesan las acciones
que la han generado, mientras que los segundos no. Los
cuerpos fluidos no oponen resistencia a la deformación,
ni tienden a adoptar una forma particular, sin embargo, al
igual que los cuerpos elásticos, se resisten a que su volumen sea alterado.
Si bien tanto los cuerpos
elásticos como los
plásticos se oponen
a ser deformados,
los primeros buscan
restaurar su condición
de no deformación
tan pronto cesan las
acciones que la han
generado.
Sin importar a qué tipo de cambio nos refiramos, de
forma o de volumen, es posible distinguir dos maneras
de concebirlos;5 maneras que permiten asignarles a estos
cambios “naturalezas” diferentes y que ponen de manifiesto las diferencias en los esquemas mentales que se
emplean en el análisis y organización de estos.
En el caso de la deformación se suele considerar que hay
una forma privilegiada en la que el cuerpo puede permanecer indefinidamente, mientras que no se ejerza una
acción sobre el cuerpo, un estado natural, que determina cuándo la acción es cero (al respecto se puede
considerar el caso del resorte); cualquier otra forma
requiere que una acción externa permanezca actuando
para que esta se conserve; la magnitud de esta acción
se incrementa con la magnitud de la deformación y en
una primera aproximación se suponen proporcionales
(ley de Hooke). Pero no solo la deformación es pensada
4. Es importante anotar aquí que con el término cuerpo nos estamos
refiriendo a una parte de un medio continuo, de la que podemos examinar las variaciones de su estado a lo largo del tiempo, y que nos
interesa caracterizarla mediante magnitudes definidas en cada uno de
sus puntos (no de una manera global como se hace en la mecánica de
lo discreto, la mecánica newtoniana).
5. En ningún momento, estamos afirmando que estas sean las dos
únicas formas de pensar los cambios; las que señalamos son las dos
únicas formas que podemos y nos interesa distinguir.
así, también el cambio de volumen puede ser considerado en estos términos. Para Boyle, por ejemplo, el cambio de volumen de un gas ponía en evidencia el carácter elástico del gas6, por eso hablaba del resorte del aire
(entiéndase: constante de elasticidad) y consideraba que
esta podría ser inferida de la acción por unidad de área
(presión) que puede ejercer; de hecho, para Boyle, su ley
establece la relación entre el resorte del aire (constante
de elasticidad) y el volumen especifico que ca-racteriza el
estado de rarefacción del aire.7 Este esquema de análisis
de los cambios es el mismo que utilizó Aristóteles en el
caso del movimiento local de los cuerpos terrestres. Este
pensador consideraba que los cuerpos tienen un lugar
natural en el que pueden permanecer en reposo indefinidamente a menos que se actúe sobre ellos; a este lugar
tienden los cuerpos si se les saca de él; el movimiento por
el cual el cuerpo recupera su lugar natural lo llama natural y aquel que corresponde al paso de este lugar privilegiado a otro diferente, que requiere una causa externa lo
denomina violento; para que un cuerpo permanezca en
un lugar que difiere del natural se necesita la aplicación
de una fuerza, que impide que se realice el movimiento
natural; desde esta perspectiva puede entenderse por
qué un cuerpo pesado cae espontáneamente cuando
se suelta, y por qué uno liviano (el humo, por ejemplo)
tiende a subir. La asignación de tendencias naturales a
los objetos caracte-riza este esquema explicativo: tendencia a retornar al lugar natural, o a su forma natural o al
volumen que le es propio. Como puede verse, contrario a
lo que se acostumbra afirmar, el esquema aristotélico no
quedó erradicado del ámbito de las ciencias con la revolución científica del siglo XVII: hoy, cuando se analiza, por
ejemplo, la deformación de un resorte, se lo hace desde
este esquema.
La otra manera de asumir el cambio está caracterizada
por la siguiente consideración: solo el cambio, ya sea de
forma o de volumen, requiere una causa o una acción
externa para que se produzca; una vez que el cuerpo
adquiere una forma dada (o volumen), cualquiera que
6. Experiencias como las siguientes ponen en evidencia un comportamiento del aire análogo al de un resorte, y permiten hablar de sus
propiedades elásticas y de su estado de elasticidad. Al comprimir aire
encerrado en un recipiente mediante un émbolo y dejarlo luego libre,
el émbolo regresa a su posición inicial; lo mismo ocurre cuando el aire
en lugar de ser comprimido es expandido. Tal comportamiento hace
posible pensar que una cierta cantidad de aire ocupa un volumen que
le es propio; no solo es necesario ejercer una acción para aumentar o
disminuir el volumen, sino que es necesario que permanezca la acción
externa para que se mantenga el aire en el nuevo volumen; si esta se
suprime el aire tiende a retornar a su volumen propio.
7. Véase García, E. et al, “La ley de Boyle y el estado de un gas”.
Pre-Impresos, Departamento de Física, Universidad Pedagógica Nacional.
esta sea, este la conservará a menos que se ejerza una
acción externa sobre ella. Desde esta perspectiva se
puede afirmar, por un lado, que no hay una forma (o volumen) del cuerpo que se pueda privilegiar y, por el otro,
que el cuerpo en cuestión es totalmente indiferente a la
forma que adopte o volumen que ocupe. Cada forma o
volumen del cuerpo se puede considerar como expresión de un estado en el que el cuerpo se puede encontrar. Este es el enfoque utilizado en la actualidad para
presentar los cambios de volumen de un fluido (gas, por
ejemplo); se considera, en particular, que la variación de
volumen de un cuerpo cualquiera puede estar también
vinculada a los cambios del estado térmico. De hecho,
Maxwell asume los cambios de forma y de volumen desde
la misma perspectiva: la perspectiva de estados. Tal postura
le permite involucrar los aspectos térmicos en el análisis del
comportamiento de los sólidos elásticos.
