especificación, estimación y validación de modelos ari

TEMA 3
MODELOS UNIVARIANTES LINEALES
Motivación
 El proceso de construcción de un modelo univariante ARIMA se
basa en un procedimiento iterativo en el que el conocimiento de las
propiedades teóricas de los diferentes procesos así como la
observación e interpretación de la series son importantes.
 La teoría económica no juega un papel relevante en la especificación
de estos modelos. Sin embargo, las conclusiones que se extraen de
estos modelos pueden ser útiles para pensar en términos
económicos.
Por ejemplo, la especificación de modelos ARIMA puede dar
respuesta a este tipo de preguntas:
¿Existe una tasa de inflación de equilibrio en una determinada
economía?
¿Cuáles son las características del ciclo económico?
¿De qué forma podemos proyectar las ventas futuras de una
determinada empresa?
Estructura del tema
3.1. La metodología Box-Jenkins.
3.2. Especificación inicial
3.2.1. Contrastes de raíces unitarias.
a) Contraste Dickey-Fuller.
b) Contraste de raíces estacionales.
3.2.2. Análisis de correlogramas
3.3. Estimación.
3.4. Valoración de modelos
3.4.1. Contrastes de hipótesis sobre los coeficientes.
3.4.2. Análisis de residuos
3.4.3. Contrastes respecto a modelos alternativos.
Importante
 Cuando se trabaja con datos reales debe tenerse en
cuenta que ningún modelo es verdadero. Pero
algunos son útiles.
 Esto significa que el modelo que finalmente
seleccionemos debe cumplir ciertas propiedades
estadísticas para que sea correcto pero al mismo
tiempo antes debe compararse con diferentes
modelos posibles.
 Esta comparación debe hacerse de forma que tenga
sentido. Nunca proponer un modelo en el que no
creemos.
3.1. La metodología Box-Jenkins
Pasos en la construcción del modelo
1. Determinar la transformación estacionaria de la
serie.
2. Analizar el correlograma para determinar el modelo
apropiado para la transformación estacionaria de la
serie.
3. Estimar los parámetros del modelo.
4. Diagnóstico del modelo para comprobar que el
modelo está bien especificado.
5. Basado en el paso 4 proponer y estimar estructuras
alternativas que puedan compararse con la
especificación inicial.
6. Una vez escogida la especificación óptima utilizar el
modelo para extraer conclusiones económicas o para
predecir.
3.2. Especificación inicial
Serie del Indice de Producción Industrial (IPI) en
España
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
1975
1980
1985
1990
1995
IPI
2000
2005
2010
¿Qué observamos?
 ¿Tendencia?
 ¿Estacionalidad?
 ¿Heterogeneidad en la varianza?
 ¿ Crisis económica?
¿Qué características se observan en esta serie?
1. Con respecto a la tendencia se observa crecimiento
sistemático aunque con muchas rupturas.
- Crecimiento mas o menos continuado de la
produccion industrial durante todo el periodo de
analisis...
- Excepto por la importante crisis que se inicia
desde finales de 2007 a la actualidad.
2. Se observa que las fluctuaciones del IPI se
incrementan con el nivel de la serie.
3. Estacionalidad muy marcada.
¿Qué transformación debe realizarse en primer
lugar?
 Parece lógico tomar la transformación logarítmica por
dos razones


