ESTADISTICA ESPANOLA Vol. 37, Núm. 139, 1995, págs. 287 a 304 Distinción entre caos y azar en series ruidosas mediante predicciones locales baricéntricas ( *) por FERNANDO FERNANDEZ RODRIGUEZ Departamento de Econornía Aplicada Universidad de Las Palmas de Gran Canaria JUAN MARTIN GONZALEZ Departamento de Física Universidad de Las Palmas de Gran Canaria RESUMEN En este trabajo los autores contrastan la presencia de caos determinista en diversas series económicas ruidosas analizando las posibilidades de predicción a corto plazo por medio de predicciones locales baricéntricas. Se desarrollan algunos estadístícos con el fin de separar, en una serie «ruidosa», las observaciones de comportamiento determinista de las que muestran comportamiento independiente de las anteriores. Palabras c/ave: caos determinista, predicción, ocurrencias an^logas. Clasificación AMS: 62P20, 90A20, 62M 10. (*) Los autores agradecen su soporte econórnico al Ministerio de Educación español a través del Proyecto DGICYT PB94-0425. f^:;^"T AI)Iti TI( > f•tiF' ^N^ ^I ^1 ?KK 1. INTRODUCCION La teoría del caos determinista ha posibilitado la modelización y prediccibn de muchas series temporales cansideradas tradicionalmente como ruidos de comportamiento puramente aleatorio. Las ciencias aplicadas han prestado recientemente gran interés por el caos determinista porque las trayectorias generadas por determinadas ecuaciones en diferencias no lineales tienen apariencia puramente aleatoria. Dichas trayectorias caóticas resultan indistinguibtes por los métodos lineales clásicos (análisis espectral y funciones de autocovarianza}, de un genuino ruido blanco de naturaleza aleatoria. Tal ocurre, por ejemplo, con la serie temporal generada por la ecuación logística X^ + 1= 4X^ (1 -- Xl), para ^c'o E(0, ^). No obstante, la detección empírica de dinámicas caóticas es un problema extremadamente sutil debido a que la reconstrucción del atractor extraño que origina la dinámica determinista es sumamente sensible a los parámetros usados en los tests no lineales [Chen ( 1992)]. La Economía presenta actualmente mucho interés por las dinámicas caóticas [Medio ( 1992} y Lorenz ( 1993)]. No obstante, el debate entre la existencia de comportarniento aleatorio o caótico es más agudo, si cabe, debido a que la longitud de las seríes disponibles es, por lo general, demasiado pequeña para garantizar la fiabilidad estadística de los tests que suelen usarse para detectar el caos. En Ramsey, Sayers y Rothman (1990), los autores concluyen que los métodos más usuales de detección experimental del caos, tales como la Dimensión de Gorrelación, los exponentes de Lyapunov y la entropía de Kolmogorov, no pueden aplicarse de modo fiable a pequeños grupos de datos tales como los que se utilizan en la Economía. En el presente trabajo desarrollamos un test para contrastar la existencia de comportamiento caótico determinista en una serie temporat y distinguirlo del genuino ruido blanco. Para ello nos basaremos en la siguiente idea: en una serie temporal caótica es posible realizar predicciones a corto plazo a base del estudio de patrones de comportamiento, análogos al presente, ocurridos en el pasado; en el ruido blanco esto es imposible. Gomo aplicación práctica del test tratamos diversas series, de apariencia ruidosa, analizadas ya en la literatura económica por las técnicas más usuales de detección del caos: la serie de parados de Sayers (1986), la de rentabilidades bursátiles de Scheinkman y LeBaron (1989) y la del índice Divisia de Barnet y Chen (1988). Todos los autores nos han ofrecido amablemente sus datos. [)I:^T1N('I()N fNTRF^ C'A()S Y.A"I.AR EN tiF^.RIF^-ti Rl't1N)tiA^ 2. ?K^ DETECCION DEL CAOS DETERMINISTA Y PREDICCION POR OCURRENCIAS ANALOGAS Seá {x,, ..., x„} una serie finita de observaciones escalares que supondremos estacionaria. EI