Álgebra del operador nabla Operadores de primer orden ∇φ = Gradiente: Divergencia: ∇·A = ∂φ ∂φ ∂φ ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z Rotacional: ∇∧A = ∂Az ∂Ay ux + − ∂y ∂z ∂Ax ∂Az uy + − ∂z ∂x ∂Ay ∂Ax uz − ∂x ∂y Aplicación sobre productos ∇(φψ) ∇ · (φA) ∇ ∧ (φA) ∇ · (A ∧ B) ∇ ∧ (A ∧ B) ∇(A · B) = = = = = = ψ ∇φ + φ ∇ψ ∇φ · A + φ ∇ · A ∇φ ∧ A + φ ∇ ∧ A (∇ ∧ A) · B − (∇ ∧ B) · A A(∇ · B) + (B · ∇)A − B(∇ · A) − (A · ∇)B A ∧ (∇ ∧ B) + (A · ∇)B + B ∧ (∇ ∧ A) + (B · ∇)A Operadores de segundo orden ∇ · (∇φ) = ∇2 φ = ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z (Laplaciano) ∇ ∧ (∇φ) = 0 ∇ · (∇ ∧ A) = 0 ∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A Identidades de Green 1a identidad:∇ · (φ∇ψ) = ∇φ · ∇ψ + φ∇2 ψ 2a identidad:∇ · (φ∇ψ − ψ∇φ) = φ∇2 ψ − ψ∇2 φ Resumen de fórmulas de coordenadas curvilı́neas ortogonales x = ρ cos ϕ = r sen θ cos ϕ x2 + y 2 = ρ = r sen θ y =ϕ= arctg x y = ρ sen ϕ = r sen θ sen ϕ z= z = r cos θ ϕ x2 + y 2 + z 2 = ρ2 + z 2 = r ρ x2 + y 2 = arctg =θ arctg z z = z = r cos θ z Diferencial de longitud: dr = h1 dq1 u1 + h2 dq2 u2 + h3 dq3 u3 dr = dxux + dy uy + dzuz dr = dρ uρ + ρ dϕ uϕ + dzuz dr = drur + r dθ uθ + r sen θ dϕ uϕ arctg y x = ϕ Diferencial de volumen: dτ = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 dτ = dx dy dz dτ = ρ dρ dϕ dz dτ = r2 sen θ dr dθ dϕ =ϕ Vector de posición: r = xux + y uy + zuz r = ρ uρ + zuz r = rur hx = 1 hρ = 1 hr = 1 Factores de escala: ∂r hi = ∂qi Delta de Dirac: δ(q1 − q1 )δ(q2 − q2 )δ(q3 − q3 ) h1 h2 h3 δ(r − r ) = δ(x − x )δ(y − y )δ(z − z ) hy = 1 hϕ = ρ hθ = r hz = 1 hz = 1 hϕ = r sen θ δ(r − r ) = δ(ρ − ρ )δ(ϕ − ϕ )δ(z − z ) ρ δ(r − r ) = δ(r − r )δ(θ − θ )δ(ϕ − ϕ ) r2 sen θ δ(r − r ) = Gradiente: ux = cos ϕuρ − sen ϕuϕ = sen θ cos ϕur + cos θ cos ϕuθ − sen ϕuϕ uy = sen ϕuρ + cos ϕuϕ = sen θ sen ϕur + cos θ sen ϕuθ + cos ϕuϕ uz = uz = cos θur − sen θuθ sen θ cos ϕux + sen θ sen ϕuy + cos θuz = sen θuρ + cos θuz = ur cos θ cos ϕux + cos θ sen ϕuy − sen θuz = cos θuρ − sen θuz = uθ − sen ϕux + cos ϕuy = uϕ = uϕ Vectores unitarios: 1 ∂r ui = hi ∂qi cos ϕux + sen ϕuy = uρ = sen θur + cos θuθ − sen ϕux + cos ϕuy = uϕ = uϕ uz = uz = cos θur − sen θuθ ∇φ = 1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ u1 + u2 + u3 h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3 ∇φ = ∇φ = ∂φ ∂φ ∂φ ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z ∂φ 1 ∂φ ∂φ uρ + uϕ + uz ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ ur + uθ + uϕ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ ∂Az ∂Ax ∂Ay ∂Ay ∂Az ∂Ax − − − ∇∧A= ux + uy + uz ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 1 ∂Az ∂Aρ ∂Aϕ ∂Az 1 ∂(ρAϕ ) ∂Aρ − − − ∇∧A= uρ + uϕ + uz ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂ϕ ∂(sen θAϕ ) ∂Aθ 1 ∂Ar ∂(rAϕ ) 1 1 1 ∂(rAθ ) ∂Ar − − − ∇∧A= ur + uθ + uϕ r sen θ ∂θ ∂ϕ r sen θ ∂ϕ ∂r r ∂r ∂θ ∇φ = Rotacional: h1 u1 h2 u2 ∂ 1 ∂ ∇∧A = h1 h2 h3 ∂q1 ∂q2 h A h A 1 ∇·A= 1 h1 h2 h3 1 2 3 3 Divergencia: ∂(A1 h2 h3 ) ∂(h1 A2 h3 ) ∂(h1 h2 A3 ) + + ∂q1 ∂q2 ∂q3 ∇·A= ∇·A= ∇·A= 2 h3 u3 ∂ ∂q3 h A ∂Ay ∂Az ∂Ax + + ∂x ∂y ∂z ∂Az 1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aϕ + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1 ∂(sen θAθ ) 1 ∂Aϕ 1 ∂(r2 Ar ) + + 2 r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ ∇2 φ = 1 h1 h2 h3 ∂ ∂q1 Laplaciano: h2 h3 ∂φ h1 h3 ∂φ h1 h2 ∂φ ∂ ∂ + + h1 ∂q1 ∂q2 h2 ∂q2 ∂q3 h3 ∂q3 ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z 1 ∂ ∂ 2φ ∂φ 1 ∂ 2φ ∇2 φ = + 2 ρ + 2 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂ 2φ ∂φ 1 ∂ 1 ∂φ 1 ∇2 φ = 2 r2 + 2 sen θ + 2 2 r ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen θ ∂ϕ2 ∇2 φ =