Para eliminar la heterocedasticidad condicional de la serie.
Para liberarnos de la arbitraria unidad de medida de los números
índices de forma que al tomar primeras diferencias la serie pueda ser
interpretada como tasas de crecimiento.
 La transformación logarítmica rara vez hace daño,
incluso aunque no se observe heterocedasticidad
condicional. Sólo no tomamos transformación
logarítmica cuando la serie esté ya expresada en términos
porcentuales: tipos de interés, tasa de desocupación, etc.
 Pero, ojo!!! La transformación logarítmica no elimina las
propiedades tendenciales de la serie.
Serie del IPI en logaritmos naturales
4.8
4.6
4.4
4.2
4.0
3.8
3.6
1975
1980
1985
1990
1995
LIPI
2000
2005
2010
Correlogramas
¿Qué conclusión extraemos de todo esto?
 La serie muestra crecimiento sistemático durante el
periodo de análisis.
 El lento decrecimiento del correlograma nos indica
que la serie es no estacionaria y necesita al menos
una diferencia regular.
 Ademas, se observa la presencia de una
estacionalidad que por su lento decaimiento hace
pensar que sea no estacionaria.
Tendencia
 Es claramente estocástica y así ocurre en la práctica
totalidad de las series económicas.
 Si la tendencia fuera determinista, ésta debería ser
eliminada tras regresar la serie con una constante y
un término de tendencia.
 Si la tendencia fuera determinista, los residuos de
esa regresión deberían ser estacionarios.
.3
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
-.4
-.5
-.6
1975
1980
1985
1990
1995
RESID
2000
2005
2010
 Los residuos no parecen estacionarios ya que su
retardos estacionales muestran un decrecimiento
muy lento…
 En la proxima seccion veremos como contrastar por
estacionariedad de manera formal
Otros ejemplos
 Tasa de desempleo en España (serie
desestacionalizada).
 IBEX35
Tasa de desempleo
22
20
18
16
14
12
10
8
6
92
94
96
98
00
02
04
DESEMPLEO
06
08
10
Correlograma tasa de desempleo
Tasa de desempleo
 La serie no muestra crecimiento sistematico, pero
tampoco parece tener una media constante.
 El lento decrecimiento del correlograma tambien
deja entrever que se trata de una serie no
estacionaria.
 En este caso, no se requiere la transformacion
logaritmica de la serie puesto que la variable esta
expresada en tasas.
IBEX35
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
94
96
98
00
02
04
IBEX35
06
08
10
IBEX35
 Parece que la serie crece en el tiempo aunque sujeta
a importantes cambios estructurales.
 No parece que tenga un comportamiento estacional.
 Puede resultar conveniente tomar logaritmos de la
serie para interpretar sus primeras diferencias como
rentabilidades bursatiles.
IBEX 35 en logaritmos
10.0
9.6
9.2
8.8
8.4
8.0
7.6
94
96
98
00
02
04
LIBEX35
06
08
10
Correlograma del logaritmo del IBEX 35
Test de raíces unitarias
 Un contraste más formal sobre la necesidad de tomar
primeras diferencias de las series son los contrastes
de raíces unitarias.
 De entre ellos, el más popular es el contraste DickeyFuller.
Supongamos una serie generada por un proceso AR(1)
𝑦𝑡 = 𝑐 + 𝜙𝑦𝑡−1 + 𝑎𝑡
El test DK está diseñado para contrastar la siguiente
hipótesis
𝐻0 : 𝜙 = 1
La serie no es estacionaria
𝐻1 : 𝜙 < 1 La serie es estacionaria
Bajo la nula tenemos un paseo aleatorio con deriva que
explica procesos con crecimiento sistemático.
- Incluimos una constante en el modelo ya que
comparamos con la alternativa de estacionariedad para
lo que la media debe ser constante y no
necesariamente cero.
- Es un contraste unilateral.
Por razones numéricas, el contraste
se basa en la estimación MCO de la
Siguiente ecuación
∆𝑦𝑡 = 𝑐 + (𝜙 − 1)𝑦𝑡−1 + 𝑎𝑡
∆𝑦𝑡 = 𝑐 + 𝜙 ∗ 𝑦𝑡−1 + 𝑎𝑡
Las hipótesis son ahora
𝐻0 : 𝜙 ∗ = 0
𝐻1 : 𝜙 ∗ < 0
El estadístico t se obtiene de la forma habitual. Sin
embargo, su distribución
asintótica bajo la hipótesis nula debe obtenerse
numéricamente al no seguir
una distribución standard.
Contraste DF
 El contraste debe ser completado incluyendo

suficientes retardos.

