Una Nota Sobre Métodos de Resolución Básicos de Modelos de

Una Nota Sobre Métodos de Resolución
Básicos de Modelos de Expectativas
Racionales
Cruz A. Echevarría
Septiembre de 2002
1
1
Introducción
El propósito de esta nota es complementar la exposición que del modelo básico
de R. Lucas (1973) se hace en el Capítulo 4 de Attfield, Demery y Duck (1991), presentando una exposición formal del mismo, y ofreciendo un tratamiento alternativo
al desarrollado en su apartado 4.6, pp. 88-96. Al mismo tiempo se introducen métodos de resolución básicos de modelos en tiempo discreto que incorporan expectativas
racionales.
Dependiendo de la especificación concreta de las expectativas, distinguiremos
dos tipos de problemas que requerirán técnicas de resolución diferentes. El primero
de éstos se caracteriza porque las ecuaciones dependen de expectativas de variables
endógenas corrientes, mientras que en los modelos del segundo tipo intervienen expectativas de variables endógenas futuras. En el primer caso, la solución se obtendrá
de forma relativamente sencilla, mientras que en el segundo caso será necesario utilizar otro tipo de técnicas alternativas. En particular, ilustraremos cómo se resuelven
estos problemas mediante los métodos del operador de adelanto, sustitución repetida
y coeficientes indeterminados.
Ilustraremos los dos tipos de problemas mediante sendos modelos de oferta y
demanda agregadas que nos permitirán analizar la determinación de los niveles de
producción y precios de equilibrio, así como la cuestión de la efectividad de la política
monetaria cuando los individuos forman sus expectativas de forma racional.
La nota está organizada así. En el apartado 2 se presenta una formalización
del modelo básico de Lucas. En el apartado 3 se discute la resolución del modelo
cuando la oferta agregada incluye la expectativa pasada del precio de equilibrio
corriente, obteniéndose la proposición de Sargent y Wallace de inefectividad de la
política monetaria cuando ésta es anticipada. En el apartado 4 se analiza una
especificación alternativa para la oferta agregada, haciendo depender ésta de la
expectativa corriente del precio de equilibrio futuro. En el apartado 5 se discuten
tres métodos alternativos de resolución del modelo bajo tal especificación.
2
El modelo básico de Lucas
En este apartado se presenta una formalización del modelo básico de Lucas. Ver,
por ejemplo, el capítulo 4 de Attfield, Demery y Duck (1991) para una exposición
intuitiva del mismo.
2
2.1
La regla de predicción óptima
Una cuestión previa sobre notación. En primer lugar, nosotros denotaremos la
expectativa racional de la variable Xt+j condicionada por el conjunto de información
disponible al final del período t + i como t+i Xt+j . Alternativamente, podríamos
utilizar otro tipo de notación, de uso frecuente en la literatura, como Et+i Xt+j o
E[Xt+j |It+i ], en donde It+i denota tal conjunto de información. Por simplicidad,
utilizaremos la primera de todas. En segundo lugar, las variables expresadas en
mayúsculas denotarán niveles; por contra, las variables expresadas en minúsculas,
denotarán logaritmos.
Supóngase que hay N mercados aislados, y que los agentes del mercado z conocen:
1. el (logaritmo del) nivel de precios en su propio mercado z: pt (z).
2. cómo se distribuye el (logaritmo del) nivel de precios de equilibrio para
toda la economía: pt → N(t−1 pt , σ 2 ). Antes de acudir a su mercado z y
observar el precio pt (z) correspondiente, los agentes de todos los mercados comparten el mismo conjunto de información, It−1 . Como parte
de ese conjunto de información, los individuos tienen una distribución
previa de cuál va a ser el (logaritmo del) nivel de precios de equilibrio
pt . En concreto, esperan que pt sea una variable aleatoria normalmente
distribuida con media t−1 pt y varianza σ 2 .
3. la relación existente entre el nivel general de precios y el precio de cada
mercado z: pt (z) = pt + zt , donde zt → N(0, τ 2 ). Es decir, el (logaritmo del) precio del mercado z es igual al nivel general de precios para
toda la economía más una perturbación aleatoria, zt , distribuida normalmente con media cero y varianza τ 2 . La perturbación zt representa
los “shocks” de demanda relativos al mercado z.
El problema planteado es el siguiente: para un agente que sólo observa, primero,
el precio de su propio mercado; segundo, de la distribución previa del nivel general
de precios de equilibrio; y, tercero, la relación existente entre ambos niveles de
precios, ?‘cuál será su mejor predicción acerca del nivel de precios de la economía
en agregado?
Supóngase que p̂t (z) fuera el E.L.I.O. (Estimador Lineal Insesgado Óptimo) para
pt construido por un agente del mercado z como una combinación lineal convexa de
dos datos que le resultan conocidos: p̂t (z) = αt−1 pt + (1 − α)pt (z) para algún α por
3
determinar. El problema será encontrar aquel α que minimiza el error cuadrático
medio (E.C.M.) de la predicción.
Error ≡ p̂t (z) − pt =
= αt−1 pt + (1 − α)pt (z) − pt + αpt − αpt =
= −α(pt −t−1 pt ) + (1 − α)[pt (z) − pt )] =
= −α(pt −t−1 pt ) + (1 − α)zt .
