Indique si el sistema [A|b] es consistente para todos los vectores b ∈ R3 si A es la matriz: −1 5 −1 −3 −2 A Falso B Cierto 1 Respuesta Deseamos ver si para cualquier vector b =< b1 , b2 , b3 > de el vector R3 la matriz aumentada −1 5 b1 [A |b ] = −1 −3 b2 −2 1 b3 representa un sistema consistente. Como razonamos en un problema anterior, como la matriz tiene variables no debemos fiarnos en los resultados de la reducida obtenida por un ambiente CAS. Debemos solamente escalonar y aplicar la condición de consistencia. Haciendo R3 ← R3 −2 R1 y R2 ← R2 −R1 obtenemos: −1 5 b1 −1 5 b1 −1 −3 b2 → 0 −8 b2 − b1 −2 1 b3 0 y luego R3 → R3 − 89 R2 nos da: −1 5 b1 −1 0 −8 b2 − b1 → 0 0 −9 b3 − 2 b1 0 −9 5 −8 0 b3 − observamos que hay consistencia si y sólo si b3 − b3 − 2 b1 9 7 b2 − b1 = 0 8 8 b1 b2 − b1 9 7 8 b2 − 8 b1 e inconsistencia en otro caso. Claramente podemos escoger b1 = 1, b2 = 0 y b3 = 0 y estos valores nos darán inconsistencia. Entonces vemos que no es cierto que para cualquier valores de b1 , b2 y b3 el sistema [A|b] será consistente. Una situación muy diferente hubiera resultado si la escalonada nos queda por ejemplo 1 2 3 b1 0 14 11 5 b1 + b2 0 0 3 4 b1 + b2 + b3 En cuyo caso, los pivotes quedan a la izquierda y se descarta la posibilidad de la inconsistencia. En este caso, no importan los valores de b1 , b2 y b3 se tiene garantizada la consistencia de [A|b]