Raices de Polinomios Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@unal.edu.co http://www.docentes.unal.edu.co/jeortizt/ Definición Un polinomio de grado n es una expresión de la forma: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0 Donde an <> 0 Teorema (teorema fundamental del álgebra): Si P(x) es un polinomio de grado n >= 1, entonces P(x) = 0 tiene al menos una raíz (posiblemente compleja). Corolario Si P(x) es un polinomio de grado n >= 1, entonces existen constantes únicas x1, x2, ... xk, posiblemente complejas, y enteros positivos m1, m2, ..., mk, tales que: k m i 1 i n y P( x) an x x1 m1 x x2 m ...x xk m 2 k Método de Horner Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0 Si bn = an y bk = ak + bk+1x0 para k = n – 1, n – 2, ..., 1, 0 Por tanto b0 = P(x0). Más aún, si Q(x) = bnxn–1 + bn-1xn-2 + ... +b2x + b1 Entonces P(x) = (x – x0) Q(x) + b0 Regla de Horner Teorema del resto: P(a) es el resto de la división de P(x) por (x a) P(x) = Q(x)(x-a) + R(x); grado(R(x))= 0; P(a) = R Consecuencia: P’(a) es el valor del cociente anterior en x = a P’(x) = Q’(x)(x-a) + Q(x) ; P’(a) = Q(a) Algoritmo de Horner: qn-1 = an for k = n-2, n-3, … , 0 do bk = ak+1+aqk+1 end P(a) = a0+aq0 Aplicaciones del algoritmo de Horner Cálculo del cociente y el resto de dividir un polinomio P(x) por (x-a): Q(x) y R con P(x)= Q(x)(x-a)+R. Evaluación de un polinomio P(x) en un valor real a: P(a). Deflacción de un polinomio: si a es raíz de P(x), P(x) es divisible por (x-a) y Q(x) = P(x)/(x-a) es una deflacción. Método de Newton para polinomios P( x ) n x x n 1 n P' ( x ) n Ejemplo P(x) = x4 - 5x3 + 4x2 - 3x + 2 1 5 4 1 2 3 6 2 2 3 2 4 14 7 12 Cociente Resto = p(2) p'(2) Q(x) = x3 - 3x2 - 2x - 7 1 3 2 1 2 1 2 8 4 15 2 7 Paso de Newton x p(x)/p'(x) = 2 12/15 = 6/5 Acotación de raíces reales P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, an 0 Cota general (Mc Laurin): Sean A = max{|an-1|, …, |a1|, |a0|}, M = {|an/a0|, …, |a1/a0|}, y sea r con P(r) = 0, entonces 1/(1+M) < |r| < 1+(A/|an|) Regla de Newton: Un número natural k es cota superior de las raíces positivas de P(x) si P(k)0, P’(k)0, …, P(n-1(k)0, P(n(k)>0. Regla de Laguerre: k es cota superior de las raíces positivas de P(x) si al dividir P(x) por (x-k) todos los coeficientes del cociente son 0 y el resto es >0. Recuento de raíces reales P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, an 0 v(c1, c2, …, cn) = nº de cambios de signo en la suc. sin ceros Regla de los signos de Descartes: v(an,an-1, …, a0) nº raíces reales positivas (mod 2) Regla de Sturn: Si P(x) no tiene raíces multiples y P(a) 0, P(b) 0 para ciertos a, b , a<b. Entonces el número de raíces reales de P(x) en el intervalo (a, b) coincide con v(P0(a), …, Pm(a)) - v(P0(b), …, Pm(b)), siendo P0(x) = P(x), P1(x) = P’(x), P2(x) = - R2(x) con P(x)=P’(x)Q2(x)+R2(x), …, Pk(x) = - Rk(x) con Pk-2(x)=Pk-1(x)Qk(x)+Rk(x), …, Pm(x)=cte. Ejercicios Evaluar: P(x) = 2x4 – 3x2 + 3x – 4 en x0 = –2 P(x) = 7x5 + 6x4 – 6x3 + 3x – 4 en x0 = 3 P(x) = – 5x6 + 3x4 + 2x2 – 4x en x0 = –1 Método de Horner en C double horner(double p[],int n, double x){ double y = p[0]; int i; for(i = 1; i<n; i++){ y = x*y + p[i]; } return y; } double eval(double p[],int n, double x){ double s = 0; int i; for(i = 0; i<n; i++){ s = s + p[i]*pow(x,n-i-1); } return s; } Ejercicio • Implementar el método de Horner en C++. Evaluación de la derivada Dado que: P(x) = (x – x0) Q(x) + b0 donde Q(x) = bnxn–1 + bn-1xn-2 + ... +b2x + b1 Derivando P’(x) = Q(x)+(x – x0)Q’(x) En x = x0, P’(x0) = Q(x0) Método de Newton para polinomios Se puede aplicar el método de Newton para polinomios evaluando el polinomio y su derivada mediante el método de Horner. El esquema sería Pxn Pxn xn 1 xn xn P' xn Qxn Newton para polinomios en C double NewtonPol(double