(1)
Así, tomando esperanzas sobre el cuadrado del error, se tiene que
E.C.M. = E[p̂t (z) − pt ]2 =
= E[α2 (pt −t−1 pt )2 + (1 − α)2 zt2 − 2α(1 − α)(pt −t−1 pt )zt ] =
= α2 σ 2 + (1 − α)2 τ 2 ,
(2)
pues las variables aleatorias (pt −t−1 pt ) y zt son independientemente distribuidas y
ambas tienen media cero, y en donde E denota “operador esperanza”. Minimizando
E.C.M. con respecto a α, se tiene como condición necesaria de primer orden
∂E.C.M.
= 2ασ 2 − 2(1 − α)τ 2 = 0,
∂α
(3)
de donde
τ2
.
(4)
σ2 + τ 2
Compruébese que se satisface la condición de segundo orden y que, efectivamente,
(4) implica un mínimo para (2).
Así, pues, se tiene que
α=
τ2
σ2
p
+
pt (z).
(5)
t−1
t
σ2 + τ 2
σ2 + τ 2
Obsérvese que p̂t (z) resulta ser una media ponderada de dos datos conocidos por los
agentes: la esperanza del nivel de precios de equilibrio (previa a observar el nivel
p̂t (z) =
4
de precios en el mercado z y común a todos los mercados) y el precio del propio
mercado.
Considere dos situaciones extremas. En la primera, suponga un país cuya historia
se caracterizara por una gran estabilidad en los precios (de suerte que σ 2 fuera
aproximadamente cero), y en la que las variaciones en los precios de los mercados
individuales se hubieran debido fundamentalmente a “shocks” relativos de demanda
(y, por tanto, τ 2 fuera relativamente “grande”). En tal caso, se tendrá que p̂t (z)
será aproximadamente igual a t−1 pt : los agentes apenas tienen en cuenta qué ocurre
en su propio mercado para predecir el nivel general de precios, resultando más fiable
su expectativa racional ( previa) de pt . En este caso, un (por ejemplo) incremento en
pt (z) no afectaría a p̂t (z), dando lugar a un incremento en el precio relativo percibido
por los individuos del mercado z.
Si, por el contrario, el nivel general de precios hubiera variado mucho en el pasado
(con una historia de hiperinflaciones) y no así los precios relativos de los diferentes
mercados (es decir, σ 2 y τ 2 fuesen, respectivamente, “grande” y “pequeña”), entonces los individuos tendrían más en cuenta el precio observado en el mercado z,
y menos la esperanza previa del nivel de precios de equilibrio para predecir éste. Si
éste fuera el caso, un incremento en pt (z) también haría incrementarse el nivel de
precios agregado esperado p̂t (z), dejando inalterado el precio relativo percibido por
los individuos del mercado z, esto es, pt (z) − p̂t (z).
?‘Por qué resulta relevante el precio relativo que perciben los individuos de una
mercado cualquiera? Pues porque, como veremos a continuación, las decisiones de
oferta dependen precisamente de éste.
2.2
Función de oferta agregada de Lucas
Supóngase que la oferta (con las variables expresadas en forma de logaritmos)
en el mercado z fuera
yt (z) = kt + xt (z),
(6)
xt (z) = γ[pt (z) − p̂t (z)], γ > 0,
(7)
en donde kt es un componente normal (natural o secular) conocido y común a todos
los mercados, y xt (z) es un componente cíclico que varía de mercado a mercado. Además, se supone que éste último depende positivamente del precio relativo
5
percibido por los productores de cada mercado, pt (z) − p̂t (z).1
Utilizando la regla de predicción óptima,
xt (z) = γ[pt (z) − αt−1 pt − (1 − α)pt (z)] =
= γα[pt (z) −t−1 pt ].
(8)
Definiendo β ≡ γα, y agregando para todos los mercados,
yt (z) = kt + xt (z)
yt (z) = kt + β[pt (z) −t−1 pt ],
(9)
que es la oferta del mercado z; agregando sobre z,
N
X
N
N
X
X
1
1
1
yt (z) =
kt +
β[pt (z) −t−1 pt ] =
z=1 N
z=1 N
z=1 N
N
X
"
#
N
X
1
1
=
kt + β
(pt (z) −t−1 pt ) ⇒
z=1 N
z=1 N
yt = kt + β(pt −t−1 pt ), β > 0
(10)
que es, justamente, la Oferta Agregada de Lucas, y en donde yt es el nivel de
producción agregado medio.
Obsérvese que la pendiente de la función inversa de oferta es 1/β y que la posición
de ésta depende del nivel de precios esperado. Resulta interesante analizar cómo
afecta la discusión anterior sobre las varianzas σ 2 y τ 2 y a dicha pendiente. En
efecto, se tiene que la pendiente es igual a (σ 2 + τ 2 )/(γτ 2 ).
Considérese ahora el caso de un país con una larga tradición de hiperinflaciones,
y en el que el nivel general de precios se hubiera caracterizado por una gran volatilidad. En tal caso se tendría una oferta agregada (o, más exactamente, una función
inversa de oferta agregada) vertical. En estas condiciones, una autoridad monetaria
que en el pasado hubiera abusado engañando al sector privado de la economía con
altas tasas de inflación y gran variabilidad en el nivel de precios, habría perdido
1
El lector interesado puede encontrar una microfundamentación al respecto en Lucas (1972).