Este esquema explicativo de los cambios de los cuerpos
elásticos y cuerpos fluidos, se basa en la idea de que los
cuerpos son inertes, en cuanto no tienen propensiones
o tendencias y que cualquier cambio de su comportamiento requiere una causa exterior. Por otro lado, exige
que el cuerpo en cuestión no sea pensado en sí mismo,
sino haciendo parte de algo, de ahí la idea de medio:
debe pensarse que un cuerpo es una parte de un medio
no necesariamente homogéneo. Así las cosas, el estado
de un cuerpo depende de las condiciones en las que se
encuentra el medio del que hace parte;8 más específicamente, el estado en una pequeña región del medio
depende del estado de las partes contiguas y el estado
de estas del estado de sus partes vecinas, de modo que
se puede afirmar que en condiciones estáticas el comportamiento en una pequeña parte del medio (en un punto)
depende y expresa el comportamiento del todo (al respecto resulta ilustrativo pensar en el estado que adquiere
una membrana tensa, cuando se empuja una pequeña
región de la misma). Además, un cambio que se efectúa
en una región del medio involucra necesariamente cambios en las partes vecinas y estos, a su vez, cambios en
sus vecinas y así sucesivamente (piénsese en la transmisión de una perturbación o de la acción a través del
medio). De otra parte, dar cuenta del comportamiento
del cuerpo exige la descripción del comportamiento (del
estado o de los cambios de estado) de cada uno de sus
puntos: Las descripciones globales, características de los
enfoques analíticos, que hacen posible pensar los cuerpos en sí mismos, independientes de los demás, pierde
importancia. Se incorpora, así, los cambios, el enfoque
característico del tratamiento de lo continuo.
8. Nótese que no se dice que el cuerpo está inmerso en un medio, sino
que el cuerpo hace parte —es una parte— del medio.
Por otro lado, el equilibrio, desde esta perspectiva, no es
explicado necesariamente a través de la cancelación de
acciones. Por ejemplo, si una cierta cantidad de aire en un
recipiente elástico9 se sumerge en un estanque con agua,
es de esperar que a medida que la profundidad se hace
mayor el aire vaya ocupando volúmenes menores, debido
al incremento de presión del agua con la profundidad.10
Para que todo el sistema agua-aire esté en equilibrio, a
una profundidad dada, se considera que la presión del
aire encerrado debe igualarse con la del agua (olvidando
el efecto de las paredes del recipiente). Para este estado
de presión del aire se requiere un volumen determinado,
es decir, al estado de compresión del aire le corresponde
un estado de rarefacción particular (ley de Boyle).
Debe pensarse que
un cuerpo es una
parte de un medio
no necesariamente
homogéneo. Así, el
estado de un cuerpo
depende de las
condiciones en las que
se encuentra el medio
del que hace parte
Dos aspectos caracterizan el tratamiento del equilibrio
según este análisis. Por un lado, equilibrio y homogeneidad se hacen equiparables. Así, para que el aire del caso
anterior esté en equilibrio, se requiere en particular que
la presión11 del aire en la interface aire-agua se iguale a
la del agua12 si no son iguales hay un desequilibrio que
requiere ser compensado. Y es que desde esa perspectiva solo se puede hablar de acción cuando hay dos estados diferentes, o, en otras palabras, la base de la interacción de dos vecindades de un medio está en la diferencia
de estados de la misma. La medida de la interacción está
dada por la medida de los cambios de estado que experimentan las partes13.
9. Para el análisis, no hemos considerado el papel de dicho recipiente elástico.
10. Lo mismo ocurriría con un sólido o con un líquido, aunque el efecto
no sería tan notorio.
11. La presión es la magnitud que identifica el estado de compresión
del fluido.
12. De hecho, hay una pequeña diferencia, y por lo tanto un pequeño desequilibrio que es compensado por la acción ejercida por la membrana.
13. Véase al respecto: Ayala, M. M., Romero, A., Malagón, F., “El esquema
equilibración-desequilibración y los procesos termodinámicos”. Física y Cultura: Cuadernos sobre Historia y Enseñanza de las Ciencias, n.° 4, 1998, Bogotá.
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Por otra parte, se considera que el medio se puede caracterizar a través de una serie de propiedades (térmicas,
eléctricas, mecánicas, etc.). Estas propiedades se expresan por medio de magnitudes y a cada una es posible
asignarles dos magnitudes:14 una, que caracteriza el
medio en cada punto y que permite afirmar si el medio
es o no homogéneo o isotrópico —se suele denominar
parámetro o constante del medio (calor específico, conductividad eléctrica, etc.)—; y otra, que se requiere para
caracterizar los cambios que experimenta el medio y que
en principio serían funciones de la posición y del tiempo
—se le conoce con el nombre de variable de estado (temperatura, potencial eléctrico, presión, etc)—. El estado del
medio en un momento dado está descrito por los valores que las variables de estado tienen en ese momento
en cada uno de los puntos. Hay un acoplamiento entre
las diferentes variables de estado que queda expresado
en las así llamadas ecuaciones de estado y que definen los
estados posibles del medio. Tal acoplamiento se pone
en evidencia cuando se modifica una de las variables
de estado; cuando esto ocurre necesariamente se debe
modificar al menos otra variable de estado. Este acoplamiento entre las variables y sus cambios no se puede
asumir como expresión de una relación causa-efecto: por
ejemplo, una variación de presión no causa una variación
en el volumen de un gas; lo que está en juego es un principio de causalidad formal.
magnitudes, pero no nos dice cuál cambio es la causa de
otro cambio, o cuál magnitud es la que varía primero para
hacer variar a las otras” (Reichenbach, 1959, p. 49).
Hans Reichenbach en su obra El sentido del tiempo, refiriéndose a las formas de causalidad puestas en juego en
la física clásica, afirma que también hay una relación causal entre un acontecimiento A y un acontecimiento B, si
existe un acontecimiento C que sea causa de A y B. Esta
relación de conexión causal, que, según Reichenbach, es
obviamente simétrica en A y en B, es la que usamos en
las relaciones funcionales simétricas de la física, de las
cuales las ecuaciones de estado son un caso importante.
