Cinemática

Cinemática
Ejercicio 3.1. Sea el campo de velocidades de un escurrimiento definido por :
v̄ = x2 yēx + x2 tēy
(3.1)
Se pide:
a. ¿A qué tipo de formalismo corresponde este análisis del escurrimiento, lagrangeano o eulereano?
b. Graficar las lı́neas de corriente que pasan por el origen para t = 0., t = 1. y t = 2.
Ejercicio 3.2. Un campo de velocidades (análisis euleriano) esta dado por u = y − 1 (componente
de la velocidad según el eje x) y v = y − 2 (componente de la velocidad según el eje y). Grafique la
lı́nea de corriente que pasa por el punto (x, y) = (4, 3) y compárela con la lı́nea de emisión que pasa
por dicho punto.
Ejercicio 3.3. Dado el siguiente campo de velocidades:
x
t + t0
v = v0
u =
a. Encontrar la ecuación de la lı́nea de corriente que pasa por el punto (x0 , y0 ) para el tiempo t1 .
b. Hallar la ecuación de la trayectoria para una partı́cula fluida genérica.
c. Determinar la velocidad de la partı́cula en su trayectoria.
d. Determinar la ecuación de la lı́nea de emisión definida por las partı́culas que pasaron por el
punto: (f1 (t0 ), f2 (t0 )) = (1, 1), siendo 0 < t0 < t1 .
a. La ecuación general de la lı́nea de corriente:
dy
dz
dx
=
=
u
v
w
Se aplica para un instante dado t1 y se resuelve reemplazando:
dx
dy
=
x
v0
t1 + t0
Sea (t1 + t0 )v0 = A. Luego:
1
(3.2)
67.18 – Mecánica de Fluidos
A ln(x) = y + C representa las lineas de corriente.
En particular para el punto (x0 , y0 ),:
A ln(x0 ) = y0 + C
se despeja el valor de C que define a la linea de corriente. Y la linea
buscada resulta la curva definida por:
(t1 + t0 )v0 ln(x) = y + A ln(x0 ) − y0
b. La ecuación general de la trayectoria es:
df1
df2
=
= dt
u
v
Reemplazamos a coordenadas de la partı́cula a la velocidad:
f1
t + t0
v = v0
u =
Luego,
df1
f1
t+t0
df2
= dt =⇒ f1 = C1 (t + t0 )
(3.3)
= dt =⇒ f2 = v0 t + C2
v0
La ecuación de trayectoria de una partı́cula (f1 , f2 ) se describe según una coordenada inicial
(ξ1 , ξ2 ) y el tiempo t. Señalamos entonces en forma explı́cita esta dependencia:
ξ1 = f1 (t = 0) → ξ1 = C1 t0
ξ2 = f2 (t = 0) → ξ2 = C2
Reescribimos (3.3) según:
ξ1
(t + t0 )
t0
f2 = v0 t + ξ2
(3.4)
ξ1
f1
df1
=
= C1 =
dt
t0
t + t0
df2
= v0
dt
(3.5)
f1 =
c.
d. Las lı́neas de emisión se forman a partir del conjunto de partı́culas que pasan por una posición
definida, p. ej. (x∗1 , x∗2 ) en un intervalo de tiempo dado t∗ ∈ [0, t1 ]. Podemos pensar que las
partı́culas son marcadas cuando para cierto tiempo t∗ se encuentran en (x∗1 , x∗2 ). Sobre nuestro
ejemplo:
f1 = x∗1 = ξt01 (t∗ + t0 )
f2 = x∗2 = v0 t∗ + ξ2
Notemos que desconocemos las coordenadas iniciales (ξ1 , ξ2 ) pero que a partir de la ecuación
anterior, las podemos identificar.
x∗ t0
ξ1 = ∗ 1
t + t0
ξ2 = x∗2 − v0 t∗
2
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Resta, para obtener las ecuaciones de las lineas de emisión, reemplazar lo anterior como condiciones iniciales en (3.4):
f1 =
x∗1 t0
t∗ +t0
(t + t0 )
t0
f2 = v0 t + x∗2 − v0 t∗
(3.6)
Para un dado tiempo t, sabiendo que t∗ ∈ [0, t1 ] las ecuaciones anteriores describen curvas en
el plano que son las lı́neas de emisión.