concepto de Espacio de Fases asociado a la serie temporal [Schuster (1988) para una panorámica general] es la base de todo el desarrolla posterior, porque permitirá examinar la evolución de los patrones de comportamiento dentro de la serie. En este esquema, los segmentos formados por d términos consecutivos de la serie temporal se consideran puntos de un espacio vectorial real cuya dimensión es denominada Dimensión de Inmersión (DI = d). Tales puntos se denotarán, a partir de ahora, por: x;d = ( x; , x; _ , , X; _ ^,^ _ ^ ^ } y se flaman, a menudo, d-historias. EI conjunto de todas las d-historias es considerado como e1 espacio de fases de un sistema dinámico d-dimensional, definido por la serie temporal, y reflejará sus propiedades. EI espacio d-dimensional II^d se denomina entonces Espacio de Fases de la serie temporal. EI paradigma caótico establece que, pese a la apariencia ruidosa de la serie original, un ajuste correcto de la dimensión de inmersión d daría lugar a una cornpleja configuración en el espacio de fases canocida como un atractor extraño. Estos atractores, lejos de estar forrnados por puntos distribuidos a! azar, tienen características geométricas y dinámicas deterministas [Schuster (1988)]. La presencia de caos determinista en una serie temporal suele contrastarse por dos procedimientos: el test de Grassberger y Procaccia (1983}, y el test BDS de Brock, Dechet y Scheinkrnan (1987) . Ambos tests se basan en el concepto de Correlación Entera Cd (^), que se define como la probabilidad de que dos puntos del espacio reconstruido se encuentren a una distancia menor que ^: Cd(^)=#{(i,Í)lII Xd-X^dll <£,d<_í,j<_n,i^j}l(na--nd) donde nd = n-(d - 1) es el número de d-historias que pueden considerarse en la muestra de tamaño n y# representa el número de elementos de un conjunto. En el test de Grassberger y Procaccia se define la Dimensión de Correlación como: Dd = lim e--^0 lim n--^^ [log Cd (^) / log {^}] Si al aumentar ^a dimensión de inmersión, la Dimensión de Carrelación se estabiliia en torno a un valor D, para d>_ do, tal comportamiento sería síntarna E^.S"1AUIST^I('A t^.tiNANOE.A de una explícacíón determinista de la serie temporal por medio de un atractor extraño do-dimensional con una dimensión fractal D[Schuster (1988)]. Para un ruido blanco, fa Dimensión de Correlación Dd crecería ilimitadamente al aumentar d sin Ilegar a saturarse. EI test BDS, por otra parte, contrasta la existencia de estructuras potencialmente predecibles dentro de la serie temporal. Si dicha serie es un ruido blanco, la proximidad de dos patrones en una determinada dimensión no condiciona la proximidad de dichos patrones en una dimensión superior; ocurrirá entonces que: lím n-^^ Ca (E) = C, (E)d con probabilidad 1 Brock, Dechet y Scheinkman (1988) demuestran que, bajo la hipótesis nula de ruido blanco para la serie temporal, (Cd (E) - C, (^)d ) n 12 tiene media cero y está normalmente distribuida. Llamando sd (E) a la desviación típica de las correlaciones enteras, el estadíst+co BDS, w, tendró una distribución N(0,1): wd (E) ' (,^d (£1 _ ^1 (E)d 1 n 1/2 ^ Sd (£) ^2] Cuando ^ w^ > 2, podemos rechazar con un 95% de confianza la hipótesis nula de ruido blanco [Brock, Hsieh y Lebaron (1992) para una amplia visión de sus aplicaciones]. Provenzale et al. (1992} han sugerido que la distinción entre caos determinista de baja dimensión y el auténtico ruido blanco no debería basarse solamente en estimaciones de la Dimensión de Correlación o el test BDS y deberían aplicarse otros métodos para analizar series temporales con el fin de extraer tanta información dinámica como sea posible. EI método que usaremos en este trabajo para detectar el determinismo en una serie consiste en analizar, para cada una de las observaciones finales de la serie (en nuestras simulaciones hemos