A. Relaciones vectoriales. A.1. Vectores unitarios. ~ux , ~uy , ~uz ~uρ , ~uϕ , ~uz ~ur , ~uθ , ~uϕ − coordenadas rectangulares (constantes) − coordenadas cilı́ndricas (no constantes, salvo ~uz ) − coordenadas esféricas (no constantes) A.2. Transformaciones de coordenadas. x = ρ cos ϕ = r sen θ cos ϕ y = ρ sen ϕ = r sen θ sen ϕ z = r√cos θ ρ = x2 + y 2 = r sen θ ϕ =√ tan−1 (y/x) √ r = x2 +√ y 2 + z 2 = ρ2 + z 2 θ = tan−1 ( x2 + y 2 /z) = tan−1 (ρ/z) A.3. Transformaciones de las componentes coordenadas. Ax = = Ay = = Az = Aρ = = Aϕ = Ar = = Aθ = = Aρ cos ϕ − Aϕ sen ϕ Ar sen θ cos ϕ + Aθ cos θ cos ϕ − Aϕ sen ϕ Aρ sen ϕ + Aϕ cos ϕ Ar sen θ sin ϕ + Aθ cos θ sen ϕ + Aϕ cos ϕ Ar cos θ − Aθ sen θ Ax cos ϕ + Ay sen ϕ Ar sen θ + Aθ cos θ −Ax sen ϕ + Ay cos ϕ Ax sen θ cos ϕ + Ay sen θ sen ϕ + Az cos θ Aρ sen θ + Az cos θ Ax cos θ cos ϕ + Ay cos θ sen ϕ − Az sen θ Aρ cos θ − Az sen θ A.4. Elementos diferenciales de longitud. ux dx + ~uy dy + ~uz dz ~ d~l = ~uρ dρ + ~uϕ ρdϕ + ~uz dz ~ur dr + ~uθ rdθ + ~uϕ r sen θdϕ A.5. Elementos diferenciales de superficie. ux dy dz + ~uy dx dz + ~uz dx dy ~ d~s = ~uρ ρ dϕ dz + ~uϕ dρ dz + ~uz ρ dρ dϕ ~ur r2 sen θ dθ dϕ + ~uθ r sen θ dr dϕ + ~uϕ r dr dθ A.6. Elementos diferenciales de volumen. dx dy dz dv = ρ dρ dϕ dz 2 r dr sen θ dθ dϕ 22 A.7. Operaciones vectoriales – coordenadas rectangulares. ~ = ~ux ∂α + ~uy ∂α + ~uz ∂α ∇α ∂x ∂y ∂z ~ ·A ~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ∇ ∂x ∂y ∂z ! à ! à à ~ ×A ~ = ~ux ∂Az − ∂Ay + ~uy ∂Ax − ∂Az + ~uz ∂Ay − ∂Ax ∇ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂2α ∂2α ∂2α ~ · ∇α ~ + 2 + 2 ≡∇ ∇2 α = ∂x2 ∂y ∂z ~ = ~ux ∇2 Ax + ~uy ∇2 Ay + ~uz ∇2 Az ≡ ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ −∇ ~ × (∇ ~ × A) ~ ∇2 A ! A.8. Operaciones vectoriales – coordenadas cilı́ndricas. ~ = ~uρ ∂α + ~uϕ 1 ∂α + ~uz ∂α ∇α ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ~ ·A ~ = 1 ∂ρAρ + 1 ∂Aϕ + ∂Az ∇ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ! ! à ! à à ∂ρA 1 ∂A ∂A ∂A ∂A 1 ∂A ϕ ρ z ϕ z ρ ~ ×A ~ = ~uρ ∇ + ~uϕ + ~uz − − − ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂ϕ à ! 1 ∂ ∂α 1 ∂2α ∂2α ∇ α= ρ + 2 2+ 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 2 A.9. Operaciones vectoriales – coordenadas esféricas. ∂α 1 ∂α 1 ∂α ~ ∇α = ~ur + ~uθ + ~uϕ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ ´ ³ 1 ∂ 1 ∂Aϕ ~ ·A ~ = 1 ∂ r 2 Ar + ( sen θAθ ) + ∇ 2 r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ à ∂ ∂Aθ ~ ×A ~ = ~ur 1 ∇ (Aϕ sen θ) − r sen θ ∂θ ∂ϕ à ! 1 ∂(rAθ ) ∂Ar − + ~uϕ r ∂r ∂θ à ! à ! 1 + ~uθ r à 1 ∂Ar ∂(rAϕ ) − sen θ ∂ϕ ∂r ! ! 1 ∂ 1 ∂α 1 ∂ ∂2α 2 ∂α 2 ∇α = 2 r + 2 sen θ + 2 r ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen 2 θ ∂ϕ2 " à !# 2 ∂Aϕ ∂Aθ 2~ 2 + ∇ A = ~ur ∇ Ar − 2 Ar + cot θAθ + cosec θ r ∂ϕ ∂θ " à !# 1 ∂Ar ∂Aϕ + ~uθ ∇2 Aθ − 2 cosec 2 θAθ − 2 + 2 cot θ cosec θ r ∂θ ∂ϕ !# " à 1 ∂Aθ ∂Ar 2 2 + ~uϕ ∇ Aϕ − 2 cosec θAϕ − 2 cosec θ − 2 cot θ cosec θ r ∂ϕ ∂ϕ 23 A.10. Operaciones vectoriales – diferenciación. ~ + β) = ∇α ~ + ∇β ~ ∇(α ~ · (A ~ + B) ~ = ∇ ~ ·A ~+∇ ~ ·B ~ ∇ ~ × (A ~ + B) ~ = ∇ ~ ×A ~+∇ ~ ×B ~ ∇ ~ ~ + β ∇α ~ ∇(αβ) = α∇β ~ · (αA) ~ = α∇ ~ ·A ~+A ~ · ∇α ~ ∇ ~ × (αA) ~ = α(∇ ~ × A) ~ −A ~ × ∇α ~ ∇ ~ · (A ~ × B) ~ = B ~ · (∇ ~ × A) ~ −A ~ · (∇ ~ × B) ~ ∇ ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ −∇ ~ × (∇ ~ × A) ~ ∇2 A ~ × (α∇β) ~ ~ × ∇β ~ ∇ = ∇α ~ × ∇α ~ ∇ = 0 ~ · (∇ ~ × A) ~ = 0 ∇ ~ × (A ~ × B) ~ = A( ~ ∇ ~ · B) ~ + (B ~ · ∇) ~ A ~ − B( ~ ∇ ~ · A) ~ − (A ~ · ∇) ~ B ~ ∇ A.11. Operaciones vectoriales – integración. ZZZ Z Z ~ ×A ~ · d~s = ∇ S ZZZ V V S I S ~ · d~l A l ZZ ~ × Ad ~ 3r = − ° A ~ × d~s ∇ ZZZ Z Z ZZ ~ · d~s ~ · Ad ~ 3r = ° A ∇ V ZZ S ~ 3 r = ° αd~s ∇αd ~ ~un × ∇αds = I l S αd~l B. Fórmulas útiles B.1. Integrales de uso más frecuente. Z dx x √ = (a2 + x2 )3/2 a2 a 2 + x 2 Z √ √ xdx a2 + x 2 = a2 + x 2 ; 24 Z ; Z √ −1 xdx √ = (a2 + x2 )3/2 a2 + x 2 √ dx a2 + x 2 ) = ln (x + a2 + x 2 Z √ x2 dx −x √ = + ln (x + a2 + x 2 ) (a2 + x2 )3/2 a2 + x 2 ; Z adx x = tan−1 2 +x a a2 B.2. Desarrollos más utilizados. (1 + x)α = 1 + αx + α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3 x + x + ... 2! 3! √ 1 x3 x 2 2 + ... ln (x + a + x ) = ln a + − a 3! a3 25