Grad

Hoja nº 2
Ejercicios sobre gradientes
1.- Determine las derivadas parciales
x2 + y2
a) w ( x , y ) = 2
x − y2
(
∂w ∂w
y
, de las siguientes funciones:
∂x ∂y
)
b) w ( x , y ) = cos y e x y sin x
2.- Dada la función escalar h( x, y, z ) = ( x + z ) e ( x − y ) , calcule
a) el módulo de ∇ h (1,1,1)
b)
G
G G
dh
G
según la dirección indicada por el vector u = 2 i − j + 2 k
d r (1,1,1)
c) ¿cuál de los dos apartados anteriores da mayor resultado?
d) determine la dirección, dando un vector unitario, según la cual
dh
es
d r (1,1,1)
máxima
3.- Dado el campo escalar Ψ ( x, y, z ) = 2 xy − yz + xz .
a) Determine el vector que representa la dirección y la magnitud del máximo
incremento del campo escalar, por unidad de longitud, en el punto P (2,-1,0).
b) Determine la variación por unidad de desplazamiento del campo escalar en el
punto anterior en la dirección hacia el punto Q (0, 2, 6).
G
4.- Un campo electrostático, E , deriva del gradiente, cambiado de signo, de un potencial
⎛π y ⎞
eléctrico dado por la expresión ϕ ( x, y, z ) = ϕ 0 e − x sin ⎜
⎟.
⎝ 4 ⎠
a) Determine el campo eléctrico en el punto (1, 1, 0).
b) Determine las líneas del campo eléctrico.
5.- Dado el campo escalar unidimensional U ( x ) = k x 2 / 2 , llamado campo de energía
potencial, donde k es una constante y U se mide en Julios,
G
a) Determine el campo vectorial asociado, F , a través del gradiente cambiado
de signo.
G
b) ¿Qué tipo de magnitud puede asociarse al campo vectorial F ?
c) Cite algún ejemplo cotidiano que pueda describirse en primera aproximación
por medio del campo anterior.
6.- En la figura se muestran las líneas equipotenciales de un campo escalar, V ( x, y, z )
que se mide en Voltios, el cual no cambia en la dirección del eje Z.
a) Determine el cambio en el campo escalar, por unidad de longitud, cuando nos
desplazamos según el eje de abscisas.
b) Determine el cambio en el campo escalar, por unidad de longitud, cuando nos
desplazamos según el eje de ordenadas.
c) Encuentre el campo vectorial asociado a dicho campo escalar a través del
gradiente cambiado de signo.
d) Halle la expresión de la función que representa el campo escalar dado.
(
)
G
7.- La temperatura de una sala está dada por T (r ) = 4 x 2 + y 2 − 2 z . Un mosquito
ubicado en (1, 1, 2) quiere volar en la dirección que le permita calentarse lo más pronto
posible. ¿En qué dirección debe volar?
8.- Determine el gradiente de los siguientes campos escalares:
a)
U ( x, y , z ) = 4 x z 2 + 3 y z
(
)
b) W (ρ ,φ , z ) = 2 ρ 1 + z 2 cos φ , sabiendo que el gradiente en coordenadas
G
∂W G
1 ∂W G ∂W G
uρ +
u +
u
cilíndricas se expresa ∇W =
ρ ∂φ φ ∂ z z
∂ρ
c)
H ( x, y, z ) = x e z + y cos ( 2 π x / 3) en el punto (-1, 3, 0)