considerado las cien últimas), !as posibilidades de predicción a corto plazo. Con ella pretendemos estudiar si los puntos del espacio de fases reconstruido se comportan de acuerdo al principio de predicción por ocurrencias anólogas. Es decir, tratamos de ver si puntos próximos evolucionan, a corto plazo, con trayectorias simílares dentro del espacio de fases. Nuestro test puede ser considerado, entonces, como un caso particular del test BDS, porque permite analizar separadamente las posibilidades de predicción de los diferentes patrones de comportamienta dentro de una serie temporal. Seguimos igualmente la idea central de Farrner y Sidorowich (1987) o Sugihara y May (1990) al considerar que la posibilidad de hacer predicciones a [)ISTINt'1()N F^N"TitE t'AO.^ Y AI..AR NN Sf^RI^^.S RUI[X)^A:4 291 corto piazo es crucial para detectar la presencia de caos. En esta misma línea, en Bajo, Fernández y Sosvilla ( i 992a, b) se realizaron este tipo de predicciones sobre series de tipos de cambio que mejoran las del camino aleatorio. Con ei fin de separar el comportarníento aleatorio del determinístico no iineal, usaremos varias técnicas no paramétricas de predicción por ocurrencias anáiogas, introducidas ya por Farmer y Sidorowich (1987), y que describimos a continuación: Dada una serie temporal {x^, ..., x„}, un predictor es simplemente una regla para obtener una estimación Xn +^ para la observación siguiente a la última de la serie. La predicción por ocurrencias anáfogas es una técnica de predicción donde los segmentos de abservaciones sucesivas con un comportamiento dinámico similar son empleados para predecir, por extrapolación, el término siguiente al que ocupa el final de la serie. Este término se calcula como algún tipo de promedio de las observaciones siguientes a los segmentos que se utilizan. Como ejemplo más simpie pueden citarse los predictores lineaies autorregresivos, ajustados localmente, del tipó: xn+ 1 = a0 (n) xn + a, (n) xn_, + ... + ad_ 1 (n) Xn_ ^d_ ^^ + b (n) introducidos por Farmer y Sidorowich en (1987). En Gershenfed y Weigend (1994) se encuentra una exposición amplía de este tipo de predicciones. La ocurrencia análoga en un comportamiento dinámico se mide en térrninos de algún concepto métrico dei espacio vectorial real d-dimensional: puntos próximos corresponden a segmentos similares en la serie temporal. La forma rnás común de buscar la ocurrencia análoga a x a consiste en encontrar un determinado número k de puntos x;d del espacio de fases que minimicen la función: Il x;°'--xdll [3] Alternativamente, podemos minimizar cualquiera de las siguientes funciones: ^-- P (x;°', x d) 0 1-- cos (x;d, x d i [4l En Fernández (1992) se establece la equivafencia enire las ocurrencias análogas que se obtienen al utilizar las tres funciones para una serie caótica. Con el fin de medir la calidad de las predicciones, podemos predec'rr sucesivos datos de la serie generando con ello una serie paralela de predicciones que puede ser comparada con la serie original. La calidad predictiva puede ser establecida por medio del estadístico: ^g, E=.STAf)1ST1('A WtiPAN()l.A ^ E(n+ 1) _ ^ Xn+ 1^ xn+ 1 ^ a donde cs es la desviación típica de la serie temporal. Si E(n + 1) > 1, nuestra predicción es peor que la predicción constante dada por la media de la serie. Si E(n + 1) ^ 1, nuestra prediccián es más precisa que la proporcionada por la media. Tales errores permiten la obtención de diversas medidas de volatilidad para series #inancieras [Bajo, Fernández y Sosvilla (1992b); Bajo, Fernández, Mora y Sosvilla (1994)]. 