6
credibilidad. Se encontraría con una capacidad de maniobra nula: sucesivos intentos de incrementar la producción mediante expansiones de la demanda agregada se
traducirán únicamente en incrementos en el nivel de precios.
La situación de un país con una historia monetaria estable, sin sobresaltos, sería
justamente la contraria. Se tendría una (función inversa de) oferta agregada con
menor pendiente, teniendo la política de manejo de la demanda capacidad para
afectar a la producción.
3
Resolviendo modelos que contienen únicamente
expectativas de variables endógenas corrientes
En este apartado resolvemos el modelo de oferta y demanda agregadas de Lucas,
obteniendo el precio y la producción de equilibrio.
Considérese el siguiente modelo de oferta y demanda agregadas, y obténganse
los valores de equilibrio de los niveles de precios y producto.
i) demanda agregada de elasticidad-precio unitaria (en logaritmos)
pt + yt = mt ,
(11)
donde pt es el nivel precios en el período t, yt es el producto en el período t, mt
es la oferta monetaria en el período t, y donde se supone que la velocidad-renta de
circulación del dinero es constante y, por simplicidad, idénticamente igual a uno.
Obsérvese que la ecuación implica que la demanda agregada depende únicamente de
variables monetarias.
ii) oferta agregada de Lucas (en logaritmos)
yt = kt + β(pt −t−1 pt ), β > 0,
(12)
en donde kt es el nivel de producto normal (o natural, y que se supone exógeno
y conocido); t−1 pt es la expectativa racional del nivel de precios correspondiente al
período t formada según el conjunto de información disponible al final del período
t−1. Más adelante (en el apartado 4) haremos un supuesto alternativo para el precio
relativo relevante para la oferta, y que tendrá consecuencias importantes sobre la
efectividad de la política monetaria, además de obligarnos a utilizar otro método de
resolución diferente al que a continuación vamos a ver.
7
3.1
Solución
Despejando yt de (11) y (12) e igualando se tiene
kt + β(pt −t−1 pt ) = mt − pt ,
es decir,
(1 + β)pt = mt − kt + β t−1 pt ,
(13)
que es una ecuación en diferencias estocástica
Esta podría parecer una solución para el nivel de precios. Sin embargo, depende
de t−1 pt , la propia expectativa del nivel de precios: es una variable endógena (generada por el propio modelo) y, por lo tanto, no puede aparecer formando parte de
la solución de otra variable, sino que requiere su propia solución.
Tomando expectativas racionales en condicionadas al conjunto de información
disponible al final del período t − 1 sobre (13), (y que incluye, además de las constantes, todos los valores de todas las variables fechadas en t − 1 y períodos anteriores), se tiene
(1 + β)t−1 pt =t−1 mt − kt + β t−1 pt .
(14)
Obsérvese que kt se supone conocido y que, por tanto, t−1 kt = kt . Por otra
parte, mt es una variable exógena, en general desconocida, y cuyo valor dependerá
del proceso que siga la oferta monetaria. Así, se tiene que
t−1 pt
=t−1 mt − kt .
(15)
[Intente justificar por qué t−1 mt aparece con signo positivo en y por qué kt lo
hace con signo negativo].
Sustituyendo (15) en (13) se obtiene la solución para pt :
mt − kt
β
+
(t−1 mt − kt ).
(16)
1+β
1+β
Así, pues, el nivel de precios será mayor cuanto mayores sean la oferta monetaria
y la expectativa de ésta, y será menor cuanto mayor sea el nivel de producción
normal. (?‘Por qué?).
Antes de seguir, un par de comentarios. Primero, obsérvese la racionalidad de
los agentes. Éstos determinan cuál es su expectativa del precio de equilibrio (15)
imponiendo la propia condición de equilibrio: t−1 pt es, pues, una variable endógena.
pt =
8
Y el precio de equilibrio que se obtiene en (16) es consistente con la expectativa
formada. En efecto, tomando expectativas sobre pt en y operando, se obtiene de
nuevo (15). En otras palabras, los agentes no esperan confundirse en su predicción de
pt . Compruébese que, restando (15) de (16) y tomando expectativas, la expectativa
del error de predicción, t−1 (pt −t−1 pt ), es efectivamente cero. Digamos que no sería
“racional” esperar no acertar, ni tan siquiera en promedio, al efectuar la predicción.
En segundo lugar, podemos descomponer el efecto que sobre el precio de equilibrio tienen el componente anticipado de la política monetaria (t−1 mt ) y el componente
no anticipado, (mt −t−1 mt ). A este último nos referiremos más adelante como “sorpresa” de la autoridad monetaria o error de predicción de la política monetaria por
parte de los agentes privados. Así, sumando y restando t−1 mt /(1 + β) en el segundo
miembro de (16) y operando, se tiene
1
(mt −t−1 mt ).
(17)
1+β
[Intente razonar el porqué de los signos de kt , t−1 mt y (mt −t−1 mt ) en la anterior
expresión].