Una ley como la de Boyle-Mariotte para los gases “se cumple para todos los cambios posibles en los valores de las
En cuanto al segundo aspecto de la caracterización de
la elasticidad, es importante notar que tiene un carácter
antropomórfico; en su base está la imagen de un hombre
estirando, por ejemplo, una banda de caucho, sintiendo
que se resiste a ser deformada, que en todo momento
tiende a regresar a su forma original, que no la puede
soltar porque si no esto ocurrirá. Pero, sin duda alguna
haríamos una caracterización muy diferente si para
caracterizar la elasticidad, tuviéramos como referencia
una experiencia como la siguiente. Si consideramos, por
ejemplo, un cuerpo que cambia su forma al cambiar la
temperatura del mismo, esperamos que al volver la temperatura a su valor inicial, el cuerpo en cuestión recupere la forma inicial. En esta imagen del fenómeno de la
elasticidad no hay lugar para términos como tendencia y
resistencia; es decir, el cuerpo, desde esta concepción, es
totalmente inactivo. Es claro eso sí, que la alteración de la
temperatura y el consiguiente cambio de forma requirió
una acción. Pero, ¿en qué se convierten en esta perspectiva de estados esas nociones de resistencia y tendencia?,
en estado de stress. El esfuerzo es la magnitud que se elabora para identificar el estado de stress. Hay una relación
íntima entre el estado de stress y el estado de deformación que queda expresada en una ecuación de estado.
14. Según Paolo Guidoni, “en lo que respecta al conocimiento de la física, hay dos estrategias cognoscitivas —dos modos de mirar y de formalizar— particularmente importantes: un modo de ver por espacios
abstractos de sistemas y un modo de ver por espacios abstractos de
variables. Son dos modos estrechamente correlacionados; no se alcanza a ver por sistemas sin ver también por variables y viceversa [...] y es
crucial aprender a distinguir su rol. Las variables son, de hecho, aquellas
que describen los espacios abstractos en los cuales los sistemas internos pueden cambiar de configuración (por ejemplo, de forma). Los parámetros, que son a su vez variables continuas, tienen en cambio una
semántica distinta (y tal vez son útilmente representados en un espacio
abstracto separado) porque habitualmente caracterizan, con sus valores particulares, sistemas en el interior de una clase” (tomado de Guidoni, P. y Arcá, M. Seminario Didáctico de la Facultad de Ciencias).
Retornando a nuestro problema de la elasticidad, recordemos la forma como la caracterizamos inicialmente: se
dice que un cuerpo es elástico porque se resiste a cambiar
su forma y restaura su condición de no deformación tan
pronto cesa la acción que la ha generado. Así, dos aspectos deben ser tenidos en cuenta para hablar de la elasticidad: de una parte, exige hablar de deformación; de otra,
requiere pensar en “resistencia” a la deformación y en la
recuperación de la forma anterior cuando la acción cesa.
Dado que desde una perspectiva de estados no es posible
privilegiar un estado con relación a los otros, es claro que
el cuerpo siempre está deformado; esa forma que usualmente consideramos como natural, depende totalmente
del estado del medio del cual hace parte (temperatura
ambiente, presión externa, campo gravitacional, etc.); no
tenerlo en cuenta es lo que permite privilegiarla, y considerarla como la única forma del cuerpo no sujeta a deformación (no debida acciones externas), es decir, como la
forma que es propia del cuerpo. Estas consideraciones
nos permiten pensar la deformación como un estado y
plantear como problema la elaboración de una magnitud
que permita identificar el estado de deformación.
Maxwell usa en su texto sobre sólidos elásticos los términos compresión para referirse a la magnitud o variable que
identifica el estado de deformación, presión para identificar los estados de stress, y ecuaciones de elasticidad para
referirse a las relaciones entre presiones y compresiones.
Esfuerzo y fuerza
Fuerza es quizás el término más usado en las explicaciones de fenómenos mecánicos de diversa índole. En principio se podría distinguir dos clases de significados. Uno,
en el que el término adquiere la connotación de causa,
causa de los cambios, causa de la actividad. El otro, referido al modo de estar que adquiere un cuerpo en su interior o un medio, cuando actúan sobre él fuerzas externas
(se alteran las condiciones en las que se encuentra). Sin
embargo, estos significados se mezclan y confunden en
muchas ocasiones. Cuando, por ejemplo, se examina el
estado de un cuerpo elástico, el stress se suele caracterizar como referido a las acciones que unas partes ejercen sobre aquellas que se encuentran en su vecindad. El
stress, se dice, es medido a través del esfuerzo; este a su
vez se define como fuerza por unidad de área, es decir,
como la densidad de una distribución de fuerza sobre
una superficie que separa dos partes del cuerpo; entendiéndose la fuerza en los términos comunes de causa de
cambio de movimiento.
Si bien así se acostumbra presentar la relación esfuerzo-fuerza, esta no es obvia ni clara; así lo hacen ver la
diversidad de planteamientos sobre el tema. Para ilustrar
la problemática presentaremos a continuación la forma
como ha sido abordada por pensadores muy reconocidos
en el campo de la física: Lagrange, Maxwell y Feynman.
Lagrange aborda este problema cuando intenta generalizar su principio de equilibrio —el principio de velocidades virtuales— y extender el método que ha desarrollado
para la mecánica de cuerpos sólidos a la hidrostática. La
noción de presión en los fluidos es asimilada por él a las
fuerzas de ligadura aparecidas en el estudio de la mecánica de los sólidos no libres y es sometida al mismo formalismo matemático.
Duhem, nos dice A. Dahan Dalmenico, resume así el tratamiento lagrangiano del caso de los fluidos:
Para Lagrange las presiones son las fuerzas de ligadura que se deben aplicar a una parte de los cuerpos para restablecer el equilibrio
cuando, sin suprimir ninguna de las fuerzas dadas que actúan sobre esta parte, se suprimieran los obstáculos que las partes vecinas
de los cuerpos oponen a su movimiento. (1988, p. 392-393)
Duhem llama la atención sobre una confusión frecuente:
cuando se aísla mentalmente una porción del medio —
puesto que al separarlo ficticiamente del resto de todo el
medio, se conservan las fuerzas reales que actúan sobre
cada elemento de la parte aislada, ya sea para estudiar
su equilibrio o su movimiento—, las ligaduras a las que
esta porción está sometida deben haber cambiado por
esta operación (mental), ya que las acciones reales permanecen inalteradas. Si uno considera que el estado (de
equilibrio o de movimiento) de la porción aislada permanece inalterado por la operación de aislamiento, se podrá
añadir a las fuerzas realmente actuantes estas famosas
fuerzas de ligadura.