Elementos deterministas tales como tendencia, dummies estacionales,
etc.
 Pero, los valores críticos de este contraste pueden ser
alterados con la inclusión de elementos deterministas.
 En el caso de raices estacionales, el contraste DF puede
detectar la presencia de no estacionariedad si se incluyen
sufientes retardos. Existen tests especificos para contrastar
la presencia de estacionalidad no estacionaria, pero no
seran objeto de analisis en este curso. Debemos guiarnos
por la informacion que proporciona la inspeccion de
graficos y correlogramas asi como tests DF standard.
La selección del modelo se realiza utilizando algún
criterio de información
a) Suma de cuadrados residual corregida por los grados de
libertad:
Sc
2

T
T k
T
 at / T 
2
t 1
1 T
2
at / T

1  v t 1
donde:
v  k / T.
v es un parámetro de penalización.
b) AIC (Criterio de información de Akaike)
T
 A  exp( 2v) at 2 / T
t 1
c) SIC (Criterio de información de Scharz)
S  T
T
(v)
a
t 1
2
t
/T
Test DF para el IPI en logaritmos
Test DF para los residuos de un modelo de
tendencia determinista para el logaritmo del
IPI
 Tanto el análisis gráfico, como los correlogramas ,
como los contrastes de raíces unitarias sugieren que la
serie no es estacionaria.
 La inspeccion del gráfico y el correlograma indican que
existe estacionalidad de caracter no estacionario.
 El hecho de que los residuos del modelo con tendencia
determinista no sean estacionarios es una clara
indicacion de que el modelo que genera la serie no
tiene tendencia determinista. En las otras dos series
ocurre igual aunque no se mostraran los contrastes por
un proposito de brevedad.
Serie log IPI en diferencias anuales
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
-.4
1975
1980
1985
1990
1995
D12LIPI
2000
2005
2010
Serie log IPI en diferencias anuales
Serie log IPI en diferencias anuales
Serie de desempleo (niveles)
Serie de desempleo (primeras diferencias)
Desempleo
 La serie de desempleo en niveles no es estacionaria.
 Tras tomar una diferencia, la serie es estacionaria si
consideramos un nivel de significacion del 5% pero
seguiria sin ser estacionaria si considerasemos un
nivel de significacion del 1%.
 Que hacer???
 En general en mucho mas arriesgado considerar
como estacionaria una serie que no es estacionaria
que considerar como no estacionaria una serie que es
estacionaria.
 Si una serie es estacionaria y la sobrediferenciamos
 Pequena perdida de eficiencia en la estimacion.
 La varianza de los errores de prediccion son mayores
 Si estimamos un modelo para una serie no
estacionaria


El modelo no es robusto y no puede adaptarse a valores
futuros.
El error de prediccion crece con el horizonte temporal y las
varianzas estan subestimadas.
 Por esto, en caso de duda preferimos
sobrediferenciar.
 Sin embargo, en nuestro caso particular, no parece
logico suponer que el crecimiento de la tasa de
desempleo no es estable.
 El hecho de que exista un cambio estructural tan
fuerte producto de la crisis economica afecta a la
potencia del test.
Logaritmo del IBEX35
Logaritmo del IBEX35 (primeras
diferencias)
IBEX35
 El indice bursatil IBEX35 no es estacionario.
 Pero, la rentabilidad mensual del IBEX35 si es
estacionaria de acuerdo al test DF.
Test de raíces estacionales
 ¿Qué hacer cuando la serie tiene estacionalidad?

El test Dickey-Fuller habitual puede considerarse para contrastar la
presencia de raíces unitarias en series con estacionalidad siempre y
cuando incluyamos un número de retardos suficiente en la especificación
del test.
 Sin embargo, en este tipo de series nuestra preocupación no
es tanto si debemos tomar una diferencia regular sino saber si
la estacionalidad es estocástica y por lo tanto debemos tomar
una diferencia estacional para transformarla en estacionaria.