Restando (15) de (16), y sustituyendo (pt −t−1 pt ) en (12), se tendrá la solución
para el nivel de producción de equilibrio
pt = −kt +t−1 mt +
β
(mt −t−1 mt ).
(18)
1+β
Por tanto, el nivel de producción será mayor cuanto mayores sean la producción
normal (?‘por qué?) y la sorpresa de la autoridad monetaria o error de predicción
de la demanda agregada, es decir la diferencia entre el nivel de oferta monetaria
efectiva y la esperada: mt −t−1 mt . (?‘Por qué?).
Por último obtenemos las varianzas del producto σ 2y y del precio σ 2 de equilibrio.
Denotando et al error de predicción de la oferta monetaria [et ≡ mt −t−1 mt ], al que
suponemos una variable i.i.d. con media 0 y varianza σ 2e , se tiene (de la solución
para yt ) que
Ã
!2
β
2
σ 2e .
σy =
1+β
yt = kt +
Nótese que (para una β dada) σ 2y depende positivamente de la varianza del error
de predicción de la oferta monetaria: la autoridad monetaria podría afectar a la
producción de equilibrio sorprendiendo al sector privado. Obsérvese que también
depende positivamente de β (de manera negativa de 1/β, la pendiente de la inversa
2
de la oferta agregada). Sin embargo, β es endógeno [β = σ2γτ+τ 2 ]: depende negativamente de la varianza del precio de equilibrio σ 2 : un intento repetido por parte de
9
la autoridad monetaria de afectar a la renta de equilibrio mediante engaños acerca
de su política, se traduciría en mayor varianza del precio de equilibrio σ 2 , menor β
(mayor pendiente de la inversa de la oferta agregada 1/β) y menor variación en la
renta de equilibrio que, en el límite, permanecería igual a su nivel natural kt . Por
tanto, el parámetro β , no es constante, sino que depende de la política llevada a
cabo.
Queda por obtener la varianza del precio de equilibrio σ 2 . De la solución para
pt , se tiene que
Ã
!2
1
2
σ 2e ,
σ =
1+β
y, dado β,


2
σ =

1
1+
γτ 2
σ 2 +τ 2
2

σ 2e ,
que, implícitamente caracteriza a σ 2 como una función de σ 2e (y de τ 2 ). Por ejemplo,
en el caso límite de τ 2 = 0, entonces todas las perturbaciones en la oferta monetaria
de trasladarían a los precios [σ 2 = 1 × σ 2e ] y no a la producción [σ 2y = 0 × σ 2e ].
Obsérvese que en el caso particular en el que supusiéramos previsión perfecta y
los agentes privados fueran capaces de prever perfectamente la política monetaria
del gobierno (mt =t−1 mt ), el nivel de precios de equilibrio sería
pt = mt − kt ,
(19)
esto es, únicamente dependerá de la oferta monetaria y de la producción natural.
Igualmente, se tendrá que el valor de equilibrio de yt será
yt = kt ,
(20)
como cabría esperar, por lo que kt puede ser interpretado como el nivel de producción
de previsión perfecta o información completa. Por tanto, la única capacidad que
tiene la autoridad monetaria de afectar al nivel de producción es sorprendiendo a
los individuos con una política monetaria distinta de la anunciada, de forma que
(mt −t−1 mt ) sea distinto de cero. Incluso esta táctica de engañar al personal tendría
sus limitaciones en el largo plazo. Recuérdese la discusión anterior sobre la pendiente
de la oferta agregada y la variabilidad del nivel de precios de equilibrio.
3.2
Oferta y demanda agregadas aleatorias
Supongamos que tanto la demanda agregada como la oferta agregada estuvieran afectadas por sendos componentes aleatorios. En efecto, supongamos que la
10
demanda y la oferta agregadas vinieran dadas, respectivamente, por (21) y (22):
pt + yt = mt + vt ,
(21)
donde pt , yt , y mt se definen como en (11), pero donde la velocidad-renta de circulación del dinero se supone aleatoria, y su logaritmo, vt , independiente e idénticamente distribuido (i.i.d.) con media cero: E[vt ] = E[vt vt+i ] = 0, para todo i distinto
de cero. El término vt recoge posibles perturbaciones en la demanda de saldos reales,
producto, por ejemplo, de perturbaciones en la política fiscal que afectan al tipo de
interés.
yt = kt + β(pt −t−1 pt ) + ²t , β > 0,
(22)
en donde ²t es una perturbación aleatoria i.i.d. con media cero: E[²t ] = E[²t ²t+i ] = 0,
para todo i distinto de cero, y que además E[vt+j ²t+i ] = 0 para todo i y para todo
j. Los ²t ’s se interpretan como el resultado de perturbaciones en la productividad
debidas, por ejemplo, a “shocks” en la tecnología, climatología, etc.
3.2.1
Solución
Despejando yt de (21) y (22), e igualando se tiene
kt + β(pt −t−1 pt ) + ²t = mt + vt − pt ,
es decir,
(1 + β)pt = mt − kt + β t−1 pt + vt − ²t .