3. PREDICTORES SIMPLICIALES Y BARICENTRICt^S Dada una serie temporal {x^, ..., x„}, vamos a introducir un tipo especial de predictores, por ocurrencias análogas, que nos permitirán realizar nuestro contraste. Los Predictores Simpliciales se construyen de la siguiente forma: tomemos el conjunto de las k d-historias del espacio de fases (vease [1 ]): xdl^ , ..., xdlw [s] que minimizan su distancia con la d-historia final de la serie x d. La predicción zn +^ de x^ +^ se realiza considerando alguna combiriación lineal convexa de las observaciones: [/] t ^^ ..., x^k+ 1 de la serie que siguen a las k d-historias elegidas, es decir: xn+ 1! a, (n) x^^ + 1 + a2 (n) x;2+ ,+... + ak (n^ x^^+ 1 [8] donde se supone que: k [9] ^a;(n)-1 ^_ ^ Los parámetros a; (n ) pueden ser elegidos de muchas formas. La más simple es considerar a; (n) = 1 / k, y en tal caso, por razones geométricas, tal predictor simplicial se Ilama Predictor Baricéntrico xba^, : X^ar1-1/kx^+^+1/kx^+^+...+1/kx^+^ 1 2 k [10] L)IST1N('IUN ENTRF C'AOti Y.A"!_AR FN SF^RIF-^ ftl!ICN)SAti 293 La predicción de los datos está condicionada por dos parémetros que deben ser elegidos a priori, la dimensión de inmersión (DI) y el número de puntos próximos (NPP): z„ + ^ = xn + ^ (DI, NPP). Suelen establecerse cotas superiores e inferiores en el número de puntos práximos (NPP) a la hora de construir predictores locales [Farmer y Sidorowich (1988)]. Debido al carácter loca! de los predictores, la elección de la dimensión de inmersión no debe afectar, en teoria, de forma crucial, a la calidad de las predicciones: en efecto, para series caóticas, el teorema de Takens [Takens (1981)] asegura que si de un sistema dinámico m-dimensional extraemos como observable una única serie temporal, de modo genérico, la dinámica reconstruida por rnedio del espacio de fases I^^d de la serie es equivalente, para d> 2m, a 1a dinámica del sistema original. En la práctica, existe un criterio simpie para determinar tanto una DI como un NPP óptimos. Tal criterio consiste en realizar diversas predicciones de las últimas observaciones de la serie temporal y elegir una DI y un NPP que minirnicen la suma cuadr^tíca de los errores de predicción: m ^, (x^,+ ^ (DI, NPP} -- xn+ i)2 Con el fin de contrastar la hipótesis nula de que la serie temporal es un ruido blanco será necesario demostrar que las observaciones x!^ +^, ..., x1k+ ^ (véase [7]), que se utilizan en el predictor bar^centrico, pueden ser consideradas como realizaciones de variables aleatorias independientes en un proceso estocástico. Consideremos, para ello, un proceso estocóstico discreto dado por una colección de variables aleatorias {X, ,.. ., X„ , .. .} IID, N (o, a), en un espacio de probabilidad (5^2, F, P} tomando valores en el conjunto II^. Sea {^f'^ (w}, ..., X^ (w), ...}, X; (w) = x; E II^^ una realización muestral del proceso. Sea S={xd, d<_ i s n} c I^d, donde x^d representa la d-historia ( x;, x; _ 1, ..., x; _^d_,^), según la notación introducida en [1 ]. Para cada dimensión de inmersión DI = d, definimos una nueva variable aleatoria X^ +, d de !a forma: , X^^ +, d(w) - X^ +,(w) = x^ + ^, donde j minimiza {^^ x d-- xf°' ^^ en S ^ I^d} Las observaciones x^ +,,..., x^ +^ de [7] también pueden ser consideradas 2 h como realizaciones de variables aleatorias X^2 + ^, d,..., X^k+ ^ d, donde d representa la dimensión de inmersión. Para ello, definiremos, de forma análoga: ?94 ES"T.A[)1ST1C'A t^SF'ANOE A ^ X^2 +, d( w) = X^ ^,( w) = x^ t ,, donde j mini miza ^ ^ x d- x1d ^( en S -{x d} ^ I^^°' , y asi sucesivamente. Praposición 1 Las variables aleatorias X^ ^, d , donde i= 1, ,.., k son N(0, cs). Demostración: Haremos la demostración para i= 1; en los casos restantes la situación es anáioga. Tenemos que: P({w: X^^ + , d(w) ^ x}) - P({w: X^ +, (w) <_ x l ^^ x d- x^d ^^ es mínimo}) = P ({w: X^ + , (w) < x}) [12) donde la primera igualdad se sigue por definición de X^, +,, d y la segunda porque las variables aleatorias {X, ,.. ., X,,, ...} son IID. X ^, +,, d y X^ +, tienen, por tanto, la misma función de distribución y entonces X ^^ ♦ ^ d es N(o, a). Proposición 2 Cada una de las variables aleatorias X^ +^, d con r=. 