Necesitamos por lo tanto otro tipo de test que de respuesta a esta
pregunta.
Test de raíces estacionales
Una posible estrategia se basa en una regresión del tipo:
∆𝑠 𝑥𝑡 = 𝑐 + 𝜙𝑥𝑡−𝑠 + 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 + 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
donde la hipótesis nula es ahora que la serie requiere una raíz estacional para transformarse en estacionaria
𝐻0 : 𝜙 = 0
mientras la alternativa es que la serie es ya estacionaria sin necesidad de transformarla
𝐻1 : 𝜙 < 0
Ojo! Este contraste no lo realiza Eviews automáticamente por lo que deberíamos plantear nosotros mismos la regresión. Los valores críticos no son
los habituales y no coinciden con los del contraste Dickey-Fuller.
Existe un problema adicional: muchas series estacionales requieren dos diferencias, una regular y una estacional, para transformarse en
estacionarias. Necesitamos por lo tanto un contraste más general.
Test de raíces estacionales
Por lo tanto tenemos que un contraste sobre la presencia de una raíz unitaria regular para la serie 𝑥𝑡
estaría basado en la regresión
∆𝑥𝑡 = 𝑐 + 𝜙𝑥𝑡−1 + 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 + 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 (1)
donde la hipótesis nula implica que la serie necesita al menos una diferencia regular para transformarse en
estacionaria
𝐻0 : 𝜙 = 0
Por otro lado el contraste para la existencia de una raíz unitaria estacional estaría basado en la regresión
∆𝑠 𝑥𝑡 = 𝑐 + 𝜙𝑥𝑡−𝑠 + 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 + 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 (2)
donde la hipótesis nula implica que la serie necesita al menos una diferencia estacional para transformarse
en estacionaria.
𝐻0 : 𝜙 = 0
Test de raíces estacionales
Combinando los contrastes (1) y (2) es posible construir una regresión
que permita contrastar la presencia de una raíz regular, una raíz regular y
una estacional o ambas. En concreto la regresión auxiliar sería la
siguiente:
∆∆𝑠 𝑥𝑡 = 𝑐 + 𝛽1 ∆𝑠 𝑥𝑡−1 + 𝛽2 ∆𝑥𝑡−𝑠 + 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠
+ 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
donde en los elementos deterministas deberían incluirse dummies
estacionales para considerar en la regresión la posibilidad de
estacionalidad determinista.
Test de raíces estacionales
La primera hipótesis a contrastar sería que la serie necesita dos
diferencias: una regular y una estacional para convertirse en estacionaria.
Esto implica la siguiente hipótesis nula:
𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = 0
Esto puede contrastarse mediante un estadístico F cuyo valor puede
obtenerse de Eviews. Sin embargo, dicho estadístico no sigue la
distribución habitual y necesitamos los valores críticos del contraste.
Test de raíces estacionales
Si esta hipótesis es rechazada existen dos posibilidades a considerar
1) Que la serie requiera solamente una diferencia regular. Esto equivaldría a contrastar la
hipótesis nula:
𝐻0 : 𝛽1 = 0 𝑦 𝛽2 < 0
2) Que la serie requiera solamente una diferencia estacional. Esto equivaldría a
contrastar:
𝐻0 : 𝛽2 = 0 𝑦 𝛽1 < 0
Estos dos contrastes se realizarían utilizando los valores de los estadísticos t asociados a la
estimación de 𝛽1 y 𝛽2 que, de nuevo, no siguen distribuciones standard y sus valores deben
ser tabulados.
Test de raíces estacionales
 Los valores críticos de este test dependen del tipo de
frecuencia, mensual o trimestral, de la serie que
consideramos.
 El siguiente ejemplo realiza este contraste para el
logaritmo de la serie del ipc mensual en España.
Test de raíces estacionales
L_IPC
4.70
4.65
4.60
4.55
4.50
4.45
4.40
4.35
4.30
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
Test de raíces estacionales
Test de raíces estacionales
 Los valores críticos del estadístico F para β1= β2 =0
son 18,34 y 22,93 al 5% y 1% de significación
respectivamente.
 Los valores críticos del estadístico t para β1= 0 son -
2,10 y -2,78 al 5% y 1% de significación
respectivamente.
 Los valores críticos del estadístico t para β2= 0 son -
5,67 y -6,37 al 5% y 1% de significación
respectivamente.
Test de raíces estacionales