(23)
Tomando expectativas (racionales) condicionadas por el conjunto de información
It−1 , se tendrá de nuevo
(1 + β)t−1 pt =t−1 mt − kt + β t−1 pt ,
pues
t−1 ²t
(24)
=t−1 vt = 0. (Por qué) Así, volvemos a tener
t−1 pt
=t−1 mt − kt .
(25)
Sustituyendo en se tendrá la solución para pt :
pt =
en donde η t ≡
β
mt − kt
+
(t−1 mt − kt ) + η t ,
1+β
1+β
vt −²t
.
1+β
11
(26)
Por tanto, al igual que en (16), el nivel de precios será mayor cuanto mayores
sean la oferta monetaria y la expectativa de ésta, y menor cuanto mayor sea el nivel
de producción normal. Además, “shocks” positivos de oferta (²t > 0) reducirán el
nivel de precios, y “shocks” de demanda (vt > 0) lo incrementarán. Restando (25)
de (26), y sustituyendo pt −t−1 pt en (22) se tendrá
yt = kt +
β
(mt −t−1 mt ) + ut ,
1+β
(27)
t +²t
en donde ut ≡ βv1+β
.
Por tanto, el nivel de producción será mayor cuanto mayores sean el nivel de
producción natural, los “shocks” positivos de oferta y demanda agregadas, y el error
de predicción de la política monetaria, es decir, la diferencia entre el nivel de oferta
monetaria efectiva y la esperada: mt −t−1 mt .
3.3
Un proceso concreto para la oferta monetaria
Supongamos que los individuos supieran que la oferta monetaria crece a una tasa
constante θ de suerte que mt siguiera el siguiente proceso
mt = mt−1 + θ + $t ,
(28)
donde $t es el componente estocástico de la oferta monetaria y que se supone que
es i.i.d. con media cero.2 En tal caso, se tendrá que t−1 mt = mt−1 + θ. Sustituyendo
en las soluciones (26) y (27) para pt e yt , respectivamente, se tendrá
pt = mt − kt −
β
$t + η t ,
1+β
(29)
y
yt = kt +
β
$t + ut .
1+β
(30)
Obsérvese que yt NO depende del comportamiento sistemático (θ) de la política
monetaria, sino tan sólo de su componente no anticipado (la diferencia mt −t−1 mt =
$t ), además de las perturbaciones no anticipadas de oferta y demanda.
2
θ se define como (1 + θ) ≡ Mt /Mt−1 . Tomando logaritmos en ambos miembros se tiene que
mt − mt−1 ≡ ln(1 + θ) que, para θ suficientemente pequeño, puede ser aproximado por θ.
12
4
Una especificación alternativa para la Oferta de
Lucas
El método que hemos visto en el anterior apartado resulta relativamente sencillo.
Sin embargo, no siempre resulta operativo. Considérese un pequeño cambio, y
supóngase que la oferta agregada fuera
yt = kt + β(pt −t pt+1 ), β > 0,
(31)
en donde el significado de los símbolos es obvio.
Hasta ahora se ha definido el precio relativo esperado como el cociente del precio
en un mercado dado entre la expectativa racional condicionada por el conjunto de
información disponible en t−1 del nivel general de precios. En realidad, teóricamente
resulta más probable que los oferentes respondan al precio relativo esperado definido
éste como el cociente del precio en su mercado entre su expectativa corriente del nivel
de precios del próximo período. Si este precio relativo esperado es alto, por ejemplo,
entonces a los productores les convendrá producir y vender más este año, y acumular
los ingresos en forma de saldos monetarios, anticipando que el valor real de éstos
aumentará si el nivel general de precios se espera que disminuya.
Una implicación que se deriva de esta especificación alternativa de la oferta
agregada es que un incremento sostenido en la tasa de crecimiento de la demanda
agregada, y por tanto de la tasa de inflación, puede reducir de forma permanente
la cantidad de producto ofrecido ya que también reduce permanentemente la tasa
de rendimiento derivada de mantener los ingresos de las ventas en forma de dinero.
De este modo, cambios en la tasa de crecimiento de la demanda agregada que sean
perfectamente anticipados [debidos, por ejemplo, a cambios en la tasa de crecimiento
de la oferta monetaria] podrán afectar el nivel de producción real.
En el caso de (31) se tiene, pues, que la oferta agregada depende de la expectativa
(racional) de pt+1 condicionada por el conjunto de información disponible al final
del período t. Se tiene, por tanto, la expectativa de una variable endógena futura.
Así, de (11) y (31) se tendrá que
1
(mt − kt + β t pt+1 ).
(32)
1+β
Si no fuera por el último sumando en el paréntesis, esta sería la solución para el
nivel de precios. Sin embargo, la solución únicamente puede depender de variables
exógenas (incluyendo valores pasados de variables endógenas) o de expectativas de
éstas. [Recuérdese la discusión anterior acerca de la endogeneidad de t−1 pt . Otro
pt =
13
tanto cabría decir de t pt+1 ]. Así, necesitamos resolver para poder obtener pt . A
simple vista, una posible forma de encontrar la solución sería obtener una expresión
similar a (32) para t + 1, y posteriormente aplicar el operador expectativa racional
en los dos miembros, para luego despejar t pt+1 :
1
(mt+1 − kt+1 + β t+1 pt+2 ),
(33)
1+β
y tomando expectativas sobre los dos miembros de la ecuación condicionadas por el
conjunto de información disponible al final del período t, se tendrá
pt+1 =
1
(t mt+1 − kt+1 + β t pt+2 ),
(34)
1+β
con lo cual hemos resuelto un problema, pero hemos planteado uno nuevo, t pt+2 .3
Para obtener (34) hemos utilizado la ley de expectativas iteradas según la cual la
mejor expectativa que en el período t puede hacerse acerca de la mejor expectativa
que en el período t + 1 se hará del valor de una variable X del período t + 2 es la
propia expectativa que hagamos en el período t. En general, se tendrá, pues, que
t [t+i Xt+j ] =t Xt+j , ∀j ≥ i ≥ 0. En nuestro caso, t [t+1 pt+2 ] =t pt+2 .