1, ..., k es independiente de la X^ +,, para toda dimens^ón de ^nmers^ón d. Demostración: La construccíón de cada varíable aleatoría X^ + , d se realiza por medio de una restricción métrica relativa a los valores de las variables X1 ( w) = x^ ,..., X^ _ d+^( w) = x^ _ d+ ^, donde siempre ocurre que j< n+ 1. Por lo tanto, como las variables aleatorias {X,, ..., X^ +^, ...} son tID, concluiremos entonces que los eventos {w: ao ^ X^,+ ,, d(w) <_ bo} y{w: a, <_ X^ +^(w) <_ b,} son independientes para toda r y para cada ao, bo, a,, b, . Entonces tendremos para la función de distribución que: F(X ^,+ ^, d^ X^ Xn + 1^ Y ^ = Fx• (X ^,+ 1, d^ x) Fxn+, (x^ +^^ Y) de donde se concluye la independencia. I^ 3} DISTIN(_'ION Et^iRE C:AOS Y A"I.AR I:N SF:RIE:S RUI[X)SAS 295 Proposición 3 Las variables aleatorias X^ +^ d, donde r= 1, ..., k, son independientes entre si. Demostración: Demostraremos la independencia de X^^ ♦, d y X^2 ♦, d; para cualquier otro par de variables, la demostrac^ón es análoga. Teniendo en cuenta que según hemos definido previamente: X^^ ♦, d(w) = x^ +,, donde j minirniza {^^ x°- x!d ^^ en s} X^2+,, d(w) = xl +,, donde j minimiza {^^ xd- x^d () en S- {xd^}} siendo S el conjunto de d-historias de la serie temporal en el espacio de fases. Se sigue, entonces, que las variables aleatorias X^^+,, d y X^2+, d nunca podrán coincidir en ninguna realizac^ón muestral del proceso. Por tanto, de la independencia de las variables X^,..., X„ se concluye la independencia de los sucesos {w: ao <_ X*+, d( w) <_ bo} y{w: a, s X*+, d( w} <_ b} 1 para todo a0 , b, 0 a,1 b 1 ; por tanto, la ^ 'variables X'/^+1,d y X'.^2+1,d ^^ erán inde- pendientes. Los predictores baricéntricos se caracterizan por la siguiente propiedad de mínimo: Proposición 4 Considerando una serie temporal generada a partir de una fiamilia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, el pred'rctor baricéntrico es el predictor local simplicial que minirniza el error cuadrático medio de predicción. Demostracián: Sea x^a+ ^, según [10], la predicción simplicial de la observación x„ ♦ ^, sea {X ^,..., X„ ♦ ^ } la familia de variables aleatorias I I D, con varianza a2, que generan la serie temporal. F.S`TA[)ISTIC'A F^aPANOt,A ^y(j Definimos la variable aleatoria: ^ xn. 1, d ^ a1 (^) x^^+ t, d ♦ ^2 (n) x^^+ 1, d+... + ak (n) X^^+ 1, d Teniendo en cuenta la independencia de las variables en las proposiciones 2 y 3, las siguientes cálculos son inmediatos: ^ Vaf (Xn + 1 k Xn+ t, d) - Var (.ñn + t- j-+ ar ^n) x^ + 1, d) ... r= 1 k k =\/ar(Xn+1)+^OC?(n)Vaf(X^+1 d)=CS2+Q2^a?(n)= r= 1 r= 1 k [^4] =62(1 +^^r (n))-a^ im r= 1 k Si ^ a? (n) está acotada por números m y M, la desviación típica de los r errores crs,m está trivialmente acotada: a^ (1 + /?7^1^2 ^ (Ssim ^ Cf (Í [15] + M)t^2 k a? ( n), Como tenernos que ar ( n )>_ 0, los valores extremos de la función 1 +^ r- 1 k su^eta a la condición ^ a(n) = 1, son ^2 y 1+ 1 (máximo absoluto y mínimo r- t r k , k relativo, respectivamente). Por la convexidad de la función 1+^ a? (n), el mínir= 1 mo local es global y por tanto: Q 1+ ^ _<a11^ k ^a. sim Por otro lado, para predictores baricéntricos es inmediato que: ^ k = Var (Xn + 1 - ^ ^ / k i^ ^ + 1, d ) _ ^ bar = Var (%'^n + 1 - x *ba+ 1 d ) r_ 1 ^ k k =Var(Xn+t}+^1 /k2Var(X^+t,d)=a2+cs2^,1 /k2= r- 1 ^ = a2 (1 + 1 / k) r= 1 [17j DESTIN('1(_)N E;NTRE i'A()S Y AlAR t^N St:RIt:.S RI^tU()SA^ 297 que coincide con ei mínimo absoiuto que toma aS,m, con lo que concluye la demostración. 