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Indique si el sistema [A|b] es consistente para todos los vectores b ∈ R3 si
A es la matriz:


1
2
3
 −5
4 −4 
1 −12 −8
A
Falso
B
Cierto
Respuesta
Deseamos ver si para cualquier vector b =< b1 , b2 , b3 > de el vector R3 la matriz
aumentada


1
2
3 b1
[A |b ] =  −5
4 −4 b2 
1
−12 −8
b3
representa un sistema consistente. Como razonamos en un problema anterior, no
debemos fiarnos en los resultados de la reducida obtenida por un ambiente CAS.
Debemos solamente escalonar y aplicar la condición de consistencia. Haciendo
R3 ← R3 − R1 y R2 ← R2 + 5 R1 obtenemos:




1
2
3 b1
1
2
3
b1
 −5
4 −4 b2  →  0
14
11 5 b1 + b2 
1
−12 −8
b3
0
−14
−11
−b1 + b3
y luego R3 → R3 + R2 nos da:




b1
b1
1
2
3
1
2
3
 0
5 b1 + b2 
14
11 5 b1 + b2  →  0 14 11
0 −14 −11 −b1 + b3
0
0
0 4 b1 + b2 + b3
observamos que hay consistencia si y sólo si
4 b1 + b2 + b3 = 0
e inconsistencia en otro caso. Claramente podemos escoger b1 = 1, b2 = 0 y
b3 = 0 y estos valores nos darán inconsistencia. Entonces vemos que no es cierto
que para cualquier valores de b1 , b2 y b3 el sistema [A|b] será consistente.
Una situación muy diferente hubiera resultado si la escalonada nos queda

1
 0
0
2
14
0
3
11
3

b1
5 b1 + b2 
4 b1 + b2 + b3
En cuyo caso, los pivotes quedan a la izquierda y se descarta la posibilidad de
la inconsistencia. En este caso, no importan los valores de b1 , b2 y b3 se tiene
garantizada la consistencia de [A|b]