p[],int n,double x0,double ee, int ni){ int i=0; double f,df,x = x0,error; while(i<ni){ hornerDer(p,n,x,f,df); x = x0 - f/df; error = fabs((x-x0)/x); if(error<=ee) return x; i++; x0 = x; } std::cout << "No solución en " << i << " pasos\n"; return x; } Método de Müller Utiliza tres aproximaciones: x0, x1, x2. Determina la siguiente aproximación x3 encontrando la intersección con el eje x de la parábola definida por los puntos (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), (x2,f(x2)). f x0 x1 x2 x3 Método de Müller Se considera el polinomio P(x) = a(x – x2)2 + b(x – x2) + c Se puede encontrar a, b y c resolviendo f(x0) = a(x0 – x2)2 + b(x0 – x2) + c f(x1) = a(x1 – x2)2 + b(x1 – x2) + c f(x2) = a(x2 – x2)2 + b(x2 – x2) + c Método de Müller Se llega a c f ( x2 ) 2 2 x0 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 f ( x0 ) f ( x2 ) b x0 x2 x1 x2 x0 x1 x1 x2 f ( x0 ) f ( x2 ) x0 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) a x0 x2 x1 x2 x0 x1 Método de Müller Para minimizar el error al resolver la cuadrática P(x) = 0, se calcula x3 con x3 x2 2c b signo(b) b 2 4ac El proceso se reinicia tomando ahora x1, x2, y x3. Ejemplo P(x) = 16x4 – 40x3 + 5x2 + 20x + 6 x0 = 0.5 x1 = -0.5 x2 = 0.0 i xi P(xi) 3 -0.555556 + ( -0.598352)i -29.400701 + ( 3.898725)i 4 -0.435450 + ( -0.102101)i 1.332225 + ( 1.193097)i 5 -0.390631 + ( -0.141852)i 0.375058 + ( 0.670168)i 6 -0.357698 + ( -0.169926)i -0.146750 + ( 0.007446)i 7 -0.356051 + ( -0.162856)i -0.001840 + ( -0.000538)i 8 -0.356062 + ( -0.162758)i 0.000002 + ( -0.000001)i Ejemplo x0 = 2.5 x1 = 2.0 x2 = 2.3 i xi 3 1.960592 + ( 0.000000)i -0.611310 + ( 0.000000)i 4 1.970564 + ( 0.000000)i 0.007455 + ( 0.000000)i 5 1.970447 + ( 0.000000)i 0.000029 + ( 0.000000)i x0 = 0.5 x1 = 1.0 P(xi) x2 = 1.5 i xi P(xi) 3 1.287855 + ( 0.000000)i -1.376275 + ( 0.000000)i 4 1.237459 + ( 0.000000)i 0.126945 + ( 0.000000)i 5 1.241605 + ( 0.000000)i 0.002193 + ( 0.000000)i 6 1.241677 + ( 0.000000)i -0.000001 + ( 0.000000)i Método de Bairstow El enfoque de Bairstow es el de utilizar el Método de Newton para ajustar los coeficientes r y s en la cuadrática x2 – rx + s hasta que sus raíces sean también raíces del polinomio que se quiere resolver. Con estos coeficientes se determina la cuadrática correspondiente que se utiliza para simplificar la expresión, eliminando estas raíces del conjunto buscado. El proceso se repite hasta que el polinomio se convierta en uno cuadrático o lineal, momento en que todas las raíces quedan determinadas. La División Larga de un polinomio n Px ai x i i 0 por x2 – rx – s resulta en un cociente de la forma n Qx bi x i i 0 y un residuo b1(x – r) + b0 tal que n2 i Px x rx s bi x b1 x r b0 i 2 2 Se utiliza la división sintética para obtener la división entre el factor cuadrático: bn = an bn–1 = an–1 + rbn bi = ai + rbi+1 + sbi+2 (i = n – 2,…, 0) El método se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que el factor cuadrático sea un divisor exacto. Se utiliza el método de Newton-Raphson. Se calculan incrementos Dr y Ds para acercarse a la solución. b1 b Dr 1 Ds b1 r s b0 b Dr 0 Ds b2 r s Las derivadas parciales se calculan por un proceso de división sintética similar al utilizado para calcular las b’s. cn = bn cn–1 = bn–1 + rcn ci = bi + rci+1 + sci+2 (i = n – 2,…, 1) Donde: b1 b , c3 1 r s b b c1 0 , c2 0 r s c1 Se resuelven las ecuaciones para Dr y Ds y se emplean para mejorar r y s. Tarea Escriba un programa en C amigable para el usuario que utilice la función bairstow() para encontrar las raíces de un polinomio. Deberá pedir el grado del polinomio, los coeficientes, los valores iniciales para la función bairstow, el error esperado y el número de iteraciones máximo. Deberá dar como salida una lista de las raíces del polinomio y/o una indicación de error.