Funciones iguales casi en todas partes

Funciones iguales casi en todas partes
Objetivos. Estudiar el concepto de funciones iguales casi en todas partes. Estudiar situaciones cuando de ciertas propiedades de integrales se pueden deducir igualdades de
funciones casi en todas partes.
Requisitos. Medida, propiedad subaditiva de la medida, integración,
1. Unión numerable de conjuntos de medida cero (repaso). Sea (X, F, µ) un
espacio de medida y sea (An )n∈N una sucesión en F tal que µ(An ) = 0 para todo n ∈ N.
Entonces
!
[
µ
An = 0.
n∈N
2. Definición (casi en todas partes). Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea P : X →
{0, 1} un predicado. Se dice que P se cumple µ-c.t.p. si
µ x ∈ X : no P (x) = 0.
3. Definición (funciones equivalentes). Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sean
f, g ∈ M(X, F, C) o f, g ∈ M(X, F, R+ ). Se dice que f y g son iguales casi en todas partes
respecto µ si
µ x ∈ X : f (x) 6= g(x) = 0.
µ
Notación: f ∼ g
µ-c.t.p.
o f ====== g.
4. Ejercicio. Para cualquier par de funciones f, g definidas en un conjunto X denotemos
por Nf,g al conjunto de los puntos de X donde f y g no son iguales:
Nf,g := x ∈ X : f (x) 6= g(x) .
Muestre que
Nf,f = ∅,
Ng,f = Nf,g .
Demuestre que para cualesquiera f, g, h se cumple la contención
Nf,g ⊂ Nf,h ∪ Nh,g .
5. Ejercicio. Usando los resultados del ejercicio anterior demuestre que la relación binaria
µ
∼ es una relación de equivalencia.
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Integrales y propiedades que se cumplen casi en todas partes
6. Integrales de funciones iguales casi en todas partes. Sean f, g ∈ M(X, F, R+ ) o
µ
f, g ∈ L1 (X, F, C) tales que f ∼ g. Entonces
Z
Z
f dµ = g dµ.
X
X
7. Sea f ∈ L1 (X, F, R+ ). Entonces f < +∞ c.t.p.
8. Ejercicio. Sea f : X → R+ una función F-medible y sea Y ∈ F tales que
Z
f dµ = 0.
Y
Demuestre que f = 0 casi en todas partes de Y , esto es,
µ {x ∈ X : f (x) > 0} = 0.
R
9. Ejercicio. Sea f ∈ L1 (X, F, µ, R) tal que Y f dµ = 0 para todo Y ∈ F. Demuestre
µ
que f ∼ 0.
R
10. Ejercicio. Sea f ∈ L1 (X, F, µ, C) tal que Y f dµ = 0 para todo Y ∈ F. Demuestre
µ
que f ∼ 0.
11. Sea f ∈ L1 (X, F, µ, C) y
Z
Z
f dµ = |f | dµ.
X
X
µ
Entonces existe un α ∈ C tal que αf ∼ |f |.
Valores de integrales y valores de una función
12. Teorema. Sea µ(X) < +∞, sea f ∈ L1 (X, F, µ, C) y sea S un conjunto cerrado en
C. Supóngase que AY (f ) ∈ S para cada Y ∈ F con µ(Y ) > 0, donde
Z
1
AY (f ) =
f dµ.
µ(Y )
Y
Entonces f (x) ∈ S para casi todos x ∈ X.
13. Sea µ(X) < +∞, sea f ∈ L1 (X, F, µ, C), Supóngase que para cada Y ∈ F,
Z
f dµ ≥ 0.
Y
Entonces f (x) ≥ 0 para casi todos x ∈ X.
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