Podríamos afirmar, entonces, que con este procedimiento
se ha medido en unidades de fuerza la alteración producida en el medio al remover imaginariamente una parte y
dejar actuando las fuerzas externas; insistimos en que es
la medida de la alteración del medio que fue removida y
no la medida de la acción que una parte circundante ejerce
sobre aquella. Las fuerzas de ligadura no tienen propiamente un carácter de fuerza, jamás se le asignan propiedades direccionales; intervienen por medio de las ecuaciones
de condición (ligadura) y en “sus momentos” cuando estas
no son satisfechas (a través del método de multiplicadores
propuesto por Lagrange).
La noción de fuerza de ligadura, afirma Dalmenico, es
la noción que distingue más profundamente la mecánica de Lagrange de la de Newton o de la de Boscovitch,
para quienes los cuerpos están compuestos de partículas
libres y las fuerzas que actúan entre ellas. Para Lagrange,
los cuerpos son cuerpos continuos, donde sus diversos elementos, impenetrables, se obstaculizan los unos a los otros
en sus movimientos. Es claro, pues, que para Lagrange el
concepto de presión es un artificio que permite tener apenas un indicio del estado del fluido. Como se verá, esta
postura lagrangiana sobre la información queda la presión
acerca del estado del medio, no difiere mucho de la que se
propone más adelante, a partir de una perspectiva de estados y del continuo.
Maxwell, por su parte, en su texto Matter and Motion en
una sección titulada “Acción y reacción son aspectos parciales del stress”, afirma lo siguiente:
Tan pronto como hayamos formado la idea de un esfuerzo, tal
como la tensión de una cuerda o la presión entre dos cuerpos, y
que hayamos reconocido su aspecto dual en la medida que éste
afecta las dos porciones de materia entre las cuales actúa, la tercera ley del movimiento se vuelve equivalente a afirmar que la
naturaleza de toda fuerza es el esfuerzo, que el esfuerzo existe
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únicamente entre dos porciones de materia, y que sus efectos
sobre estas dos porciones de materia (medidos por el momentum generado en un tiempo dado) son iguales y opuestos.
El esfuerzo es medido numéricamente por la fuerza ejercida
sobre cualquiera de las dos porciones de materia. Se distingue
como tensión cuando la fuerza que actúa sobre cualquier porción
se dirige hacia la otra, y como presión cuando la fuerza que actúa
sobre cualquier porción se dirige alejándose de la otra.
[...] Cuando una tensión es ejercida entre dos cuerpos por medio de una cuerda, el esfuerzo propiamente dicho, es entre cualquier par de partes en las cuales la cuerda puede suponerse dividida
transversalmente por un plano imaginario. Si despreciamos el
peso de la cuerda, cada porción de la cuerda está en equilibrio
bajo la acción de las tensiones en sus extremos, de tal modo
que la tensión en cualquiera par de interfaces transversales de la
cuerda deben ser las mismas. Por esta razón nosotros a menudo hablamos de la tensión de la cuerda como una totalidad, sin
especificar una sección particular de ésta, y también la tensión
entre dos cuerpos, sin considerar la naturaleza de la cuerda a
través de la cual la tensión es ejercida (Maxwell, 1991, p. 40).
Como puede verse, en esta presentación Maxwell destaca el carácter dual del esfuerzo, señala que es precisamente este carácter del esfuerzo lo que hace posible
hablar de la igualdad y oposición de la acción y reacción
y considera al esfuerzo como la causa de toda fuerza,
haciendo énfasis así en la perspectiva del continuo para
el análisis de los fenómenos mecánicos.15 Requiere pues
dejar muy en claro la diferencia entre fuerza y esfuerzo,
así este sea medido a través de la fuerza por unidad de
área —por sus efectos— y se hable de él en términos
de fuerza. La forma, como expresa tal diferencia entre
esfuerzo y fuerza, es muy ilustrativa: el esfuerzo exige ver
la interacción en la interface de las dos partes consideradas (figura 1a y 1b); la fuerza, por su parte, exige pensar
en una porción del medio para definir el cuerpo sobre el
cual se aplican las fuerzas (figura1c).
15. Es de esperar que Maxwell asuma tal perspectiva para el análisis de
los fenómenos mecánicos y vea la necesidad de reinterpretar la mecánica de su época, basada en las ideas de acción a distancia; su visión de
campos para los fenómenos electromagnéticos así lo exige. De hecho,
Maxwell escribe Matter and Motion en 1877, cuatro años después de
haber escrito su tratado sobre electromagnetismo.
Tensión
como esfuerzo
(a)
Presión
como esfuerzo
(b)
Tensión como fuerza
(c)
Figura 1. Distinción entre esfuerzo y fuerza según Maxwell
Entre tanto R. Feynman, en sus Lectures on Physics, considera que los esfuerzos son fuerzas internas entre partes vecinas del material, las cuales se pueden modificar
si se aplican fuerzas externas sobre el material. Mientras
que Maxwell establece una distinción “ontológica” entre
fuerza y esfuerzo —fuerza es efecto del esfuerzo—, Feynman los equipara.
Para ilustrar su idea de esfuerzo considera un trozo de
material elástico al que se le hace un corte. Si hacemos,
dice este autor, un corte en un medio elástico —gelatina,
por ejemplo— el material a cada lado del corte se desplazará debido a las fuerzas internas. Antes del corte, prosigue, debieron haber fuerzas entre las dos partes del bloque que las mantenía en su lugar; podemos, entonces,
medir los esfuerzos en términos de esas fuerzas. Para ello
considera un plano imaginario y las fuerzas que actúan a
cada lado del mismo, definiendo el esfuerzo en la forma
usual: fuerza por unidad de área.