El ejemplo ilustra, por tanto, cómo resulta necesario utilizar algún método alternativo de solución, dedicándose el apartado 4 a este propósito.
t pt+1
5
=
Resolviendo modelos que contienen únicamente
expectativas de variables endógenas futuras
En este apartado aprenderemos a resolver modelos sencillos que incorporan expectativas racionales corrientes de variables endógenas futuras. En principio se presentan tres posibilidades: sustitución repetida, operador de adelanto, y coeficientes
indeterminados, y que veremos en el mismo orden.
5.1
Sustitución repetida
Teníamos en (32) una expresión para pt
pt =
1
(mt − kt + β t pt+1 ).
1+β
Si este es el proceso que genera pt , ello será cierto también para cualquier otro
período t + 1, t + 2, t + 3, ... Se trata de adelantar (32) para pt+1 , pt+2 , pt+3 , etc.,
3
Recuérdese que la trayectoria temporal de kt se supone conocida, y que, por tanto, t kt+1 =
kt+1 .
14
hallar las correspondientes expectativas en el período t, y obtener una expresión
general para pt .
Así, adelantando (32) un período se tiene que para t + 1,
pt+1 =
1
(mt+1 − kt+1 + β t+1 pt+2 ),
1+β
y tomando expectativas racionales al final del período t
1
(t mt+1 − k + β t pt+2 ),
(35)
1+β
en donde hemos aplicado la ley de expectativas iteradas y, a diferencia de (34),
hemos supuesto, por simplicidad, que kt es una constante conocida k para todo t.
Sustituyendo (35) en (32) y agrupando términos, se tiene que
t pt+1
=
"
#
1
mt
β2
β t mt+1
β
+
+
+
−k
pt =
t pt+2 ,
1 + β (1 + β)2
1 + β (1 + β)2
(1 + β)2
(36)
expresión de la que desconocemos t pt+2 .
Adelantando (32) dos períodos se tendrá que para pt+2 ,
1
(mt+2 − k + β t+2 pt+3 ),
1+β
y tomando expectativas racionales en t se tendrá
pt+2 =
(37)
1
(t mt+2 − k + β t pt+3 ).
(38)
1+β
Sustituyendo esta última expresión en (36) y agrupando términos, se tiene
t pt+2
pt =
=
1
β
β2
mt +
m
+
t t+1
t mt+2 −
1+β
(1 + β)3
(1 + β)2
"
#
1
β
β2
β3
+
+
+
−k
t pt+3 ,
1 + β (1 + β)2 (1 + β)3
(1 + β)3
(39)
expresión de la que desconocemos t pt+3 .
Tras haber efectuado dos sustituciones, es posible identificar el aspecto de la
solución final. En efecto, supongamos que hubiéramos repetido el proceso anterior
T veces, y que posteriormente tomáramos el límite cuando T tiende a más infinito.
Se tendrá entonces que, teniendo en cuenta que t mt+0 = mt ,
pt =
∞
X
βi
βi
β T +1
m
+
lim
−
k
t+i
t
t pt+T +1 .
i+1
i+1
T →∞ (1 + β)T +1
i=0 (1 + β)
i=0 (1 + β)
∞
X
15
(40)
Si suponemos que el límite que aparece en la última expresión se anula, entonces
obtenemos4 , 5
Ã
∞
β
1 X
pt =
1 + β i=0 1 + β
!i
t mt+i
− k.
(41)
De este modo el nivel de precios de equilibrio en el período t depende no sólo de
la oferta monetaria en dicho período, sino también de los valores de las expectativas
efectuadas al final del período t de cuál será la oferta monetaria en todos los períodos
subsiguientes hasta el infinito. El hecho de suponer que el límite en (40) es igual a
cero no deja de ser arbitrario, pues podríamos haber supuesto cualquier otro valor.
Este ejemplo ilustra el problema de la multiplicidad de soluciones de los modelos de
expectativas racionales que incorporan expectativas corrientes de variables endógenas futuras. De hecho, puede demostrarse que si p∗t (la solución fundamental) denota
el segundo miembro de (41), entonces pt = p∗t + bt también será solución siempre y
cuando bt satisfaga unas determinadas propiedades no demasiado restrictivas. (Lo
volveremos a ver en el apartado 5.2 cuando resolvamos el modelo haciendo uso del
operador de adelanto.)