Ejercicio 3.4. La boquilla de una manguera se encuentra en (x, y) = (0, h) y oscila con un ángulo
α = α(t). El agua deja la boquilla con una velocidad constante U . Despreciando la fricción entre el
aire y el chorro de agua, se pide determinar:
a. Las componentes de la velocidad de una partı́cula que se encontraba en la boquilla en t = t0 .
b. La trayectoria para esa partı́cula.
c. La lı́nea de emisión para las partı́culas que pasaron por la boquilla entre t = 0 y t = t1 .
d. ¿Qué mostrarı́a una fotografı́a del chorro en t = t1 ?
a. La velocidad de una partı́cula =
~ (u, v), dado que el flujo no está sometido a fricción ni a campos
externos, tiene la forma:
df1
= u = C1
dt
df2
= v = C2 − gt
dt
En la boquilla (f1 = 0, f2 = h) la velocidad vale (U cos[α(t0 )], U sin[α(t0 )]), luego:
u = C1 = U cos[α(t0 )]
v = C2 − gt0 = U sin[α(t0 )] → C2 = U sin[α(t0 )] + gt0
Resumiendo:
u = U cos[α(t0 )]
v = U sin[α(t0 )] + gt0 − gt
(3.7)
(3.8)
b. Integrando las ecuaciones obtenemos las trayectorias (f1 , f2 ):
f1 = U cos[α(t0 )]t + C3
f2 = (U sin[α(t0 )] + gt0 )t −
(3.9)
2
gt
+ C4
2
(3.10)
Podemos identificar a las constantes de integración C3 y C4 observando que para t = 0,
f1 = C3 = ξ1
f2 = C4 = ξ2
donde ξ1 y ξ2 representan las coordenadas iniciales de la partı́cula. La ecuación de trayectoria
nos queda una expresión que depende en forma explı́cita del tiempo y de la posición inicial
~ t).
f~(ξ,
3
67.18 – Mecánica de Fluidos
c. Las lı́neas de emisión las obtenemos determinando a las partı́culas que pasaron por la boquilla
(0, h) en el instante t0 ∈ [t1 , t2 ]. Para ello, identifiquemos la posición inicial ~(ξ) de las partı́culas:
f1 = U cos[α(t0 )]t0 + ξ10 = 0
gt02
f2 = (U sin[α(t )] + gt )t −
+ ξ20 = h
2
Despejamos los valores de ξ1 y ξ2 :
0
0
0
ξ10 = −U cos[α(t0 )]t0
ξ20 = h − (U sin[α(t0 )] + gt0 )t0 +
gt02
2
Reemplazando estas posiciones iniciales particulares, que dependen de t0 ∈ [t1 , t2 ] obtenemos
una particular ecuación de trayectoria:
f1 = U cos[α(t0 )](t − t0 )
f2 = h + (U sin[α(t0 )] + gt0 )(t − t0 ) −
(3.11)
02
2
gt
gt
−
2
2
según (3.12) podemos tomar una foto para el tiempo t = t∗ y las lı́neas de emisión quedan
determinadas por el parámetro t0 , el instante en el cual pasan por la boquilla.
f1 = U cos[α(t0 )](t∗ − t0 )
f2 = h + (U sin[α(t0 )] + gt0 )(t∗ − t0 ) −
(3.12)
gt2∗
2
02
−
gt
2
Véase ejemplo desarrolado en sage / numpy en http://www.sagenb.org/home/pub/2729/
Ejercicio 3.5. Para la siguiente función de corriente ψ = 2xy , ¿Cuál será la velocidad en el punto
(x, y) = (2, 4)?. ¿Cuál será el potencial de velocidad si el escurrimiento es irrotacional?.
Ejercicio 3.6. La cañerı́a mostrada en la figura termina en forma cónica. En dicha zona se pueden
considerar a las lı́neas de corriente como lı́neas radiales que convergen en el punto A. Al mismo tiempo
el módulo de la velocidad en la zona cónica de la cañerı́a se puede aproximar como: V = C/r2 , siendo
C una constante. Al comienzo de la convergencia de la cañerı́a (x = 0) y para la lı́nea de corriente
sobre el eje de la cañerı́a la velocidad vale 2m/s. Se pide: determinar la aceleración del fluido a lo
largo del eje de la cañerı́a en la zona cónica. ¿Cuanto vale la aceleración para x = 0 y x = 0, 3?
Ejercicio 3.7. El movimiento de un fluido es descrito por la trayectoria de sus partı́culas según el
formalismo Lagrangeano por:
f1 = ξ1
ξ2 + ξ3 at ξ2 − ξ3 −at
f2 =
e +
e
2
2
ξ2 + ξ3 at ξ2 − ξ3 −at
f3 =
e −
e
2
2
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a. Mostrar que el determinante del Jacobiano es distinto de cero.
b. Determinar las componentes de la velocidad y la aceleración:
i) En coordenadas materiales (Lagrange)
ii) En coordenadas espaciales (Euler)
Ejercicio 3.8. Para el siguiente campo de velocidades:
ū = 8xēx + 8yēy − 7tēz
a. Clasificar el escurrimiento.
b. Determinar la ecuación de las lı́neas de corriente y dibujar en forma aproximada para t=0.
c. Determinar y clasificar la aceleración del escurrimiento.
