Álgebra Superior 1 Mat. Frank Patrick Murphy Hernandez Tarea 2 Relaciones y Funciones 1. Sea P el conjunto de todas las proposiciones, se define la siguiente relación, P ∼ Q, si P ⇐⇒ Q es una tautologı́a. Demuestre que la relación es de equivalencia. 2. Sea P/ ∼ la partición inducida por la relación de equivalencia anterior y defı́nase una nueva relación, [P ] ≤ [Q], si P ⇒ Q es una tautologı́a. Demuestre que la relación esta bien definida, es decir, si [P ] = [P 0 ] , [Q] = [Q0 ] y P ⇒ Q , entonces P 0 ⇒ Q0 . 3. Demuestre que P/ ∼ con la relación ≤ es un orden parcial. 4. Demuestre que para [P ], [Q] ∈ P/ ∼ el ı́nfimo esta dado por [P ∧ Q] y el supremo por [P ∨ Q]. 5. Demuestre que P/ ∼ tiene un elemento menor 0̄ y uno mayor 1̄. 6. Demuestre que para [P ] ∈ P/ ∼ existe [Q] ∈ P/ ∼ tal que su ı́nfimo es el 0̄ y su supremo es 1̄. 7. Sea Z el conjunto de los enteros, defı́nase la siguiente relación ∼, x ∼ y, si x − y es par. Demuestre que es una relación de equivalencia y que Z/ ∼= {[0], [1]} . 8. Sea S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 = 1} y defı́nase la siguiente relación ∼, (x, y) = (x0 , y 0 ), si (x, y) = (−x0 , −y 0 ) o (x, y) = (x0 , y 0 ). Demuestre que la relación es de equivalencia. 9. Sean A = {a, b, c, e, f, 1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1), (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (e, 5), (a, c), ( Grafiqué la relación. 10. Sea f : A −→ B una función. Demuestre que si I es un conjunto indicador , {A}i∈I es una familia de subconjuntos de A y {B}i∈I es una familia de subconjuntos de B entonces: T T • f ( i∈I Ai ) ⊆ i∈I f (Ai ) S S • f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai ) S S • f −1 ( i∈I Bi ) = i∈I f −1 (Bi ) T T • f −1 ( i∈I Bi ) = i∈I f −1 (Bi ) 1 2 11. Demuestre que si f : A −→ B es una función inyectiva entonces para todoI conjunto T T indicador y {A}i∈I familia de subconjuntos de A, f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai ). 12. Sean f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊂ B. Demuestre que f f −1 (D) ⊆ D y C ⊆ f −1 f (C). 13. Sean f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊂ B. Demuestre que si f es supreyectiva entonces f f −1 (D) = D y que si f es inyectiva entonces C = f −1 f (C). 14. Sean f : A −→ B y g : B −→ C. Demuestre que si gf es suprayectiva entonces g es suprayectiva y que si gf es inyectiva entonces f es inyectiva. 15. Demuestre que para f : A −→ B son equivalentes: • f es biyectiva. • f tiene inversa derecha e inversa izquierda. • f es cancelable por la izquierda y por la derecha. 16. Demuestre que si f : A −→ B es biyectiva entonces la inversa es única. 17. Sean f, g : N −→ N dadas por f (x) = 2x y g(x) = max{x − 3, 0}. Demuestre que f es inyectiva dando una infinidad de inversas izquierdas y que g es suprayectiva dando una infinidad de inversas derechas. 18. Sea A un conjunto. Demuestre |2A | = |P(A)|. 19. Sean A, B, C y D conjuntos tales que |A| = |C| y |B| = |D|. Demuestre que = |C D |. |AB | 20. Demuestre que la función f : N −→ Z dada por f (n) = (−1)n d n2 e es biyectiva.