4. UN TEST DE HIPOTESIS PARA SEPARAR EL COMPORTAMIENTO CAOTICO DEL AZAR EI test de hipótesis que describiremos a continuación permitirá contrastar !a hipótesis nula de ruido bianco frente a la hipótesis alternativa de comportamiento caótico. Mientras qu® el caos será predecible a corto plazo, un genuino ruido blanco deberá ser impredecible. Nuestro método permite contrastar por separado la predecibilidad de cada ObserVaciÓn Xn + y de !a serie formulando varias predicciones baricéntricas con un número fijo k de puntos práximos y con dimensiones de inmersión variando entre d, y dm, verificando que la varianza de los errores baricéntricos de predicción es «pequeña». Esto es, admitiremos que !a observación xn +^ es predecible cu^ndo seamos capaces de predecirla de forma «robusta» en toda una gama de dirnensianes de inmersión. Para establecer nuestro contraste de predecibilidad introduciremos una nueva variable aleatoria: e! error baricéntrico de predicción n £ bart (d, k} _ X bart (d^ k) -- xn + t [18] donde d representa la dimensión de inmersión y k el número de puntas próximos empleados en el predictor baricéntrico. Busquemos la distribución de E ba^t . Proposición 5 La variable aleatoria e ba^t tiene una distribución N(0, a(1 / k+ 1)t^2}. Demastración: n k Dado que E*^^„ + t= ^barn + t (d, f^ - X^ + t =^ 1 / k X*^ + t d-- Xn + 1+ siguiendo las r ' r= 1 proposiciones 1, 2 y 3, las variables aleatorias 1 / k X^, + t, d, para r= 1, ..., k, y Xn + t serán independientes entre sí y tendrán distribuciones N(0, a/ k) y N {0, a}, respectivamente. ^^8 F^STAUI^;TI('.A F.SPAÑ()LA ^ bar ^ tendrá entonces una distribución normal de media cero y su varianza será: cs2 / k 2+.. k. ,+ Q2 / k 2+ a2 = a2 / k+ Q2 ^ Q2 (1 + 1/ k) con lo que concluye la demostración. Vamos a contrastar la hipótesis nula de que la familia de variables aleatorias que generan el proceso es IID, con lo que la varianza de los errores baricéntricos de predicción es a bar = a2 (1 + 1/ k). La hipótesis alternativa será la de relacíón determinista entre las variables, lo que implica errores de predicción mós pequeños y, por tanto, que la varianza de dichos errores sea significativamente más pequeña. Para ello consideraremos el estimador muestral de a bar definido por: dm $2 _ m -- ,_ ^ ba r ^ [^ bar 2 n+ 1 n+ 1^ d ^ d, donde Eba+ 1=^ba+ 1(d, k) = X ^a+ , (d, k) - x„ +, es, según [10], el error de predicción baricéntrico de la observación x„ +^ en la serie temporal {x,, ..., x„ ♦ 1} utilizando una dimensión de inmersibn d y un número k de puntos próximos; E ^a^ ^ representa la media aritmética de dichos errores de predicción para dimensiones de inmersión d^ , ..., dm. Como estadístico de prueba uti lizaremos la conocida transformación de s 2 que viene dada por la expresión: (m - 1) s2 ^,2 bar 2 i xm-t que es una ji-cuadrado con m- 1 grados de libertad; obsérvese que rn es el número de predicciones baricéntricas realizadas sobre xn + 1 al hacer variar la dimensión de inmersión. Sí elegímos un nivel de sígnificación a, podemos obtener una región crítica R = [a, b], donde: f^ [ a^ (m ^21) s2 < b= ] a [19] bar Teniendo en cuenta la expresión [17] para la desviación típica abar, se presentan las siguíentes hipótesis alternativas: UlST1N('IC)N FNTRE C'AC)S Y A"LAR f:N Sf:RIES RIPIIX)SAS ?99 Hipótesis 0: En la serie temporal {x,, x2, ..., x„ + ,} generada por una fami{ía de variables aleatarias flD, hi (0, a), la observación x„ ♦, es 1a realización de una variable aleatoria independiente de !as restantes: a cs2 (1 + 1/ k) ^ 2^ b a2 (1 + 1/ k) s m-1 m--1 [ 20 ] Nipótesis 1: Existe una relación determinista entre la observación x„ +, y sus precedentes porque puede ser predicha, en sucesivas dimensiones de inrnersión, con errores de predicción pequeños que tendrán, por tanto, varianza significativamente pequeña: S2 ^ aa2 (1 + t/ k) m -- 1 5. [21] ALGUNOS EJEMPLOS A continuación analizaremos con nuestro test tres series económicas de apariencia ruidosa: la serie de parados de Sayers (1986), la serie de rentabilidades bursátiles de Scheinkman y LeBaron (1989) y la serie del índice Divisia de