Ejercicio 3.9. Conociendo las componentes escalares de la
velocidad del escurrimiento bidimensional de la figura:
u = A.x
v = −A.y
w=0
a. Clasificar el escurrimiento (solenoidal, irrotacional, dependencia con el tiempo).
b. Determinar la ecuación de las lı́neas de corriente.
c. Determinar y clasificar la aceleración del escurrimiento (en función de los términos convectivos,
términos no estacionarios)
a. Campo solenoidal: comprobamos que la divergencia del campo es
∇ · ~u = 0.
Campo irrotacional: el rotor es nulo, ∇ × ~u = 0.
~k
~i ~j ~k ~i
~j
∇ × ~u = u v w = Ax −Ay 0
∂
∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂x
∂y
∂z
El campo no depende explı́citamente de tiempo,
∂x
∂
u
∂t
∂y
∂z
nula,
=0
= 0.
b. La ecuación para las lı́neas de corriente puede resolverse en forma análoga al ejercicio 3.3 o
bien usar el método de la función corriente, dado que el campo cumple ∇ × ~u = 0.
Para ello, recordamos que
∂ψ
∂y
∂ψ
v=−
∂x
u=
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67.18 – Mecánica de Fluidos
Integramos la componente en x del flujo, u:
ψ(x, y) = Axy + C(x)
Y derivamos para despejar la función incógnita C(x):
∂ψ
= Ay + C 0 (x) = −v = Ay
∂x
luego C 0 (x) = 0 =⇒ C(x) = cte.
Resulta ψ(x, y) = Axy + C. Señalemos que los valores que toma la función corriente no tienen
significado fı́sico sino el valor de sus derivadas espaciales. Por ello, podemos fijar arbitrariamente
una valor de C y escribir el resto del campo escalar ψ(x, y) referido a él.
Determinemos por ejemplo, la lı́nea de corriente que pasa por (1, 1). Para ello, reemplazamos:
(x, y) = (1, 1) → ψ(1, 1) = A + C Podı́amos entonces elegir un valor arbitrario de C, por
comodidad, elijamos C = −A. Luego la lı́nea de corriente que pasa por (1, 1) está definida por
la curva
ψ(x, y) = 0 = Axy − A → xy = 1
c. La aceleración la calculamos con la ayuda del operador derivada material. la derivada material
de un campo ϕ(x, t) en un dominio bajo un campo de velocidades u(x, t) se define según:
∂ϕ
Dϕ
=
+ u · ∇ϕ,
Dt
∂t
En el caso de la velocidad, ϕ ≡ u y el primer término representa la aceleración local mientras
que el segundo, la aceleración convectiva del flujo.
En nuestro ejemplo, sólo hay variaciones espaciales, por ello,
∂u ∂u Du
u
Ax2
∂x
∂y
= u · ∇u =
·
=
∂v
∂v
Ay 2
v
Dt
∂x
∂y
Ejercicio 3.10. El escurrimiento de un fluido entre dos cilindros concéntricos de radios R1 y R2 , que
giran alrededor de su eje común con velocidades angulares Ω1 , Ω2 , puede ser descrito por el siguiente
campo de velocidades (en coordenadas cilı́ndricas):
B
v̄ = Ar +
ēθ
(3.13)
r
a. Determinar las constantes A y B aplicando: Vpared = Vf luido .
b. Determinar la aceleración de una partı́cula de fluido.
c. ¿qué ocurre cuando Ω1 = Ω2 ?.
Ejercicio 3.11. Dado un escurrimiento definido en formalismo lagrangiano en la forma:
f1 (t) = ξ1 (1 + bt)
f2 (t) = ξ2
Determinar la aceleración de una partı́cula, directamente y utilizando el formalismo euleriano.
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Ejercicio 3.12. Las componentes de velocidad de un flujo
Couette están dadas por
U
x2
h
= u3 = 0
u1 =
u2
a. Determinar el tensor de velocidad de deformación eij y el tensor de spin Ωij .
b. Usando los tensores calcular la velocidad de deformación de los elementos dx y dx0 .
c. Hallar el cambio material del ángulo entre dx y dx0 .
Ejercicio 3.13. Para un flujo estacionario, el campo de velocidades está dado por
ū = 3x21 x2 ē1 + 2x22 x3 ē2 + x1 x22 ē3
Se pide: calcular en P = (1, 1, 1):
a. Las componentes del tensor de velocidad de deformación eij y el de spin Ωij .
b. Las componentes de la velocidad angular de una partı́cula fluida en P .
c. La velocidad de deformación en las direcciones x1 , x2 , x3 .
d. Los ejes principales de deformación y sus direcciones.
Ejercicio 3.14. Dado el campo de velocidades
u1 = −
u2
=
u3
=
ω
x2 x3
h
ω
x2 x3
h
0
a. Determinar el tensor gradiente de velocidades, el de deformaciones eij y el tensor de spin Ωij .
b. La velocidad angular.
c. Hallar los ejes principales de deformación en P = (2, 2, 2)
d. Hallar la trayectoria de una partı́cula que a t = 0 estaba en P (ξ = (2, 2, 2)).
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