Esta presentación sobre el esfuerzo da lugar a dos formas de entenderlo y no permite establecer una diferencia clara entre fuerza y esfuerzo puesto que da origen a
dos imágenes muy diferentes, dependiendo de cómo se
asuma ese desplazamiento de las partes cuando se efectúa su corte: una, como expresión de las fuerzas internas
entre las partes que habían antes del corte, coincidiendo
las nociones de fuerza interna y esfuerzo o como expresión de sus cambios, donde ya no sería posible pensar
en tal coincidencia. La otra, cuando se asume el desplazamiento entre las partes como expresión del cambio
experimentado por las fuerzas internas debido al corte,
es claro que el esfuerzo como tal no se puede conocer,
porque solo es posible informarse sobre las existencia
de las fuerzas internas si se las altera, que se nota en el
efecto de desplazamiento de las partes; la medida de ese
movimiento por unidad de área, que llamaríamos fuerza
por unidad de área, es la medida del esfuerzo. ¿Son estas
fuerzas, medidas por el movimiento, de la misma clase
de las fuerzas internas? Al parecer no, puesto que son
los cambios de estas las que se equiparan con aquellas
y estaríamos utilizando el mismo término para denotar
cosas diferentes.
De otra parte, este enfoque promueve la imagen de un
medio que es activo, las partes se ejercen fuerzas entre sí
cuando se encuentran en un estado de equilibrio. Esta definición de esfuerzo podría modificarse, ya que no es posible
probar que el estado en que se encuentra el cuerpo y que
el efecto observado al cortar el material se deban realmente
a fuerzas internas entre las partes del material. A continuación mostraremos una manera de asumir el esfuerzo, compatible con la perspectiva de estados.
En ese sentido, consideramos pertinente destacar primero tres rasgos característicos del concepto de estado:
1) el estado debe ser definido con relación a una característica, propiedad o cualidad, puesto que se refiere a
la posibilidad de estar de maneras diferentes respecto a
alguna característica o propiedad; 2) no es posible privilegiar alguna de esas maneras de estar; y 3) la idea de
estado está ligada a la idea de permanencia, indiferencia y pasividad, en el sentido que para permanecer en
un estado no se requiere de acción alguna, ni estar en
él puede ser causa de algún cambio; solo el cambio de
estado requiere una causa y produce efectos.
Así, en el análisis que presentamos ahora se parte de
dos términos que hacen referencia a dos aspectos diferentes aunque íntimamente relacionados: el stress y el
esfuerzo. Con el término stress nos referimos a la cualidad o a la propiedad en cuestión o al tipo de fenómeno
considerado, con él calificamos el tipo de estado que se
está analizando, por eso hablamos del estado de stress.
Con el término esfuerzo nos referimos a la variable que
identifica los diferentes estados de stress, organizándolos uno detrás del otro, de acuerdo a la estructura de los
reales. Así pues, el stress, entendido como un estado, no
puede ser caracterizado, como punto de partida, a través
de las acciones mutuas entre las partes de un cuerpo, ni
el esfuerzo puede definirse como fuerza por unidad de
área, por ser este una variable de estado y la fuerza la
causa de cambios. Llegado a este punto vale la pena preguntarse en qué sentido es posible relacionar el esfuerzo
con algo referente a la fuerza por unidad de área.
Basados en una perspectiva de estados, pensemos bajo
qué condiciones es posible que dos partes de un cuerpo
puedan ejercer acción mutua. Como bien se señaló antes,
es claro que cuando se está en un estado no hay acción
alguna; luego, entre dos partes contiguas de un cuerpo
que se encuentran en el mismo estado de stress no habrá
ninguna acción entre ellas; pero, si las partes se encuentran en estados diferentes de stress, habrá desequilibrio
entre ellas que se evidenciará en cambios en estas partes,
lo que permite hablar de una acción mutua. Cuando se
dice que el líquido ejerce una acción sobre las paredes del
recipiente que lo contiene, es porque el estado de stress
del líquido en los puntos de la interface con el recipiente
es diferente del estado de stress del medio que rodea
al recipiente en los puntos de la interface con este; si no
hubiera diferencia, ni el líquido ejercería fuerza sobre el
recipiente ni lo contrario. Así pues, la acción mutua entre
dos partes de un cuerpo está determinada solo por la
diferencia de estado que hay entre ellas.
Las consideraciones anteriores nos permiten determinar
si dos partes contiguas del mismo medio están o no en el
mismo estado. Pero, ¿cómo determinar qué tan diferentes son esos estados? Más aún, supongamos que hemos
podido establecer, haciendo uso de estos criterios, que
tres estados de stress, digamos A, B, y C, son diferentes
entre sí, ¿cómo saber si la diferencia de estados entre A y
B es mayor o menor que entre A y C y cuántas veces lo es?
La medida de los cambios que se producen en las partes
puestas en contacto, es decir, la magnitud de las fuerzas
mutuas entre las partes, son indicios de la diferencia de
estados. Tales fuerzas se aplican y distribuyen sobre la
superficie que separan las partes; la densidad superficial
de las mismas nos habla de las diferencias de estado a
cada lado y en cada punto de dicha superficie.
Tenemos entonces una forma para comparar estas diferencias de estados, pero con estos elementos podemos
avanzar más y plantear un procedimiento para establecer
una gradación de los estados y de esta forma construir una
magnitud que los identifique.16 Esto se puede hacer así:
16. Este procedimiento es análogo en ciertos sentidos al utilizado en
el proceso inicial de construcción de una escala termométrica. Véase
al respecto Malagón, F., La temperatura, la comparación de estados
de equilibrio térmico y la construcción del termómetro, Pre-Impresos,
Departamento de Física, Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá.
Juan Carlos Castillo, María Mercedes Ayala, José Francisco Malagón, Isabel Garzón Barragán, Marina Garzón Barrios /
El tensor de esfuerzos. Un análisis epistemológico desde una perspectiva pedagógica / P.P. 39-52
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1) Se escoge arbitrariamente uno de los estados como
referencia al cual le hacemos corresponder, también arbitrariamente, un esfuerzo igual a cero.
2) Se determina la densidad de fuerzas cuando se pone
un cuerpo en este estado cero en contacto con otro en el
estado E que se quiere caracterizar.
3) Se supone, también arbitrariamente, una relación de
proporcionalidad entre la diferencia de estados y la densidad de fuerzas, lo que permite decir que la magnitud del
esfuerzo sobre la superficie en cuestión es proporcional a
la densidad superficial de fuerzas.
4) Se adopta la unidad de densidad superficial de fuerzas como medida del esfuerzo; con ello ya es posible afirmar una igualdad entre esfuerzo sobre un elemento de
área del medio y la densidad superficial de fuerzas en ese
mismo elemento.
