álgebra y geometría analítica - UTN - FRLP

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Trabajo Práctico Nº 2
Números Complejos
Cursada 2014
Desarrollo Temático de la Unidad
El número complejo. La unidad imaginaria: sus potencias. Forma binómica de un
complejo. Operaciones. Complejo conjugado. Sistema de representación polar.
Transformación entre los sistemas cartesiano y polar. Forma polar o trigonométrica de
los complejos: producto, potencia (Fórmula de De Moivre) y cociente. Raíz n-ésima de
un complejo. Aplicaciones.
Ejercitación a desarrollar en el aula:
1.- Representar los siguientes números complejos e indicar cuáles son reales,
imaginarios e imaginarios puros.
a) 3 – 4i
b) 5
c) 0
d) 2i
2.- Resolver las siguientes operaciones
a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) =
b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) =
c) (3 + 2i).(4 – 2i) =
d) (2 + 3i).(5 – 6i) =
e) (–i + 1).(3 – 2i).(1 + 3i) =
f) (2 + 4 i) / (4 – 2i) =
g) (1 – 4i) / ( 3 + i) =
3.- Dado el Z hallar Z (Hallar el conjugado)
a) z  3  4i
b) z  3i
c) z  2
4.- Escribe en forma polar los siguientes números complejos:
a) z=1 + i
b) z=i
c) z=–1 + i
d) z=5 – 12i
e) z=3i
f) z=–5
5.- Resolver:
6
a) 1  i  =
c)
e)
3
1=
5
2i =
b)  1  2i  =
8
d)
e)
3
3
2i =
2i =
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Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Nº 2 – Números Complejos
Los siguientes ejercicios deben ser realizados por los alumnos
1.- Representa gráficamente los siguientes números complejos indicando cuáles son
reales, cuáles imaginario y, de estos, cuáles son imaginarios puros:
a) 5 – 3i
c) –5i
b) + 5 i
d) 7
e) 3i
g) –1 – i
f) 0
h) –7
2.- Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 3 – 5i
c) –1 – 2i
e) 5
g) 2i
b) 5 + 2i
d) –2 + 3i
f) 0
h) –5i
3.- Dados los siguientes números complejos:
z3  2  3i ;
z1  2  3i ;
z 2  3  4i ;
z 4  5i
calcular:
a) z 2  z 2  z3
b) z 4  z3  z 2 
2z
c) 1  z 2
z3
4.- Siendo Z1  (2,3) ; Z 2  (5,2) ; Z 3  (3,2) efectuar las siguientes operaciones,
dando el resultado del complejo Z como para ordenado:
2
a) Z1  Z 2
b) Z1  Z 2
c) 2Z1  4Z 2
Z
Z  Z2
d) 1
e) (2Z 3  2Z 2 ).Z1
f) 1
Z3
Z2
5.- Siendo Z1  2  3i ; Z 2  4  i ; Z 3  i . Efectuar las siguientes operaciones, en forma
binómica:
a) Z1  2Z 2
d)
Z2  Z3
Z 2 
2
1
b) Z 2  Z 3
2
c) 4Z 3  2Z 2
e) (Z1  Z 2 ).Z 3
f)
Z3
Z2
6.- Demostrar las siguientes propiedades, con Z1  a  bi y Z 2  c  di
a) Z1  Z1
b) Z1  Z 2  Z1  Z 2
c) Z1  Z 2  Z1  Z 2
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d) Z1  Z1  Z1
2
e) Z1  Z1  2 Re( Z1 )
f) Z1  Z1  2 Im(Z1 )
Z  Z
g)  1   1
 Z2  Z2
7.- Expresar en forma polar o trigonométrica
b) Z  12  2i
d) Z   2i
a) Z  1 3i
c) Z  1  i
8.- Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 5 (/6) rad
b) 2135º
c) 2 495º
d) 3240º
e) 5 180º
f) 4 90º
9.- Calcular aplicando la formula de Moivre

a) 1  i 
b)  5  15i
c) Z  1  i
d) Z   2i
5

6
10.- Efectuar la multiplicación, la división y la potenciación en forma trigonométrica de:
a) Z1  Z 2
Z1  4(cos 60º isen60º )
Z1
con
2
Z 2  2(cos15º isen15º )
Z 2 
Z
c) 1
Z2
11.- Calcular i4; i8; i6; i23; i11420.
Teniendo en cuenta que i=(0,1); i2=(0,1). (0,1)=(0.0-1.1)=-1
b)
12.- Hallar en forma trigonométrica las raíces tercera y cuarta respectivamente de los
complejos z1  2  3i ; z 2  3  4i ; z3  2  3i .
13.- Hallar en forma trigonométrica las potencias tercera y cuarta respectivamente de
los complejos z1  2  3i ; z 2  3  4i .
14.- Calcular y graficar.
a) siendo Z  1 3i calcular 3 Z .
b) siendo Z  2  3i calcular 4 Z .
c) siendo Z  4i calcular 3 Z .
d) siendo Z  2 calcular 5 Z .
e) siendo Z  2  2i calcular Z .
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15.- Resuelve las ecuaciones:
a) x4 + 1 = 0
b) x6 + 64 = 0
a) x2 + 4 = 0
b) x2 + 6x + 10 = 0
c) 3x2 + 27 = 0
d) 3x2 – 27 = 0
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