58 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 5.3 Un estudiante ha decidido instalar un estante para colocar sus libros y apuntes. Los ha colocado uno junto al otro y ha medido la longitud total de estante que necesita y la anchura que debe tener. Al ir a comprar el estante ve que para estas dimensiones puede escoger varios espesores distintos. No sabe cuál escoger. Entonces recurre a un amigo suyo que está haciendo 3er curso de Ingeniería Industrial y le expone el problema: He decidido instalar un estante para libros, según el croquis de la figura: h b a a A A 100 cm a 15 cm b 20 cm p libros y apuntes 0,6 Kg/cm En la tienda me han informado de que la madera de los estantes tiene las siguientes características mecánicas: V adm 4 N/mm 2 E 10 000 N/mm 2 La cuestión es: a) ¿De qué espesor h mínimo debo colocar el estante? b) Los dos apoyos los he colocado, simétricamente, a una distancia a = 15 cm del extremo por razones puramente estéticas. Pero, atendiendo a razones de comportamiento resistente, ¿cuál sería la distancia óptima de los apoyos a los extremos, que podría minimizar el espesor h del estante? c) Finalmente, me preocupa saber cuál será la flecha que tendrá el estante, una vez cargado, en su punto central (con la distancia a inicial). 59 5 Dimensionado de secciones o flexión Resolución: a) Determinación de h mínima. p A B C D h b a a A x RB - M Tramo AB: + M p MA + - 0 MB - T p a2 2 TA p x 0 vE Tramo BC: p x2 2 + T M pA 2 RC x2 A p x a 2 2 MB MC § ¨ xE © A· ¸ 2¹ ME a2 a2 A p a a p 2 2 2 2 a MB p 2 A2 A2 Aa A2 Aa p p p p p 8 4 2 8 2 p TB pa 60 Resistencia de materiales. Problemas resueltos T p x p A 2 A 2 TB pa p TC p A a p A 2 pa p A 2 Tramo CD: M M T x2 x2 A A A p x a p x A a p p x a x A a 2 2 2 2 2 2 A a 2 p A 2A a A p a 2 x A MC p p p 2 x A 2 2 2 2 2 A2 A MD p p 2A A 0 2 2 p p x p A TC TD p A a p A pA pA 0 pa Con A = 100 cm, a = 15 cm y p = 0,6 Kg/cm, tenemos los siguientes resultados: MB V máx M máx MC 112,5 p 67,5 cmKg ME 500 p 300 cmKg ME d V adm Wz 40,77 Kg/cm 2 ME 6 40,77 20 Wz b 20 hmín W z , mín hmín b) Determinación de la distancia a óptima. Óptimo resistente: M máx M máx MB ME p a2 2 p aA A2 p 8 2 ME b h2 40.77 6 1,49 cm 61 5 Dimensionado de secciones o flexión a2 A a A2 4 0 2 a A A2 §A· r ¨ ¸ 2 4 © 2¹ a A 2 A2 r 2 4 ­0,207 A A 2 A a ® r 2 2 ¯ 1,207 A Así pues, la distancia ‘a’ óptima es: a óptima Y se tiene, un momento máximo: M máx La segunda solución no interesa, porque cae fuera del intervalo analizado 20,7 cm 128,7 cmKg c) Cálculo de la flecha en el punto central, por el método de la fuerza unitaria. F=1 A B C Tramo BE: D Mc E a 1 x a 2 Tramo EC: a Mc A 1 A· § x a 1 ¨ x ¸ 2 a ¹ © x M’ + G wW wF ³ G ª1 « ¬« EI M M c dx EI 2 2 EI A § 2 ¨ a ¨ ³ © p ³ a o p x2 1 0 dx a EI A § 2 ¨ a ¨ ³ © p º · A x2 1 p x a x a ¸¸ dx » 2 2 2 2 ¹ ¼» x3 a aA x a2 A · A Aa ¸ dx x p x2 p p x2 p p 2 2 2 2 2 2 ¸¹