Lo anterior no impide hablar de la densidad superficial de
las fuerzas que se ejercen entre dos partes de un medio;
de hecho, es la visualización de una operación mental: el
cambio imaginario de estado de una de las partes, parte
1 —según el cual se supone que ya no se encuentra en
el estado que se quiere caracterizar sino en estado de
referencia—, con el fin de hacer la determinación de una
acción, que se asume arbitrariamente como la fuerza que
la parte 2 le ejercía antes de producirse dicho cambio; y
la consideración simultánea, por otro lado, de un cambio
análogo en la parte 2 y la permanencia en su estado inicial
de la primera; para así poder hablar de la fuerza aplicada
sobre la parte 1.
Como puede verse en esta perspectiva fenomenológica
no solo se renuncia a hacer una caracterización a priori del
estado de stress, sino que no hay una imagen del stress,
lo que puede ser para algunos una dificultad; pero sí hay
un procedimiento muy claro de elaboración del esfuerzo
como la variable que identifica el estado de stress, que
deja visible la cadena de suposiciones arbitrarias, tomadas
siguiendo un criterio de simplicidad, que están a su base.
Queda muy claramente caracterizada la relación existente
entre esfuerzo y fuerza en esta perspectiva.
El esfuerzo como tensor
Para pensar en las fuerzas superficiales que se ejercen
entre dos partes de un medio elástico, es necesario considerar la superficie que limita y define esas partes. Como
ya señalamos anteriormente, en ambos lados de la superficie se puede considerar que se ejercen fuerzas iguales y
opuestas (normales, tangenciales u oblicuas) distribuidas
en toda la superficie; siendo imposible pensar el esfuerzo
teniendo en cuenta solo una de estas acciones (la presión,
por ejemplo, está asociada con fuerzas iguales y opuestas actuando sobre las dos caras de una superficie). Esta
característica expresa el carácter dual del stress. Visto así,
el esfuerzo en un punto de la superficie está dado por la
densidad superficial de fuerzas en dicho punto que actúan
en ambos lados de cada elemento de área de la superficie en cuestión con la misma intensidad y en direcciones
opuestas. Como las fuerzas superficiales pueden ejercerse
en direcciones diferentes (ver figura 2), en la definición del
esfuerzo no basta con sus magnitudes (densidad superficial de la fuerza en un punto) es importante determinar
además sus direcciones; así, las fuerzas superficiales pueden ser normales al elemento de área en cuyo caso se
denomina al esfuerzo presión o tensión; pueden ser tangenciales y se le llama entonces esfuerzo cortante; o pueden actuar formando un ángulo diferente de 0 o 90 grados.
F
da
Y
Figura 2. Fuerza F sobre un elemento de área da de un medio continuo
Las consideraciones anteriores nos permiten destacar
un nuevo rasgo característico de la magnitud con la que
identificamos el estado de stress: el esfuerzo es una magnitud que se define con relación a un elemento de área y,
por ende, para su definición es necesario especificarlo; se
indica para ello la dirección de la normal a dicho elemento.17 Pero este hecho tiene implicaciones más importan17. Decimos, por ejemplo, que un elemento de área tiene una dirección
x cuando la normal al mismo está orientada en esa dirección; es decir,
un elemento de área con dirección x es paralelo al plano cartesiano yz.
tes que se pueden poner de manifiesto si pensamos en
los diferentes elementos de área que contienen un punto
dado del medio. Es de esperar que para cada uno de ellos
el esfuerzo adquiera un valor (magnitud y dirección) diferente; por lo tanto, se podría afirmar que para identificar
el estado de stress en ese punto se requeriría conocer los
valores del esfuerzo para un número infinito de elementos; en otras palabras, el estado de stress en un punto
estaría definido por ese conjunto infinito de valores, lo
que podría parecer muy complicado. No obstante, se
puede mostrar que con el conocimiento de tres de esos
valores es posible determinar todos los demás; posibilidad que está dada por la misma geometría del espacio.
Así, si conocemos los esfuerzos en un punto respecto a
tres elementos de área que pasan por este, orientados
según los planos cartesianos definidos por los ejes X ,Y y
Z se puede determinar el esfuerzo a partir de ellos. Denotemos con Sxx , Syx , y Szx las cantidades que especifican el
esfuerzo respecto al elemento de área en dirección X ;
con Sxy , Syy , y Szy las cantidades que especifican el esfuerzo
sobre el elemento de área en dirección Y ; y con Sxz , Syz ,
y Szz las cantidades que especifican el esfuerzo sobre el
elemento de área en dirección Z ; y consideremos un elemento de área en una dirección arbitraria sobre el cual
vamos a determinar el esfuerzo. Para hacerlo proyectaremos los esfuerzos de referencia en el elemento de área
en dirección n, proyectando sobre este en cada caso el
elemento de área de referencia en cuestión, así:
•• Proyectando en el elemento de área con dirección n los
esfuerzos sobre el elemento de área con dirección x :
Sxx (x •n)
Syx (x •n)
Szx (x •n)
•• Proyectando en el elemento de área con dirección n los
esfuerzos sobre el elemento de área con dirección y :
Sxy (y •n)
Syy (y •n)
Szy (y •n)
•• Proyectando en el elemento de área con dirección n los
esfuerzos sobre el elemento de área con dirección z :
Sxz (z •n)
Syz (z •n)
Szz (z •n)
Szx (x •n) + Szy (y •n) +Szz (z •n) = Szη A Esfuerzo en la dirección
z sobre el elemento de área con dirección n
Donde el esfuerzo sobre el elemento de área en dirección n
está dado por las cantidades: Sxη , Syη y Szη.
