curvatura en columnas

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE BOLIVAR
UNIDAD DE ESTUDIOS BASICOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
AREA DE MATEMATICA
CURVATURA EN
COLUMNAS
Presentado por:
Prof. Cristian Castillo
 Olivera Ricardo
C.I. 20557339
Sección 02
 Jimenez Ángel
C.I. 21007479
 Urban Marines
C.I. 21110248
Ciudad Bolívar, Marzo 2010
Curvatura en Columnas
En el siglo XVIII Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar
un problema de valores propios al analizar cómo se curva una columna elástica esbelta
sometida a una fuerza axial de compresión.
Una columna es un elemento estructural vertical diseñado para soportar cargas.
Examinemos una columna vertical larga y esbelta de sección transversal uniforme
de longitud L la cual está asegurada en los puntos 0 y R. Esta viga está inicialmente
derecha de modo que su eje (o curva elástica) coincide con el eje x tomado en la
dirección hacia abajo como se muestra en la figura
a.
Debido a una carga axial de
magnitud constante P suponga que la viga sufre una deflexión como se muestra
exagerada en la figura b.
0
0
R
Fig. a
R
Fig. b
Formulación matemática: para encontrar la magnitud de esta deflexión. Sea y(x) la
curvatura de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión, o carga P, en su
extremo superior (Fig. b). Al comparar los momentos flexionantes en cualquier punto
de la columna obtenemos:
Donde E y l son constantes, siendo E es el módulo de elasticidad de Young, l es el
momento de inercia de una sección transversal con respecto a una recta vertical por el
centroide y M(x) es el momento flexionante de una sección de la viga a la distancia x
del extremo 0. Este momento flexionante se ve de la figura que tiene una magnitud igual
a la fuerza P multiplicada por la distancia y de la sección a la línea de acción de la
2
2
fuerza. Sin embargo, puesto que la tasa de cambio de la pendiente (esto es, d y/dx ) se
ve que es negativa, debemos tener M(x) = - Py así que:
Puesto que el extremo de la viga tiene cero deflexión en x = 0 y x = L, debemos
también tener y(o)= 0 ; y(L) = 0
Para determinar la desviación de una columna homogénea, delgada y vertical de
altura L, sometida a una carga axial P constante. La columna se encuentra articulada en
sus dos extremos.
SOLUCIÓN El problema de valor en la frontera que se debe resolver es:
Donde
y
= 0 es una solución válida para este problema. Tiene la sencilla
interpretación que si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexión. La
pregunta, entonces, es la siguiente: ¿Para qué valores de P se curva la columna?
Hacemos la sustitución λ = P/EI y vemos que:
Cuando λ > 0, la solución general de
Como antes,
es:
conduce a A = 0, pero
Si B = 0, se tiene y = 0; pero, si B ≠ 0, entonces
implica que:
. La última
condición indica que el argumento de la función seno ha de ser un múltiplo entero de π.
Por lo tanto, para todo real B distinto de cero,
es una solución
del problema para cada n. Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, no
necesitamos escribir B si así lo deseamos; en otras palabras, para un número dado de la
sucesión:
La función correspondiente en la sucesión:
Es una solución no trivial del problema original.
Como las curvas de desviación son
a los valores propios:
que corresponden
Esto qu5iere decir, físicamente, que la columna se desvía solo cuando la fuerza de
compresión tiene uno de los valores
Esas fuerzas se llaman cargas críticas. La curva de deflexión que corresponde a la
mínima carga crítica,
se denomina carga de Euler y es:
Esta función se conoce como primer modo de desviación. Donde los coeficientes
que pueden depender de n se denotan por Bn.
En las siguientes figuras vemos las curvas de desviación que corresponden a n =1,
n =2 y n = 3. Si la columna original tiene algún tipo de restricción física o guía en x =
L/2, la carga critica mínima será
, y la curva de deflexión será la de la
mostrada en la figura (2). Si se ponen guías a la columna en
la columna no se desviará sino hasta aplicarle la carga crítica
y en
,
y la
curva de desviación será la que se ilustra en la figura (3).
Interpretación: Físicamente, los valores de P (eigenvalores) dados por la ecuación
1 representan las cargas críticas P1, P2, P3, para las cuales las correspondientes
deflexiones (eigenfunciones) están dadas por la ecuación 2. Para una carga dada P< P1
la cual es la carga crítica más pequeña, la deflexión es cero, así que la viga puede
soportar tal carga. Para P= P, la viga se pandeará como se indica en la Figura 1(o en la
dirección opuesta), esto es, la viga fallará a soportar la carga P. Para prevenir tal pandeo
es necesario proporcionarle un apoyo en el punto medio x = L/2 de la viga para que no
ocurra deflexión. Si esto se hace la viga no se pandeará como se muestra en la Figura 1
hasta que se alcance la carga crítica P. La carga P, hace que la viga se pandee de la
manera como se muestra en la Figura 2 de modo que la viga falla a soportar la carga P.
Para prevenir este doblamiento, sin embargo, podemos proveer dos apoyos adicionales
en x = L/3 y x = 2L/3. Si esto se hace la viga no se doblará hasta que se alcance la
carga crítica P, y esto a su vez causa pandeo como se muestra en la Figura 3.
Continuando el proceso de apoyos adicionales se permiten cargas críticas más grandes.
y
L
Fig. 1
Fig. 2
X
X
y
Fig. 3
Ejercicio: Discuta el problema de pandeo de viga para los casos a) n = 4; (b) n =5.
-.Solución:
Si la columna original tienen algún tipo de restricción física o guía en
x=L⁄4 , x=L⁄2 y x=3L⁄4 Para n=4 y la carga crítica será de:
Para el valor de n=5 la columna original tienen algún tipo de restricción física o
guía en
la carga crítica será: