Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 1 TEMA 6 – LOS NÚMEROS COMPLEJOS OPERAR CON COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA EJERCICIO 1 : Calcula y representa gráficamente la solución que obtengas: 4 2i i 5 i 30 5 i 5i 9 2 3i 5i 6 2 i a) b) c) d) 1 i 1 2i 1 i 2i Solución: a) b) c) d) 4 2i i 5 4i 2i 2 4i 2 2 4i 2 4i 1 i 2 2i 4i 4i 2 2 2i 4i 4 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 1 i 2 6 2i 6 2i 3i 2 2 2 4 2i i 5i 6 2 i 5 1 2 i 5 2 i 5 2 i 1 2i 5 2 4i i 2i 2 1 2i 1 2i 1 2i 1 2i 1 2i 1 4i 2 5 2 4i i 2 5 4 3i 4 3i 1 4 5 i 30 5 i 15 1 5 i 5 i 1 i 5 5i i i 2 5 5i i 1 6 4i 6 4i 3 2i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2 2 2 1 i 2 5i 9 2 3i 5i 2 3i 10i 15i 2 10i 15 15 10i 15 10i 2 i 30 15i 20i 10i 2 2 i 2 i 2i 2i 2i 2i 2i 4 i2 30 15i 20i 10 20 35i 20 35i 4 7i 4 1 5 5 5 Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 2 PASAR DE BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA. OPUESTO Y CONJUGADO EJERCICIO 2 : Dado el número complejo z 3 i: a Represéntalo gráficamente y exprésalo en forma polar. b Obtén su opuesto y su conjugado. Solución: a Forma polar: 3 1 2 z 2 3 1 3 3 tg 3 1 4 2 330 (pues está en el 4.º cuadrante) Por tanto: z 2 330 b) Opuesto z 3 i Conjugado z 3 i EJERCICIO 3 a) Expresa en forma binómica el número complejo z 4135 y represéntalo gráficamente. b Obtén el opuesto y el conjugado de z. Solución: 2 2 2 2 2 2 i a) z 4135 4 cos 135 i sen 135 4 i 2 2 b) Opuesto z 2 2 2 2i Conjugado z 2 2 2 2 i 1 i EJERCICIO 4 : Halla el módulo y el argumento de 1 i 4 Solución: Expresamos 1 i y 1 i en forma polar: 12 1 2 1 i tg 1 1 1 1 i tg 12 12 1 1 1 1 1 2 315 (pues está en el 4º cuadrante) 1 1 2 45 (pues está en el 1er cuadrante) 4 1 i Por tanto: 1 i 4 2 315 1270 2 45 1 4 1080 10 1 Módulo 1 y Argumento 0. Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 3 OPERACIONES EN FORMA POLAR EJERCICIO 5 : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es 1 i. Halla el valor de z. Solución: Si 1 i es una raíz octava de z, entonces: z 1 i 8 Expresamos 1 i en forma polar: 1 i tg 12 12 1 1 1 1 1 2 135 (pues está en el 2.º cuadrante) 2 16 8 8 Por tanto: z 1 i 135 1080 16 0 16 EJERCICIO 6 : El producto de dos números complejos es 2 2 75 .Sabiendo que uno de los números es z 1 i, halla el otro número. Solución: z w 2 2 75 z 1 i Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que: Expresamos z en forma polar: z 12 12 tg 1 1 1 Luego z w 1 1 2 45 (pues está en el primer cuadrante) 2 45 y, por tanto: 3 1 2 30 2 cos 30 i sen 30 2 i 2 2 2 2 75 2 45 3 i Es decir: w 230 EJERCICIO 7 : Calcula e interpreta gráficamente las soluciones: 3 3 i 27i Solución: Expresamos 27i en forma polar: 27i 27 270 Así: 3 27i 3 27 270 3 27 270 360 k con k 0,1, 2 3 k 0 3 27 90 3 90 k 1 3 210 k 2 3 330 Las tres raíces son: 3 90 ; 3 210 ; 3 330 Los afijos de las tres raíces cúbicas ocupan los vértices de un triángulo equilátero. EJERCICIO 8 : Halla 5 1 e interpreta gráficamente las soluciones. Solución: 5 1 5 1180 1180 360 k 136 72k ; k 0,1, 2, 3, 4 Las cinco raices son: 136 ; 1108 ; 1180 ; 1252 ; 1324 5 Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 4 Los afijos de las raíces quintas ocupan los vértices de un pentágono regular. EJERCICIO 9 : Halla un número complejo, z, sabiendo que una de sus raíces quintas es 2 2i. Solución: 5 z 2 2i Expresamos 2 2i en forma polar: 2 2i 2 2 2 2 2 1 2 Por tanto: tg 5 z 2 2i 44 315 8 2 5 8 (pues está en el 4.º cuadrante) 5 3 315 315 215 1 575 2 7 2 135 128 2 135 128 2 cos 135 isen 135 2 2 128 2 i 128 128i Es decir: z 128 2 135 128 128i 2 2 4 EJERCICIO 10 : Calcula: 81 Solución: 4 81 4 81180 3 180 360 k 3 45 90 k ; k 0, 1, 2, 3 Las cuatro raíces son: 3 45 ; 3135 ; 3 225 ; 3 315 4 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN FORMA COMPLEJA EJERCICIO 11 : Resuelve las ecuaciones: a) z2 4z 5 0 b) z3 8 0 c) x2 4i x 5 0 d) z3 64 0 Solución: 2 a) z 4z 5 0 z 4 16 20 2 4 4 4 2i 2 i Hay dos soluciones: z1 2 i ; z 2 2 i 2 2 b) z3 8 0 z3 8 z 3 8 3 8180 2 c) x2 4i x 5 0 x 4i 16i 2 20 2 Hay dos soluciones: z1 1 2i ; z2 1 2i d) z 3 64 0 z 3 64 180 360 k 3 2 60 120 k ; k 0,1, 2 2 60 ; 4i 16 20 4i 4 4i 2 2i 1 2 2 2 z 3 64 3 64180 z 4 180 360 k 4 60 120 k ; 3 Las tres raíces son: 4 60 ; 4180 ; 4 300 2180 ; 2 300 2i 1 1 2i 2i 1 1 2i k 0, 1, 2