MATEMATICAS. BC2 TEMA 8: Derivabilidad

MATEMATICAS. BC2
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Calcula la derivada explicita o implícita de las siguie ntes funcio nes:
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TEMA 8: Derivabilidad
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Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha
curva e n los que la tangente for ma con el eje OX un ángulo de 45°.
¿Qué velocidad lleva un vehículo que se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto
segundo de su recorrido? (espacio en metros y tie mpo en se gundos)
Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no
comienza su reproducción hasta pasados dos meses. La función que representa la población de
la colonia al variar el tie mpo (expresado en meses) vie ne dada por:
1. Verificar que la población es función continua del tie mpo.
2. Calcular la tasa de variación media en los intervalos [0, 2] y [0, 4].
3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.
5.
6.
Hallar el punto en q ue y= |x+2 | no tiene deriva da. Justificar el resulta do dibujando su gráfica .
Hallar los puntos e n que y= |x2−5x+6 | no tie ne derivada. Justificar el r esultado en su gráfica.
7. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:
8.
¿Para qué valores de a es derivable la función:
9. Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
10. Deter minar los valores de a y b para que la función sea derivable:
11. C a l c u l a e l v a l o r d e l a d e r i v a d a
en x = 2.
12. U n a p o b l a c i ó n t i e n e u n c r e c i m i e n t o d a d o p o r l a f u n c i ó n p ( t ) = 5 0 0 0 + 1 0 0 0 t ² , s i e n d o t e l t i e m p o
medido en horas. Se pide:
1. La velocidad media de crecimie nto.
2. La velocidad insta ntánea de crecimiento.
3. La velocidad de crecimie nto insta ntáneo para t0 = 10 horas.
13. Deter minar los valores que debe tomar el pará metro b, para qué las tange nte s a la curva de la
función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
14. Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
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15. Un c uadrado tiene 2 m de lado. Deter mina e n cuánto aume nta el área del cuadrado cua ndo su
lado lo hace en un mm. Calcula el error come tido al usar diferenciale s en lugar de incre mentos.
16. Hallar la variación de volume n en un cubo de arista 20cm, c uando ésta aume nta 0.2 c m.
17. Calcula el error absoluto y relativo co metido en el cálculo del volumen de una esfera de 12.51
mm de diá metro, medido con un instr ume nto q ue aprecia milésima s de centímetro.
18. Si el lugar de
y relativo?
se halla
. ¿Cuáles son las aproximaciones del error absoluto
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
1. Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos:
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Aplicamos la definición de logaritmo:
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Ejercicio 2:
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Ejercicio 3:
Ejercicio 4:
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3.
Ejercicio 5:
La función es continua en toda
.
f'(−2)− =−1; f'(−2)+ =1 No es derivable en: x=−2.
En x = −2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= −2.
Ejercicio 6:
La función es continua en toda
.
f'(2)- = −1f'(2)+ = 1; f'(3)- = −1f'(3)+ = 1
Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x = 2 y x = 3.
En x=2 y en x=3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no es derivable en ellos.
Ejercicio 7:
La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.
Por lo que es continua en pi/2, veamos si también es derivable o no:
Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.
Ejercicio 8:
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Ejercicio 9:
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Ejercicio 10:
Para qué una función sea derivable tiene que ser continua. En este caso la función no es
continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan
continua la función. Por tanto, no existen valores de a y b para los cuales la función sea derivable.
Ejercicio 11:
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Ejercicio 12:
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Ejercicio 13:
Para que sean paralelas las derivadas en x = 1 y x = 2 deben ser iguales: f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3; f'(1) = 3b2 + 2b + 3; f'(2) = 12b2 + 4b + 3;
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3; 9b2 + 2b = 0; SOLUCIONES: b = 0 b = −2/9
Ejercicio 14:
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Ejercicio 15:
Ejercicio 16:
Ejercicio 17:
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Ejercicio 18:
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