6 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema 6.

6 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE.
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Resolución de algunos ejemplos y ejercicios
del tema 6.
6.1
Ejemplos.
Ejemplo 36 La variable aleatoria X representa el número de caras menos el
número de cruces en 3 tiradas de una moneda que está trucada de manera que
es dos veces más probable que salga cara que cruz.
a) Determinar el espacio muestral asociado al lanzamiento de 3 monedas.
b) Asignar a cada punto muestral el valor de la variable X.
c) Obtener la función de probabilidad de X.
Respuestas:
a) Indicaremos “c” para cara y “+” para cruz. El espacio muestral es
Ω = {ω1 = (c, c, c), ω2 = (c, c, +), ω3 = (c, +, c), ω4 = (+, c, c), ω5 = (c, +, +), ω6 =
(+, c, +), ω7 = (+, +, c), ω8 = (+, +, +)}.
b) Asignamos a cada punto muestral un valor de X:
X(ω1 ) = 3,
X(ω2 ) = X(ω3 ) = X(ω4 ) = 1,
X(ω5 ) = X(ω6 ) = X(ω7 ) = −1,
X(ω8 ) = −3.
c) La función de probabilidad es:






f (x) =





1/27
2/9
4/9
8/27
0
si x = −3,
si x = −1,
si x = 1,
si x = 3,
en otro caso.
Ejemplo 37 Obtener la función de distribución de la v.a. del ejemplo 36.
Respuesta: La función de distribución de X es:

0
si x < −3,




 1/27 si − 3 ≤ x < −1,
7/27
si − 1 ≤ x < 1,
F (x) =


si 1 ≤ x < 3,
 19/27


1
si x ≥ 3.
Ejemplo 41 Una variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad
de probabilidad
½
(1 + x2 )/12, si x ∈ (0, 3),
f (x) =
0,
si x ∈
/ (0, 3).
Calculad:
a) la función de distribución de X,
b) las probabilidades P (1 < X < 2) y P (X < 1),
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6 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE.
c) la esperanza y varianza de X,
d) la probabilidad P (|X − E(X)| ≥ 1) y comparadla con la cota que se obtendrı́a mediante la desigualdad de Chebychev.
Respuestas: a) Calculamos la función de distribución de X:
Z x
f (t) dt,
F (x) = P (X ≤ x) = P (X ∈ (−∞, x]) =
−∞
es decir,

 0,
(x + x3 /3)/12,
F (x) =

1,
si x < 0,
si 0 ≤ x < 3,
si x ≥ 3.
b) Calculamos las probabilidades P (1 < X < 2) y P (X < 1):
P (1 < X < 2) =
Z
2
f (x) dx =
1
P (X < 1) =
Z
Z
2
1
f (x) dx =
Z
0
0 dx +
Z
1
(1 + x2 )/12 dx = 0.111.
0
−∞
−∞
(1 + x2 )/12 dx = 0.278,
1
c) Calculamos la esperanza y varianza de X:
E(X) =
E(X 2 ) =
Z
+∞
x f (x) dx =
−∞
Z
Z
+∞
x2 f (x) dx =
−∞
0
x 0 dx +
−∞
Z
Z
3
x (1 + x2 )/12 dx +
0
0
x2 0 dx +
−∞
Z
Z
+∞
x 0 dx = 2.0625.
3
3
x2 (1 + x2 )/12 dx +
0
Z
+∞
x2 0 dx = 4.8,
3
y por tanto, var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 4.8 − 2.06252 = 0.546.
d) Primero calculamos exactamente la probabilidad P (|X − E(X)| ≥ 1), o bien
utilizando la función de densidad de X o bien su función de distribución.
P (|X − E(X)| ≥ 1)
=
1 − P (|X − E(X)| < 1) = 1 − P (−1 < X − E(X) < 1)
=
1 − P (1.0625 < X < 3.0625) = 1 − P (1.0625 < X < 3)
=
1 − [F (3) − F (1.0625)] = F (1.0625) = 0.1219,
donde hemos tenido en cuenta que E(X) = 2.0625, y que X es una variable
aleatoria continua con función de densidad diferente de cero en el intervalo
(0, 3).
En cambio, mediante la desigualdad de Chebychev obtenemos:
P (|X − E(X)| ≥ 1) ≤
var(X)
= 0.546,
12
que no es falso, pero tampoco es muy preciso. Recordad que esta desigualdad se
utiliza como una aproximación de la probabilidad cuando no se dispone de la ley
de probabilidad de la variable aleatoria.
6 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE.
6.2
24
Ejercicios.
Ejercicio 24 Si X tiene función de distribución

0
si x < −1,




 1/4 si − 1 ≤ x < 1,
1/2
si 1 ≤ x < 3,
F (x) =


3/4
si 3 ≤ x < 5,



1
si x ≥ 5.
hallad:
(a) P (X ≤ 3),
(d) P (X ≥ 1),
(b) P (X = 3),
(c) P (X < 3),
(e) P (−0.4 < X < 4),
(f ) P (X = 5).
Respuestas: La v.a. X toma valores en el conjunto S = {−1, 1, 3, 5} y las
probabilidades que nos piden son:
a) P (X ≤ 3) = F (3) = 3/4,
b) P (X = 3) = P (X ≤ 3) − P (X < 3) = F (3) − F (1) = 3/4 − 1/2 = 1/4,
c) P (X < 3) = F (1) = 1/2,
d) P (X ≥ 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − F (−1) = 1 − 1/4 = 3/4,
e) P (−0.4 < X < 4) = P (X < 4) − P (X ≤ −0.4) = F (3) − F (1) = 3/4 − 1/2 = 1/4,
f ) P (X = 5) = P (X ≤ 5) − P (X < 5) = F (5) − F (3) = 1 − 3/4 = 1/4.
Ejercicio 25 Hallad la función de densidad para una variable aleatoria que
tiene función de distribución

x ≤ 0,
 0,
x, 0 ≤ x ≤ 1,
F (x) =

1,
x≥1
y dibujad su gráfica.
Respuestas: La función de densidad de X se obtiene derivando su función de
distribución, es decir,
½
1, x ∈ [0, 1],
f (x) =
0, x ∈
/ [0, 1].
Ejercicio 26
a) Demostrad que f (x) = 3x2 , x ∈ (0, 1), representa una
función de densidad de una variable aleatoria X.
b) Dibujad esta función de densidad y indicad el área asociada a la probabilidad P (X > 1/2).
c) Calculad la probabilidad P (X > 1/2).
Respuestas: a) Para que f (x) sea una función de densidad debe cumplir:
1) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R y
R +∞
2) −∞ f (x) dx = 1.
Tal y como está definida f (x), el primer apartado se cumple. Veámos que el
segundo también es cierto:
Z 1
Z +∞
¤1
3 x2 dx = x3 0 = 1.
f (x) dx =
−∞
0
6 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE.
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b) y c) El área asociada a la probabilidad P (X > 1/2) es el área que queda bajo
la curva que define f (x), desde x = 1/2 hasta x = 1, que se calcula como:
P (X > 1/2) =
Z
+∞
1/2
f (x) dx =
Z
1
1/2
3 x2 dx = x3
¤1
1/2
= 1 − 1/8 = 7/8.