En efecto, por una lado tenemos
Ã
∞
1 X
β
pt =
1 + β i=0 1 + β
!i
t mt+i
− k + bt ≡
≡ p∗t + bt ;
(42)
y, por otro,
(1 + β)pt = mt − k + β t pt+1 .
Sustituyendo (42) en el primer miembro de (32); adelantando (42) un período,
tomando expectativas en t, sustituyendo t pt+1 en el segundo miembro de (32), y
operando, se tiene
β
t bt+1 ,
1+β
que es la condición que caracteriza a la burbuja. Por ejemplo,
bt =
4
(43)
Para los interesados, dicho término se conoce técnicamente como la “burbuja” del precio de
equilibrio
P
i
j
5
Recuérdese que, en general, si |c| < 1, entonces ∞
i=j c = c /(1 − c).
16
bt = b0
Ã
1+β
β
!t
,
satisface la condición (43). Obsérvese que la burbuja tiende a “explotar” (bien a
más infinito o a menos infinito) a medida que t crece.
Sustituyendo pt (eliminando previamente el término de burbuja) en la ecuación
de demanda agregada, se tendrá que
Ã
∞
1 X
β
β
mt −
yt = k +
1+β
1 + β i=1 1 + β
!i
t mt+i .
(44)
Intente razonar el porqué de los signos con que mt , t mt+i , y k afectan a pt e yt
en (41) y (44), respectivamente.
5.2
Operador de adelanto
Para resolver la ecuación (18) también podemos utilizar el operador de adelanto
al que denotaremos por B y que se define del siguiente modo:
B −i t Xt+j ≡ t Xt+j+i .
(45)
Es decir, aplicando el operador adelanto i veces a la expectativa racional en t
de la variable Xt+j se obtiene la expectativa racional en t (y, por tanto, el conjunto
de información sigue siendo el mismo, It ) de la variable Xt+j+i que se realiza en el
tiempo i períodos después de la variable Xt+j . Como casos particulares se tendrá,
para j = 0 y suponiendo (como siempre supondremos nosotros) que el conjunto de
información It contiene todas las variables indiciadas en t y períodos anteriores, que
B −1 t X t ≡t Xt+1 y B −i t Xt ≡t Xt+i .6
Antes de seguir adelante, necesitamos algunas propiedades del operador de adelanto.
(a) Aplicado i veces a una constante c cualquiera, ésta permanece inalterada:
−i
B c = c.
(b) Aplicado i veces a una variable cuyo exponente es t (el tiempo), se obtiene
la misma variable elevada a un exponente i veces mayor: B −i X t = X t+i .
(c) Si |α| < 1, entonces
6
Puede demostrarse que el operador de adelanto tan sólo está bien definido para potencias
negativas. Ver Sargent (1987), p. 395, n. 3.
17
∞
X
1
=
αi B −i = (1 + αB −1 + α2 B −2 + · · ·)
1 − αB −1 i=0
(d) Como consecuencia de (a), (b) y (c), se tiene que
(1 − αB −1 )c
µ ¶t
1
α
= 0.
Todo lo anterior nos servirá para resolver (32). En efecto, se tendrá que, por
la definición de B −i y dejando en el primer miembro únicamente términos de pt ,
podemos expresar (32) como
βpt + pt − β t pt+1 = mt − k,
(32bis)
de donde, tomando expectativas condicionadas al conjunto de información It , tenemos
β t pt +t pt − βBt−1 pt = t mt − k.
(46)
Dividiendo ambos miembros por (1 + β) se tiene
Ã
β
B −1
1−
1+β
!
t pt
=
1
(t mt − k),
1+β
(47)
o, lo que es lo mismo, pasando el término que premultiplica a t pt al segundo miembro
y según (d) [ teniendo en cuenta que t pt ≡ pt ],
pt = h
1−
1
β
1+β
Ã
1
1+β
i
(t mt −k) + c
β
B −1 (1 + β)
!t
(48)
,
en donde c es una constante arbitraria. Por otro lado, según (c), se tiene que
Ã
∞
β
1 X
pt =
1 + β i=0 1 + β
!i
Ã
Ã
1+β
B (t mt −k) + c
β
∞
β
1 X
⇒ pt =
1 + β i=0 1 + β
−i
!i
Ã
!t
1+β
(t mt+i −k) + c
β
⇒
!t
.
(49)
De nuevo, se observa que las soluciones, dependiendo del valor que tome c, son
múltiples. En concreto, obtendríamos la solución obtenida en el apartado anterior
5.1 para el caso particular de que c fuera igual a cero.
18
Resulta sencillo comprobar que (49) es, efectivamente, solución de pt en la
ecuación (32.bis). En efecto, dado (49), obtenga la solución para pt+1 , posteriormente obtenga t pt+1 y sustituya la expresión así obtenida junto a pt , según (49), en
(32.bis) y observará cómo, efectivamente, ésta se satisface.
Una vez obtenida la solución para pt , la obtención de la producción de equilibrio
resulta inmediata.
5.3
Coeficientes indeterminados
En este apartado resolveremos (32) mediante la técnica de los coeficientes indeterminados. Teníamos, pues, que
pt =
1
(mt − kβ t pt+1 ).