agregados monetarios de Barnet y Chen (1988). Sobre las dos primeras series, ni Sayers (1986) ni Scheinkman y LeBaron (1989) pudieron contrastar de forma concluyente la existencia de caos. Sobre !a última, Barnet y Chen sí. Nuestros resultados pueden describirse en ia siguiente forma: debido a su carácter no estacionario, hemos tomado primeras diferencias a la serie de agregados monetarios. La serie de parados y de rentabilidades bursátiles mostraban comportamiento estacionario en media. En las dos primeras series, el estadístico BDS toma valores muy cercanos a cero. En !a de agregados monetarios toma un valor en torno a diez, señalando ef reconocimiento de patrones. Hemos realizado 6 predicciones baricéntricas en cada una de las ú[timas 100 observaciones de cada una de las series haciendo variar la dirnensión de inmersión entre 3 y 8, manteniendo inalterado el número de puntos próximos en ^aa t=srA[^i:^r^c_•A t:^;NAN()L.A k= 10. Esto proporcionó un total de 5 grados de libertad con el fin de contrastar el determinismo de cada observación. En !os gráficos 1, 2 y 3 mostramos la desviavión típica de los errores baricéntricos de predicción en todas las series. Nuestro contraste de hipótesis consiste en io siguiente: cuando dicha desviación típica está por debajo de 0.412 (1 + 1I10) a2 / 5, señalado por la línea horizontal, no rechazamos la hipótesis de determinismo con un 99,5% de probabilidad; cuando dicha desviación típica está comprendida entre 0.412 (1 +^/10) a 2/ 5 y 15.086 (1 + 1/10) a 2/ 5, aceptamos la hipótesis de variables aleatorias IID N(0, cs) con un 99,5% de probabi(idad (a representa la desviacián típica de las series y en el eje de abscisas se representan las unidades de tiempo). En las gráficas podemos ver tambián que hay algunos segmentos de la serie de parados (gráf'rco 1) y de las rentabilidades bursátiles (gráfico 2) en !os que es posible hacer predicciones a corto plazo con alguna precisián. Tales segmentos coexisten con la presencia de Zonas turbulentas donde las predicciones son imposibles, ya que cualquier obediencia con comportamiento análogo en el pasado se rompe. Los últimos cien datos de la serie de agregados monetarios Divisia (gráfico 3) son predecibles con la excepción de tres pequeñas zonas turbulentas. Gráf^co 1 SERIE DE PARAD4S 0.^6 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 540 560 580 600 s2o 640 660 UltiTtNC'!(.)N l:NTKt- (.'A()ti ^" AI.AR 4^N SI:F21^^^ RUf1x;1SAS Gráfico 2 SERIE DE RENTABILIDADES BURSATILES x 10_5 9 . 1 1 0^ 1280 ^ t 1300 1 1320 ^ 1340 ^ 1 ^- ' 1360 1 I 13$0 1400 800 820 Gráfico 3 SERIE DE AGREGADOS MONETARIOS x 10-g 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 r ^ 0.5 0 700 720 740 760 780 ^^n2 fi. FSTAC)tSTlt'A t^:`+PANf)l.,A CiJNCLUSI^JNES Los tests de Grassberger y Procaccia (1983} y de 8rock, Dechet y Scheinkman contrastan, en una serie temporal en su conjunto, la hipótesis de ruido blanco frente a la hipótesis alternativa de caos determinista. En el test que hemas descrito en este trabajo se contrasta la existencia de estructuras patencialmente predecibles, observacián por observación. La impredecibilidad de una abservacián de la serie a partir de las restantes reveia independencia de la variable aleatoria que la genera respecto a las restantes y, por tanto, ruido blanca; la predecibilidad revela determinismo no lineal y, por tanto, caos. En este sentido, nuestros tests aplicados sobre las tres series arrojan las siguientes conclusiones: Con el tamaño muestral disponible, no puede establecerse que la serie de parados de Sayers (gráfico 1) ni la de rentabilidades bursátiles de Scheinkman y LeBaron {gráfica 2} sean predecibles por ocurrencias análogas: en este sentida no puede afirmarse de ninguna de ellas que sean caóticas y que sus observacianes estén generadas por un proceso determinista