Empezamos contrastando conjuntamente β1= β2 =0
Test de raíces estacionales
 El valor del estadístico F es 61.03 que es superior a
los valores críticos mencionados: 18,34 y 22,93.
 Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula de que la
serie necesita una diferencia regular y una estacional
para transformarse en estacionaria.
Test de raíces estacionales
Siguiente hipótesis:
 ¿Necesita la serie sólo una diferencia regular?
El t-estadístico asociado a β1= 0 es 1,72 que no supera los
valores críticos y por lo tanto no podemos rechazar la
hipótesis de que la serie necesita una diferencia regular.
 ¿Necesita la serie sólo una diferencia estacional?
El t-estadístico asociado a β2= 0 es -10,82 que claramente
supera los valores críticos y por lo tanto podemos rechazar la
hipótesis de que la serie necesita una diferencia estacional.
Test de raíces estacionales
Conclusión:
La serie ipc se puede transformar en estacionaria con
una única diferencia regular. Se puede asumir que la
estacionalidad de la serie es determinista y puede ser
capturada mediante variables dummies estacionales.
3.2.2. Análisis de correlogramas
El decrecimiento con estructura del correlograma sugiere
que el DGP es un modelo AR(p) con un orden p
suficientemente alto para capturar el comportamiento
estacional de la serie.
Sin embargo, incluso si la serie no mostrara este
decrecimiento con estructura se podria aproximar
mediante un modelo AR(p) con tal de que fuese
estacionario (representacion dual)
Se puede comenzar proponiendo un AR(p) general y luego
ir eliminando recursivamente parametros no
significativos. De forma similar, puede proceder de
acuerdo a algun criterio de informacion.
 Hemos convertido a la serie log de IPI en
estacionaria tras una diferencia anual.
 Aun asi, existe un importante cambio estructural que
representa la ultima crisis economica y que deberia
ser tratado por medio de intervenciones. Esto es algo
que no vamos a hacer dado que las implicaciones y el
uso del analisis de intervencion se sale del objetivo
del curso.
 Una vez convertida la serie en estacionaria
determinamos el orden autoregresivo haciendo uso
del criterio de Schwarz.
Numero de retardos Valor del criterio de
Schwarz
1
-3.056164
2
-3.277687
3
-3.429341
4
-3.413678
 De acuerdo a la tabla anterior el numero de retardos
optimos es igual a 3.
 La estimacion del modelo se muestra a continuacion.
 El termino constante no resulta significativo por lo que puede
eliminarse de la regresion.
 No incluir termino constante en un modelo para las diferencias
anuales del logaritmo del IPI implica asumir que la tasa de
crecimiento media de esta serie es del 0%.
 Este resultado se debe al fuerte efecto de la crisis economica en
nuestros datos por lo que el modelo estimado debe actualizarse
periodicamente con la llegada de nueva informacion par a ver como
sus diferentes caracteristicas van cambiando.
 En la practica, los analistas economicos utilizan modelos no lineales
que permiten que la serie tenga una dinamica diferente en periodos
de crisis y expansion. Estos modelos son algo mas complejos y no se
cubriran en este curso
Desempleo e IBEX35
 Actuando de forma similar para el desempleo
nacional y el IBEX35
 Para el IBEX35 ningun retardo temporal es
significativo.
 Esto resulta logico dado que el arbitraje impide que
se puede utilizar la informacion pasada de un activo
financiero para predecir su rentabilidad.
 Existen modelizaciones econometricas particulares
para series financieras que pueden estudiarse en
otros cursos de la carrera.
3.3. Estimación