En forma matricial este procedimiento para determinar el
esfuerzo respecto a cualquier elemento de área a partir de
los esfuerzos de referencia se puede representar como:18
Ecuación 1
Sxη
Sxx Sxy Sxz
x •n
Syη
Syx Syy Syz
y •n
Szη
Szx Szy Szz
z •n
Este procedimiento en el cual se recurre al principio de
superposición, teniendo en cuenta la geometría del espacio, es muy usado en la física. Veamos, por ejemplo, la
manera como se decide cuándo una magnitud es vectorial, y escojamos para ello la fuerza newtoniana.19 Centraremos nuestro análisis en el peso ya que es el referente
de las fuerzas newtonianas, como bien lo hicieron notar
Euler y Lagrange. Si observamos los efectos del peso
en un punto dado, vemos que es necesario estipular la
dirección en que el efecto es considerado; tengamos en
cuenta que solo se puede hablar del peso a través de
sus efectos; siendo nulos en las direcciones contenidas
en un plano horizontal. Tenemos entonces que para cada
dirección hay un efecto diferente, aspecto que Stevin y
Galileo trabajaron de manera explícita.20 El peso es pues
una magnitud definida con relación a una línea y como
en el caso de los esfuerzos tendría que estar especificado
por un infinito número de valores, con la diferencia que
18. Como puede verse, la posibilidad de que el esfuerzo sobre un elemento de área arbitrario se pueda determinar a partir de los esfuerzos
sobre tres elementos diferentes (direcciones diferentes) tiene un fundamento puramente geométrico; sin embargo la mayoría de los textos
muestran este resultado como una consecuencia del equilibrio de fuerzas en un elemento de volumen que tiene forma de un prisma con base
rectangular y tres de sus otras caras son perpendiculares entre sí.
19. Usualmente decimos que las magnitudes vectoriales son las que
tienen magnitud y dirección; pero, realmente eso no es un argumento;
solo se repite lo que nos hemos acostumbrado a repetir.
Tenemos que:
Sxx (x •n) + Sxy (y •n) +Sxz (z •n) = Sxη A Esfuerzo en la dirección
x sobre el elemento de área con dirección n
Syx (x •n) + Syy (y •n) +Syz (z •n) = Syη A Esfuerzo en la dirección
y sobre el elemento de área con dirección n
20. Véase al respecto, de M. M. Ayala y otros, los artículos: “El equilibrio
según Stevin: la acción como poder del peso” y “La estática y el concepto de momento según Lagrange y Galileo”, que sintetizan algunos
avances de la investigación “De la mecánica a la actividad de organizar
los fenómenos mecánicos: Hacia la elaboración de propuestas alternativas para la enseñanza de la mecánica”, financiada por la Universidad Pedagógica Nacional.
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acá cada valor solo queda especificado por una cantidad;
pero análogamente al esfuerzo, el peso a lo largo de un
elemento de longitud cualquiera puede ser expresado a
través del peso a lo largo de tres elementos de longitud
en direcciones diferentes. Por ejemplo, si consideramos a
las direcciones contenidas en el plano horizontal y Z en la
dirección vertical hacia arriba; el peso a lo largo de X, Y, y
es cero y a lo largo de Z es, digamos, -Po ; para determinar
el peso a lo largo de un elemento de longitud cualquiera,
proyectaremos los pesos de referencia sobre el elemento
de longitud en dirección n ; y esto lo podemos hacer proyectando sobre la dirección n la dirección de referencia
correspondiente en cada caso. Como el peso a lo largo de
los elementos de longitud en X , y, Y son cero, el peso a lo
largo de n es -Po (z •n). El procedimiento seguido se puede
expresar de la siguiente manera en notación matricial:
Ecuación 2
x •n
Pn = [ 0 0 -Po ] y •n
z •n
A partir de las consideraciones anteriores, podemos decir
que el peso, que es una magnitud definida con relación a
una línea, es un tensor de primer orden y se puede representar por la terna:
Consideremos un nuevo sistema de referencia definido por
los ejes x’ y’ y z’ ; a partir de la representación del esfuerzo
en el sistema x, y y z se efectuarán las transformaciones del
caso para representarlo en el nuevo sistema de referencia,
pero ¿en qué consisten esas transformaciones? Representar cada elemento Sij del tensor de esfuerzo —esfuerzo
sobre el plano j en la dirección i— en el nuevo sistema
de referencia significa, primero, proyectar cada uno de
los planos j en los x’ y’ y z’, y luego proyectar las direcciones i (direcciones de los esfuerzos) en las direcciones x’
y’ y z’ para determinar sus componentes en el nuevo sistema; por último, se deben sumar vectorialmente todos
los esfuerzos que actúan sobre cada plano de dicho sistema para determinar el elemento Si’j’ ; se repite este procedimiento para los otros planos del nuevo sistema, así:
•• Proyección de los diferentes esfuerzos Sij proyectando
los planos en los nuevos planos de referencia x’ y’ y
z’ 21
Ecuación 5
Sxx’ Sxy’ Sxz’
Syx’ Syy’ Syz’
Szx’ Szy’ Szz’
Sxx Sxy Sxz
Syx Syy Syz
Szx Szy Szz
x •x’ x •y’ x •z’
y •x’ y •y’ y •z’
z •x’ z •y’ z •z’
Proyección de cada una de las direcciones de los esfuerzos sobre los planos de referencia del nuevo sistema en
las direcciones de los nuevos ejes:22
Ecuación 3
Pn = [ 0 0 -Po ]
Y que el esfuerzo, que es una magnitud definida con
relación a una superficie, es un tensor de segundo
orden y se puede expresar por el arreglo de nueve
cantidades; puede deducirse que solo seis de ellas
son diferentes ya que Sij = Sji, teniendo en cuenta que
el torque sobre un elemento de volumen del medio
debe anularse, y que por lo tanto es un tensor simétrico:
Ecuación 4
Sxx Sxy Sxz
Syx Syy Syz
Szx Szy Szz
Desde esta perspectiva, las reglas de transformación de los
tensores —cuando se cambia el sistema de referencia—
con las que se les suele definir, pierden todo el misterio.
Ecuación 6
Sx’x’ Sx’y’ Sx’z’
Sy’x’ Sy’y’ Sy’z’
Sz’x’ Sz’y’ Sz’z’
x •x ’ y •x ’ z •x ’
x •y ’ y •y ’ z •y ’
x •z ’ y •z ’ z •z’
Sxx’ Sxy’ Sxz’
Syx’ Syy’ Syz’
Szx’ Szy’ Szz’
Es decir que el tensor de esfuerzos se transforma
siguiendo la siguiente regla:23
21. Nótese que al multiplicar la primera fila por la primera columna, se
proyectan los esfuerzos en la dirección x ejercidos sobre los diferentes
planos del sistema inicial para determinar el esfuerzo en esta dirección
ejercido sobre el plano x’; de la misma manera, al multiplicarla por la
segunda columna se determina el esfuerzo en dirección x ejercido sobre el plano y’; y al multiplicarla por la tercera se determina el esfuerzo
en esta dirección sobre el plano z’.