no lineal. Según muestra el gr^fico 3, la serie del índice monetario Divisia DM2 es predecible por ocurrencias análogas excepto en tres pequeños segmentos. En este sentido, el objetivo inicíal de contrastar que dicha serie está generada por un proceso determinista caótico sólo se alcanza parcialmente. Siguiendo los gráficos 1 y 2, la hipótesis de compartamíento determinista debe ser rechazada para tas series de parados y rentabilidades bursátiles. No obstante, el gráfico 1 muestra zonas de observaciones consecutivas de la serie de parados que resultan predecibles alternadas con otras zonas de naturaleza turbulenta e impredecible. REFERENCIAS BAJO, C7.; ^ERNÁNDE2, F., y SOSVILLA, S. (1992a}: «Chaotic behavior in exchangerate series: First results for the peseta-U.S. dollar case», Economics Letters, vol. 39, 207-211. (1992b): «Volatilidad y predecibilidad en las series del tipo de cambio peseta-dálar: un enfoque basado en el caos determinista», Revista Española de Economía, vol. 9, n.Q 3, 91-199. BAJO, O.; FERNÁNDEZ, F.; M(3RA, A., y SOSVILLA, S. 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Deben estar redactados en castellano y no haber sido publicados o estar en proceso de publicación en otro lugar. Se enviarán 4 copias del trabajo y la revista acusará siempre su recibo. PRESENTACION DE LOS MIANUSCRITOS Estructura La primera página debe incluir exclusivamente el título del articulo y el nombre, dirección completa y teléfono del autor. En el caso de varios autores se indicará a quién debe dirigirse la correspondencia. La segunda página contendrá únicamente el titulo y resumen del trabajo de un máximo de 100 palabras, seguida de 3 a 6 palabras clave y la clasificación AMS del artículo. EI texto del artículo comenzará en la tercera página y las secciones se numerarán consecutivamente. La última página del original contendrá en inglés el título del artículo, un resumen del rnismo bajo el epígrafe Summary y las palabras clave. EI manuscrito debe mecanografiarse a doble espacio. Cuando el título del artículo contenga más de 80 caracteres, se deberá indicar un título alternativo de dicha longitud o menor. Gráficos Todos los diagramas o gráficos se numerarán sucesivamente y se indicará su posición en el texto con el nombre de fi^ura. Se colocarán al final del manuscrito y deberán ser de la calidad necesaria para su reproduccibn. Referencia EI sistema de referencia a seguir es el oficial del International Statistical Institute. Los autores se citarán en el texto por su nombre, seguido de la fecha de publícación; ejemplo: Box (1986), y las referencias se situarán en orden alfabético al final del texto, como sigue: a) b) Libros: Weisberg, S. (1985}. Applied Linear Regression, New YorK: V^/iley. Artícu/os: Mahalanobis, P. c. (1950). Why Statistics? Sankhya, 10, 195-228. c) Trabajos en obras colectívas: Box, G. E. P. (1983). An Apology for Ecurnenism in Statistics. Scieniific Inference, Data Analysis and Robutsness, Ed. C. E. P., Leonard, T. y Wu, C. F., pp. 51-84. New York: Academic-Press. Evaluación de los originales Los originafes serán sometidos a un proceso de evaluación garantizando el anonimato tanto del autar como de los evaluadores. EI objetivo de la revista es que el autor reciba información sobre el resultádo de^ la evaluación en un plazo máximo de tres meses. Pruebas y separatas Aceptado el artículo y antes de su publicación definitiva, el autor o autores recibirá 2 juegos de pruebas para correcciones, uno de los cuales deberá devolver corregido a la Revista en un plazo de una semana desde su recepción. Una vez publicado, recibirá 25 separatas de su trabajo. Los posibles costes de impresión derivados de cualquier modificación de la versión final aceptada del manuscrito o de retraso en la corrección de pruebas serán a cargo del autor o autores del mismo.