CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES GUÍA DE ESTUDIO Este escrito pretende guiar el estudio que se debe hacer sobre series de términos constantes antes de emprender el estudio sobre series de potencias. Deberás tener a mano un libro de Cálculo para consultar los criterios de convergencia. Definición {un }∞n=1 , Dada una sucesión de números reales sucesión construimos una nueva {S n }∞n=1 sumando sus términos de la siguiente forma: S1 = u1 , S 2 = u1 + u 2 , S 3 = u1 + u 2 + u3 , S n = u1 + u 2 + .......u n A esta nueva sucesión la llamamos serie de términos constantes y la notamos: ∞ ∑u n =1 n Como para analizar la convergencia de una sucesión es necesario conocer su término n-esimo y sólo en muy contados casos (por ejemplo, cuáles) es posible encontrar el término n-esimo de {S n }∞n =1 , debemos considerar otro tipo de herramienta que nos permita concluir si una serie converge a algún número real. Repasemos, entonces, algunos de los llamados criterios de convergencia para series de términos constantes. El primero de ellos que consideramos se conoce como la condición necesaria y dice: Si ∞ ∑u n =1 n converge entonces Lim un = 0 n→∞ La forma como se aplica es usando el contrarrecíproco, es decir, Si Lim un ≠ 0 entonces n→∞ ∞ ∑u n =1 n no converge Ejemplos: Verificar que las siguientes series no convergen: 1 ∞ ∞ n ∑ n =1 n + 1 ∑ (− 1) n n =1 Otro resultado útil para analizar convergencia de series es que si tenemos dos series convergentes entonces su suma también lo es. Además, si una de ellas se multiplica por un escalar, la serie resultante también converge. Los siguientes criterios que mencionamos sólo se aplican a series de términos positivos. Los debe consultar y luego, utilizándolos, determinar si las series que se proponen son convergentes. Criterio de comparación Criterio de comparación pasando al límite Criterio de la integral ∞ ∑ n =1 ∞ ∞ n! ∑ n =1 ( 2 n )! 1 n 2 + 4n −1 tan n ∑ 2 n =1 n + 1 ∞ ∞ ∑ n =1 ∞ ln(n) ∑ 2 n =1 n + 2 1 n3 + 1 ∞ 1 n =1 (n + 2) 2 ∑ 3 1 ∑ n(ln(n)) 3 n =2 El otro tipo de serie de términos constantes que se considera, es el de las series alternas. Si an > 0 la serie alterna es de la forma: ∞ ∑ (− 1) a n n =1 n Una condición suficiente para garantizar que una serie alterna es convergente es que {an }∞n=1 sea decreciente ( an ≥ an+1 a partir de cierto n ) y que Lim an = 0 . n→∞ Los criterios decir, que ∞ ∑a n =1 n de la razón y la raíz garantizan convergencia absoluta, es converge. Es claro que convergencia absoluta garantiza convergencia. Cuando una serie converge pero no converge absolutamente se dice que es condicionalmente convergente. El ejemplo típico es: ∞ ∑ (− 1) n =1 n 1 n Determinar convergencia utilizando los criterios de la razón, la raíz y el criterio para determinar la convergencia de series alternas. 2 ∞ ∑ (− 1) n =1 n +1 2n n! ⎛ 2n + 3 ⎞ ⎜ ⎟ ∑ n =1 ⎝ 3n + 2 ⎠ ∞ n ∞ ∑ (− 1) n +1 n=2 ∞ ∑ n =1 −n n! ∞ nn ∑ n =1 n! 1 n(ln(n) ) 2 ∞ 1 ∑n n =1 3 ∞ ∑ (− 1) n =1 n n 2n n ∑1+ n n =1 ∞ 2 3