22. Nótese que al multiplicar la primera fila por la primera columna, se
determina la componente x’ del esfuerzo ejercido sobre el plano x’; al
multiplicarla por la segunda columna se determina la componente x’
del esfuerzo sobre el plano y’; y al multiplicarla por la tercera, la componente x’ del esfuerzo sobre el plano z’.
23. Se puede mostrar fácilmente que la transpuesta de T, T t, es igual a la
inversa de T, T-1 : T Tt = TtT; se dice entonces que T es una matriz ortogonal.
Ecuación 7
Sx’x’ Sx’y’ Sx’z’
Sy’x’ Sy’y’ Sy’z’
Sz’x’ Sz’y’ Sz’z’
x •x ’ y •x ’ z •x ’
x •y ’ y •y ’ z •y ’
x •z ’ y •z ’ z •z ’
Sxx Sxy Sxz
Syx Syy Syz
Szx Szy Szz
D
D
D
S’
T-1
S
x •x ’ x •y ’ x •z ’
y •x’ y •y ’ y •z ’
z •x ’ z •y ’ z •z ’
D
pasa por el punto considerado; teniendo en cuenta la
ecuación 1 se puede afirmar que los esfuerzos sobre
ese elemento de área están dados por:
Ecuación 11
T
Luego,
Ecuación 8
Sxn
P1 0 0 x•n
P1 (x • n)
Syn
0 P2 0 y • n
P2 (x • n)
Szn
0 0 P3 z • n
P3 (x • n)
Luego,
S’ = T-1ST
Ecuación 12
La transformación definida por la ecuación 8 es una transformación ortogonal de similaridad; en general, toda matriz
que se transforme por medio de esta forma es un tensor de
segundo rango (Arfken, 1970, p. 182).
Dado que el tensor de stress es simétrico, es posible determinar un sistema de ejes de referencia para los cuales los esfuerzos sobre los planos que definen sean normales a los mismos;
es decir, que sobre ellos no haya esfuerzos cortantes; dichos
ejes se denominan ejes principales, y respecto a ellos el tensor
tiene la siguiente representación:
Ecuación 9
P1 0 0
0 P2 0
0 0 P3
A los esfuerzos normales P1, P2 y P3 sobre los planos principales se les denomina esfuerzos principales.
La condición para la determinación de los ejes principales se
expresa a través de una ecuación de valores propios, que se
obtiene de la ecuación 1 al exigir que el esfuerzo sobre el
plano que se quiere hallar sea paralelo a la normal de este:
Ecuación 10
ak = S • k
Donde k es la dirección de la normal al plano principal, S es
el tensor de stress para un sistema inicial de ejes. A partir
de esta representación, es posible mostrar que el esfuerzo
sobre un elemento de área cualquiera define un elipsoide
cuyos ejes son los esfuerzos principales. Para ello designemos por n la dirección del elemento de área arbitrario que
Sx� 2
Sy� 2
Sz� 2
+
+
= (x •n)2 + (y •n)2 +(z •n)2 = |n|2 = 1
P12
P22
P32
Entonces, si consideramos a Sxη, Syη y Szη como las
coordenadas de un punto, el vector dibujado desde
el origen al punto Sxη Syη, Szη es el esfuerzo sobre
el elemento de área con dirección n , es claro que
(ec.12) es la ecuación de un elipsoide de ejes P1, P2 y
P3, denominado elipsoide de stress.
La representación del tensor de stress en términos de
los ejes principales, por ser la más simple, da información
importante de manera directa. Así, si los esfuerzos principales son iguales entre sí, P1 = P2 = P3 = P0, el esfuerzo
sobre cualquier elemento de área oblicuo es también
igual a P0, como puede deducirse de la ecuación 11;
entonces cualquier sistema de ejes conforma un sistema
de ejes principales. Cuando P0 es negativo, tenemos el
caso de los fluidos perfectos. Otro caso de gran interés
se da cuando los valores absolutos de los esfuerzos principales son iguales y solo uno de ellos es positivo; corresponde al estado de stress en que se encuentra un medio
dieléctrico, el cual da cuenta, según los planteamientos
de Maxwell y Faraday, de la acción entre sistemas electrificados. Así, refiriéndose al vacío (dieléctrico isotrópico),
Maxwell afirma:
La dirección de la intensidad electromotriz (intensidad del
campo eléctrico) en un punto es un eje principal del stress,
y el esfuerzo en esta dirección es una tensión cuyo valor
numérico es p = 1/8π R², donde R es la intensidad electromotriz. Cualquier dirección en ángulos rectos a ésta, es
también un eje principal de stress, y el esfuerzo a respecto
a tal eje es una presión cuya magnitud numérica es también
p. (Maxwell, 1954, p. 100)
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Conclusiones generales
Afirmaciones de este tipo ponen de manifiesto la necesidad de desarrollar esquemas de análisis de la mecánica
de medios continuos para la comprensión de la teoría
electromagnética desde una perspectiva de campos.
A través del análisis realizado a lo largo del escrito, hemos
destacado algunos rasgos de las formas de razonamiento
que están en la base de la definición del tensor de stress y
de magnitudes análogas, y hemos develado algunas fuentes de dificultades que enfrentan los interesados en el
análisis de la elasticidad y de la mecánica de medios continuos, al tratar de hacer inteligibles los planteamientos
que sobre el tema se presentan en los textos. Vale destacar, en particular, el análisis de corte geométrico realizado
sobre el carácter tensorial del esfuerzo, el cual permite no
solo tener un acercamiento diferente y asequible a este
concepto, sino también repensar las diversas magnitudes de la física desde esta nueva perspectiva y así generar
significados que resulten más satisfactorios para quienes
emprendan este trabajo.
Referencias
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el equilibrio de los líquidos. Física y Cultura: Cuadernos
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