1+β
En primer lugar, se trata de proponer una solución de prueba. Dada nuestra
“experiencia” para estas alturas podemos aventurarnos a suponer que la solución
dependerá de k, de mt , y de t mt+i para i desde 1 hasta infinito, además de una
posible burbuja, bt . Es decir, la solución para pt tendrá el siguiente aspecto
pt = Π0 + Π1 k + Π2 mt +
∞
X
Ψj t mt+j + bt .
(50)
j=1
El objetivo es encontrar, precisamente, los coeficientes Π0 , Π1 , Π2 y Ψj .
Si la solución de prueba (50) es cierta, entonces se tendrá que, adelantando un
período y tomando expectativas,
t pt+1
= Π0 + Π1 k + Π2t mt+1 +
∞
X
Ψj t mt+1+j + t bt+1 .
(51)
j=1
Sustituyendo (51) en (32) y reagrupando términos se tendrá que
"
#
βΠ1
βΠ0
−1
pt =
+
+
k+
1+β
1+β 1+β
+
∞
βΠ2
β X
β
1
Ψj t mt+1+j +
mt +
t mt+1 +
t bt+1 .
1+β
1+β
1 + β j=1
1+β
(52)
Igualando el término constante y los coeficientes de k, mt , y t mt+i en (50) y (52),
se tiene que Π0 = 0, Π1 = −1, Π2 = 1/(1 + β), Ψ1 = β/(1 + β)2 , y, en general,
Ψj = β j /(1 + β)j+1 para j ≥ 2. Comparando los coeficientes de la burbuja se tiene
bt =
β
t bt+1 ,
1+β
19
que, lógicamente, coincide con lo obtenido en (43).De este modo la solución es la
obtenida mediante los dos métodos de resolución anteriormente vistos.
5.4
Un proceso concreto para la oferta monetaria
Si suponemos que la oferta monetaria sigue el siguiente proceso ya visto en el
apartado 3.3
mt = mt−1 + θ + $t ,
entonces se tendrá que t mt+i = mt + iθ. En efecto, adelantando mt para sucesivos períodos, se tendrá que t mt+i = mt + iθ, pues t $t+i = 0, i ≥ 1. Por tanto,
sustituyendo en la solución para pt (tras haber eliminado la burbuja, se tendrá
Ã
∞
β
1 X
pt = −k +
1 + β i=0 1 + β
!i
Ã
de donde7
(mt + iθ) =
∞
β
θ X
= mt − k +
1 + β i=0 1 + β
!i
pt = mt − k + θβ.
i,
(53)
(54)
Y una vez obtenido pt , podemos sustituir en la demanda agregada para obtener
la solución para yt
yt = k − θβ.
(55)
Obsérvese que en este caso el componente perfectamente anticipado de la política
monetaria -la tasa de crecimiento de la oferta monetaria θ- sí tiene efecto sobre el
nivel de producción. Ello implica que la política monetaria tiene efectos permanentes
sobre la producción, contrariamente a lo que ocurría cuando la especificación para
la oferta de Lucas era la ecuación (12) en lugar de (31).
Ejercicio: el modelo de hiperinflación de Cagan
Suponga una situación en la que la demanda de saldos reales depende únicamente de la tasa de inflación esperada, y en la que el mercado de dinero estuviera
7
Pista: Demuestre previamente que
P∞ ³
i=0
20
β
1+β
´i
i = (1 + β)β.
continuamente en equilibrio. Expresando las variables en logaritmos, se tendría que
la condición de equilibrio en el mercado de dinero sería
mt − pt = a − b(t pt+1 − pt ), a, b > 0.
(56)
(a) ¿Cómo justificaría la anterior especificación de la condición de equilibrio en
el mercado de saldos reales?
(b) Obtenga el precio de equilibrio por los tres métodos que acabamos de ver.
Ã
∞
b
1 X
pt = −a +
1 + b i=0 1 + b
!i
Ã
1+b
t mt+i + c
b
!t
(c) Suponga que la oferta monetaria fuera constante e igual a m. ¿Cuál sería,
entonces, el precio de equilibrio?
Referencias
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21
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K. Brunner y A. Meltzer (eds.), The Phillips Curve and Labor Markets,
Carnegie-Rochester Conference Series on Pu-blic Policy 1, Amsterdam:
North-Holland, reimpreso en Lucas, R. E. (1981), Studies in Business
Cycle Theory, Cambridge: The MIT Press, pp. 104-130.
[11] Lucas, R. Jr. (1983), “Expectations and the Neutrality of Money.
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[13] Muth, J. (1960), “Optimal Properties of Exponentially Weighted Forecasts”, Journal of the American Statistics Association, 55, pp. 299-306.
[14] Muth, J. (1961), “Rational Expectations and the Theory of Price
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castellano: “Expectativas racionales y teoría de los movimientos de precios”, Revista Española de Economía (1979), Julio-Septiembre, pp. 123148.
[15] Novales, A. y C. Sebastián (1999), Análisis Macroeconómico I,
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[16] Romer, D. (1996), Advanced Macroeconomics, McGraw Hill.
[17] Sargent, T. (1987), Macroeconomic Theory, 2nd edition. Academic
Press.
[18] Taylor, J. B. (1979), “Staggered Wage Setting in a Macroeconomic
Model”, American Economic Review, Papers and Proceedings, 69, pp.
108-113.
22