PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- an = a1 + (n-1)d.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos, excepto el primero,
se obtiene sumando al anterior una constante d, que se denomina diferencia de la progresión.
• TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.Si a1, a2, a3, a4, a5, ..., an-1, an, ...es una progresión aritmética, cuya diferencia es d, se pueden escribir las
siguientes igualdades:
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = a1 + 2d,
a4 = a3 + d = a1 + 3d,
a5 = a4 + d = a1 + 4d,
an = an-1 + d = a1 + (n -1)d.
Es decir:
El término n-ésimo de una progresión aritmética se obtiene sumando al primer término la
diferencia multiplicada por (n -1):
an = a1 + (n-1)d.
Ejemplos:
a) Hallar el octavo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y cuya razón es 5.
Como a1 = 3, d = 5 y n = 8, se tiene:
a5 = a1 + (8 -1)d = 3 + 7.5 = 38.
b) Hallar el primer término de una progresión aritmética que consta de veinte términos, si se sabe que
el último es 83 y que la diferencia es 4.
Como a20 = 83, d = 4 y n = 20, resulta:
83 = a1 + (20 -1) .4 → a1 = 83 -19·4 = 7.
• TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS.Dos términos ap y aq de una sucesión limitada son equidistantes de los extremos cuando el número de
términos que preceden a ap es igual al número de términos que siguen a aq.
En las progresiones aritméticas limitadas los términos equidistantes de los extremos verifican la siguiente
propiedad:
La suma de dos términos de una progresión aritmética limitada, equidistantes de los
términos extremos, es igual a la suma de dichos extremos.
En efecto, en la progresión aritmética limitada, de diferencia d:
÷ a1 , a2, a3, ..., an,
los dos términos ah+1 y an-h son equidistantes de los extremos, ya que:
◘ al término ah+1 le preceden h términos;
◘ al término an-h le siguen h términos;
Aplicando a ambos la fórmula del término general, resulta:
ah + 1 = a1 + (h + 1-1) d = a1 + hd;
an-h = a1 + (n -h -1)d = a1 + (n -1)d -hd.
Sumando miembro a miembro las dos últimas igualdades, se obtiene lo que se desea demostrar:
ah+1 + an-h = (a1 + hd) + [a1 + (n-1)d-hd] = a1 + a1 + (n-1)d = a1 + an.
1
an
Ejemplo:
En la progresión aritmética limitada 3, 7, 11, 15, 19, 23, se verifica:
3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15.
Nota: Cuando una progresión aritmética limitada está formada por un número impar de términos, el
término medio es igual a la semisuma de los términos extremos, ya que es equidistante de los
dos extremos consigo mismo.
• SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICA LIMITADA.Sea la progresión aritmética limitada, de n términos:
÷ a1 , a2, a3, ..., an-2, an-1, an.
Si S representa la suma de todos los términos, se tiene:
S = a1 + a2 + a3 + ...+ an-2 + an-1 + an
Teniendo en cuenta la propiedad conmutativa de la adición:
S = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1.
Sumando miembro a miembro, y en columna, ambas igualdades, resulta:
2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ...+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1).
Los sumandos entre paréntesis corresponden a términos equidistantes de los extremos, cuya
suma, según la propiedad anterior, es a1 + an . Por tanto:
2S= (a1 + an)·n
→ S=
a1 + a
2
⋅n
Es decir:
La suma de los términos de una progresión aritmética limitada es igual a la semisuma de los
términos extremos multiplicada por el número de términos.
Ejemplos:
a) Hallar la suma de los n primeros números naturales.
Como a1 = 1, d = 1, → an = 1 + (n -1)1 = n y n = n, se tiene: S =
1+n
n + n2
⋅n =
2
2
b) Hallar la suma de los n primeros números pares.
Como a1 = 2, d = 2, → an = 2 + (n -1)2 = 2n y n = n, resulta: S =
2 + 2n
⋅ n = n + n2
2
Con las dos fórmulas fundamentales obtenidas para las progresiones aritméticas, se puede establecer el
siguiente sistema:
a n = a1 + (n − 1)d

 S = a1 + a n ⋅ n

2
En él hay cinco variables, a1, an, d, n y S, relacionadas entre sí de tal manera que, si se conocen tres de
ellas, se pueden determinar las dos restantes.
Ejemplo:
En una progresión aritmética limitada, cuyo primer término es 67 y cuya diferencia es -6, la suma de
los términos es 408. ¿Cuántos términos forman la progresión y cuál es el último?
2
Si n indica el número de términos y x el valor del último, se puede escribir el sistema:
x = 67 + (n − 1)(− 6 )

 408 = (67 + x )n

2
Resolviendo el sistema resulta: n= 12 y an=1
Ejercicios
1. Forma una progresión aritmética de ocho términos con los datos de cada apartado:
d) al = 3/2 d = -2;
e) a1 = 3 2 ; d = 2 2
a) a1= 2, d -3, b) a1= 6. d = -2, c) al = ½ d = 4;
2. Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión aritmética. Calcula la diferencia de
la progresión en cada caso:
b) a5 = -10 , al3 = -8; c) a3 = - 5/3 a8 = -5; d) a6 = 3, a14 = -1;
a) al = 23, al7 = 31;
3. Calcula la suma de:
a) los cincuenta primeros números naturales;
b) los veinte primeros números pares;
c) los cuarenta primeros múltiplos de 3;
d) los ciento veinte primeros números impares;
e) los múltiplos de 5 menores que 180;
f) los doce primeros múltiplos de 7;
g) los veinticinco primeros múltiplos de 9;
h) los múltiplos de 6 comprendidos entre 100 y 1000;
4. Resuelve los problemas siguientes, cuyos datos e incógnitas corresponden a progresiones aritméticas:
a) Dados al = 4, d = 2 y n = 8, halla an y S;
b) Dados al = 3, an = 21 y S = 120, calcula d y n;
c) Dados al = 23, d = -2 y S = 140, averigua an y n;
d) Dados an = 20, d = 5 y S = 20, halla al y n;
e) Dados al = 20, d = 2 y S = 780, determina an y n;
f) Dados al = 1, d = 2 y S = 7 744, halla an y n;
g) Dados an = 56, d = 3 y S = 516, calcula al y n.
5.
6.
7.
8.
Dada la progresión aritmética 9, ..., 162, de 52 términos, calcula d y S.
Dada la progresión aritmética 2,4, 6, 8, l0, ..., de 100 términos, averigua an y S.
Dada la progresión aritmética 0,4; 0,6; 0,8; ...; de 50 términos, determina an y S.
La suma de los términos segundo y noveno de una progresión aritmética es -8 y la suma de los términos
quinto y décimo es -8/3. Halla el primer término.
9. La suma de los términos tercero y cuarto de una progresión aritmética es 12 y el sexto término es l. Forma
la progresión, sabiendo que tiene seis términos.
10. En una progresión aritmética la suma de los términos primero y noveno es 6. El término undécimo excede
al octavo en 2 unidades. Halla la diferencia de la progresión.
11. En una progresión aritmética la suma de los términos primero y segundo es -51 y la suma del tercero y del
cuarto es 9. Forma la progresión, sabiendo que tiene cinco términos.
12. La suma de tres números en progresión aritmética es 12 y su producto es 63. Averigua esos números.
13. La suma de tres números en progresión aritmética es 18 y su producto es 162. Calcula esos números.
14. Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, cuya suma es 32 años. El mayor tiene 6
años más que el menor. Averigua los años de los cuatro hermanos.
15. La suma de tres números que forman progresión aritmética es 9 y la suma de sus cuadrados es 35. Halla
los tres números.
3
16. En una progresión aritmética, cuyo primer término es 3, la razón entre el noveno término y el cuarto es
igual a la razón entre el decimosexto y el séptimo. Forma la progresión.
17. Calcula los términos quinto y sexto de una progresión aritmética en la que el octavo término es el
cuádruple del primero, sabiendo que la suma de los ocho primeros términos es 140.
++++++++++++++++++++++++++++++
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos, excepto el
primero, es igual al anterior multiplicado por una constante r, que se denomina razón de la
progresión.
Ejemplos:
a) La sucesión 1, 2, 4, 8, 16, ...es una progresión geométrica ilimitada de razón r = 2.
b) La sucesión 2, -2, 2, -2, 2, -2, ...es una progresión geométrica ilimitada de razón r = -1.
c) Los números 4, -2, 1, -~, + forman una progresión geométrica limitada de razón r = -1/2.
Cuando la razón de una progresión geométrica es positiva, todos los términos tienen el mismo signo; cuando
es negativa, los términos tienen alternativamente signo positivo y negativo (o viceversa).
• TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.Si a1, a2, a3, a4, a5, ..., an-1, an, ...es una progresión geométrica de razón r, se pueden escribir las
igualdades siguientes:
a2 = a1·r,
a3 = a2 ·r = a1· r2,
a4 = a3·r = a1·r3,
a5 = a4·r = a1 ·r4 ,
………………..
an = an-1·r = a1rn-1.
Es decir:
El término n-ésimo de una progresión geométrica se obtiene multiplicando el primer término por la
razón elevada al exponente (n -1):
a n = a1 ⋅ r n − 1
• TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS.El producto de dos términos de una progresión geométrica limitada, equidistantes de los términos
extremos, es igual al producto de dichos extremos.
En efecto, en una progresión geométrica limitada, de razón r: los dos términos ah + 1 y an-h son equidistantes
de los extremos, ya que al término ah+1 le preceden h términos y al término an-h le siguen h términos.
Aplicando a ambos la fórmula del término general, resulta:
a h +1 = a1 ⋅ r (h +1)−1 = a1 ⋅ r h
a n − h = a1 ⋅ r (n −h )−1 = a1 .r (n −1) − h = a1 ·r n −1 : r − h = a n ⋅ r −h
Multiplicando miembro a miembro las dos últimas igualdades, se obtiene lo que se desea demostrar:
(
)
ah+1· an- h = (a1rh). (an ·r-h) = a1 .an
Ejemplo:
En la progresión geométrica limitada 1, 2, 4, 8, 16, 32, se verifica: 1·32=2·16=4·.8.
Nota: Cuando una progresión geométrica limitada está formada por un número impar de términos, el
término medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los términos extremos, ya que es
equidistante de los dos extremos consigo mismo.
4
• PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA LIMITADA.Sea la progresión geométrica limitada, de n términos:
a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an
Si P representa el producto de todos los términos, se tiene:
P = a1 · a2· a3 · ….. · an-2 · an-1 · an
O también, por la propiedad conmutativa de la multiplicación:
P = an· an-1 · an-2· … · a3· a2· a1
Multiplicando miembro a miembro, y en columna, ambas igualdades, resulta:
P2 = (a1· .an.)(a2· an-1).(a3· an-2)(an-2 · a3)·….· (an-1· a2)(an · a1)
Los factores entre paréntesis corresponden a términos equidistantes de los extremos, cuyo
producto, según la propiedad anterior, es a1· an . Por tanto:
P2 = (a1· an)n
⇒P=
(a1 ⋅ an )n
Es decir:
El producto de los términos de una progresión geométrica limitada es igual a la raíz cuadrada del
producto de los extremos elevado a un exponente igual al número de términos.
Ejemplos:
1. Halla el producto de las n primeras potencias (de exponente natural) de b.
Como a1 = b, r = b, an = b·bn-1 = bn y n = n, resulta:
P=
(b ⋅·b )
n n
(1 + n )n
=b
2
2. Calcula el producto de los cinco primeros términos de cada una de las siguientes progresiones
geométricas:
2 4 8
d) 2 2 , 8, 16 2 , ...
, ....
a) 2, 6, 18, ...;
b) 5, 20, 80, ...;
c) , ,
3 9 27
• SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA LIMITADA.Sea la progresión geométrica limitada, de n términos y de razón r, escrita en función del primer término y
de la razón:
a1, a1r, a1r2, ……., a1rn-3, a1rn-2, a1rn-1
Si S es la suma de sus términos, se tiene:
S = a1 + a1r + a1r2 + ...+ a1rn-3 + a1rn-2 + a1rn-1.
Multiplicando los dos miembros de la igualdad por r, resulta:
Sr = a1r + a1r2 + a1r3 + ...+ a1rn-2 + a1rn-1 + a1rn.
Restando de esta última igualdad la primera, se obtiene:
Sr-S=a1rn-a1 ⇒ S(r-1)=a1(rn-1) ⇒ S =
a1 (r n − 1)
r −1
5
Fórmula que permite calcular la suma de los términos de una progresión geométrica limitada, conociendo el
primer término, la razón y el número de términos.
a n r n − a1
Teniendo en cuenta que an = a1r , se puede escribir: ⇒ S =
r −1
n-1
Fórmula que permite hallar la suma de los términos de una progresión geométrica limitada, conociendo el
primer término y el último yl a razón.
Ejemplos:
a) Hallar la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica:
8 4
9
, , 2, 3, , ....
9 3
2
Respuesta: S =
58025
576
• SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ILIMITADA.Sea la progresión geométrica ilimitada de razón r, escrita en función del primer término y de la razón:
a1, a1r, a1r2, ……., a1rn, …..
La suma de sus n primeros términos se puede calcular por:
a r n − a1
a − a1r n
a
rn
Sn = 1
⇒ Sn = 1
⇒ S n = 1 − a1
r −1
1−r
1−r
1−r
Cuando n crece indefinidamente, en el cálculo de la suma Sn pueden darse tres casos distintos, según el valor
de la razón r:
1. Si la razón, en valor absoluto, es mayor que la unidad ( r > 1 ), rn crece indefinidamente en valor absoluto
y el valor absoluto de la suma será mayor que cualquier número K, por grande que sea. Es decir, la suma
tiende a más o menos infinito.
2. Si la razón, en valor absoluto, es menor que la unidad ( I rl < 1), el valor absoluto de rn decrece
indefinidamente y se hace menor que cualquier número ε > 0, por pequeño que sea. Es decir, rn tiende a
cero, con lo que el segundo sumando de la última fórmula se anula y la suma queda:
a
S= 1
r −1
Por tanto:
La suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada decreciente es igual al primer
término dividido por (1 -r).
3. Si la razón, en valor absoluto, es igual a la unidad (Irl = 1), hay que considerar dos posibilidades:
a) Que r = 1, con lo que la suma tiende a más o meno infinito, según sea positivo o negativo el
signo de a1.
b) Que r = -1 con lo que la suma es igual a a1 o a cero según n sea impar o par
EJERCICIOS
1. Calcula los términos que se indican en las siguientes progresiones geométricas:
a) 1,2,4,8, 16,...,a12; b) 1,3,9,27,81,...,a15: c) 1,4, 16,64,256, ..., a10;
2. El sexto término de una progresión geométrica es 972 y la razón es 3. Halla el primer término.
3. ¿Cuál es el noveno término de una progresión geométrica si el primero es 9 y la razón es1/3?
6
4.
¿Cuál es el séptimo término de una progresión geométrica cuyo primer término es
1
y cuya
46656
razon es 6?
5. ¿Cuál es el sexto término de una progresión geométrica cuyo primer término es 0,73 y cuya razón
es 0,01?
6. Calcula la suma de los:
a) seis primeros términos de la progresión geométrica 6, 12, 24, ...;
81 27 9
,
, , ...;
b) siete primeros términos de la progresión geométrica:
10 10 10
c) cinco primeros términos de la progresión geometnca: 1, (1+n), (1+n)2 , ….
d) las diez primeras potencias (de exponente natural) de 1/2.
7. Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión geométrica. Calcula las
incógnitas que se indican en cada uno de ellos:
a) al = 3, r = 4 y n = 5, halla an y S;
b) n = 6, r = 4 y S = 2730, calcula al y an;
7
1
d) a n =
, r = y n = 8; halla a1 y S
c) al = 12, r = 1,2 y n = 8, averigua an y S;
125
5
e) r = 2, n = 7 y S = 635, determina al y an; f) r = 4, n = 6 y S = 1365, halla al y an;
g) al = 3, r = 2 y S = 765, calcula n y an
8. Halla la suma de los términos de cada una de las siguientes progresiones geométricas ilimitadas:
a) 3, 1, 1/3, 1/9, …; b) 6,3, 3/2, 3/4, ….; c) 1, 1/10, 1/100, 1/1000, ….;
7