 Los modelos AR pueden estimarse por máxima
verosimilitud asumiendo una distribución concreta
para la serie de interés.
 Aunque las observaciones no son mutuamente
independientes, la verosimilitud puede obtenerse.
 Si consideramos que los valores iniciales son fijos
entonces la máxima verosimilitud coincide con el
estimador MCO.
 Esto es lo que hacen la mayoría de los softwares
econométricos de series temporales: pcgive, E-views,
RATS, CATS, etc.
 Si no suponemos que los datos iniciales son constantes,
el problema de maximización es no lineal y requiere
algoritmos de optimización para llegar al optimo.
 En general, MV condicional es un procedimiento simple
y bastante adecuado si la información que proporcionan
los valores iniciales no es excesivamente valiosa.
3.4. Validación del modelo
3.4.1. Contrastes sobre los parámetros del modelo.
3.4.2. Análisis de los residuos
3.4.3. Comparación con otros modelos alternativos.
* En función de algún criterio de información.
* En función de su desempeño en predicción.
.16
.12
.08
.04
.00
-.04
-.08
-.12
-.16
-.20
1975
1980
1985
1990
1995
RESID
2000
2005
2010
 El correlograma de los residuos muestra estructura
estacional.
 Se prueba con un modelo alternativo incluyendo un
coeficiente AR(12)
 A modo de ilustracion se pueden incluir
intervenciones iterativamente para mejorar la
especificacion.
IBEX35
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
94
96
98
00
02
04
DLIBEX35
06
08
10
1)
Contrastes sobre los coeficientes:
i)
1. Aplique contrastes t a cada uno de los parámetros
ii)
(si el estadístico t es menor que cero no rechace la
hipótesis
iii)
nula y simplifique el modelo eliminando ese parámetro).
2. Mire las raíces del polinomio AR(p)
si alguna está próxima a la unidad se podría fijar a 1.
3. Mire las raíces del polinomio AR(p) para ver
si el sistema se puede simplificar.
1)
Contrastes sobre las innovaciones estimadas:
i)
Si el modelo es correcto los residuos deberían ser ruido blanco.
ii)
Si las innovaciones no son ruido blanco, se debe modificar el modelo
original en el sentido
indicado por los resultados de los contrastes.
iii)
Contrastes de media cero en las innovaciones. Si el modelo no
incluye una constante,
la media de las innovaciones estimadas puede ser significativamente
distinta de cero,
indicando que es preciso modificar la especificación.
H 0 :   0.
t ( ˆ ) 
media
desviación típica
ˆ   / T
Se rechaza
i)
H0
si el estadístico t es mayor que 2 en valor absoluto.
Contraste de ausencia de autocorrelación entre las innovaciones estimadas.
Si las innovaciones
estimadas son ruido blanco, entonces sus autocorrelaciones no deben ser
significativamente
distintas de cero.
H 0 :  a (k )  0.
Contraste Ljung-Box ( Qs  2 )
H 0 :  a (1),  a (2),...,  a ( s  2)  0.
Qs  2   s2 2
Si se rechaza la hipótesis de ausencia de correlación tenemos 2 opciones:
A)
Escoger una de las dudas razonables que quedaron anotadas en la
especificación inicial.
B)
Formular un modelo para los residuos e insertarlo en la especificación inicial.
1) Contrastes respecto a modelos alternativos: Incluso aunque
el modelo inicial haya pasado todos los contrastes sobre los
resultados
de
la
estimación,
este
modelo
puede
ser
insatisfactorio
ya que se basa sólo en una alternativa de las potenciales
especificaciones.

Estime todos los modelos alternativos y escoja el que minimice
algún
criterio de información.

Si no se tienen dudas sobre el modelo inicial pruebe diferentes
alternativas, sustituya p por p+1, q por q+1. Valores estas
alternativas con algún criterio de información.