El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español

El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5
Ejercicios de repaso para el capítulo 3. Ejercicio 77, página 292.
Con…rme analíticamente la estimación obtenida grá…camente en el inciso (d) de los ejercicios
(a) Ejercicio 103;
(b) Ejercicio 105;
de los ejercicios de repaso del capítulo I (paginas 98 y 99).
Solución:
(a) Ejercicio 103.
Como establecimos en el problema 103 del capítulo 1, el volumen de la cacerola e
V (l) = (14
2l) (18
2l) l pulgadas cúbicas
Así que los extremos están donde la derivada
V 0 (l) = (2l
14) (2l
18) + 2l (2l
14) + 2l (2l
18) = 12l2
128l + 252
se anule, o sea
12l2
128l + 252 = 0,
Tenemos dos soluciones
l1 =
16
1p
67 +
= 8: 061 8
3
3
y
l2 =
1p
16
67 +
= 2: 604 9
3
3
La primera solución carece de sentido ya que excede las dimensiones posibles de la cacerola, así que tenemos solamente
1p
16
que considerar un extremo relativo, l2 =
67 +
= 2: 604 9.
3
3
Para saber si se trata de un máximo ó de un mínimo, obtenemos la segunda derivada del volumen,
1
V 00 (l) = 24l
128
y la evaluamos en el punto
V 00
16
3
1p
67
3
=
p
8 67
como este valor es negativo, sabemos que la función tiene un máximo.
En resumen, el volumen máximo de la cacerola se tiene cuando l =
1p
16
= 2: 604 9.
67 +
3
3
En la evaluación grá…ca que se había hecho en el problema 103 habíamos encontrado 2.60.
(b) Ejercicio 105.
En el problema 105 del capítulo 1, encontramos que el área total del anuncio como una función de la dimensión
horizontal de la región cubierta por el material impreso es
A (x) = 8x +
200
+ 82
x
Para encontrar los extremos relativos, sacamos la derivada
A0 (x) = 8
200
x2
y la igualamos a 0,
8
200
= 0,
x2
lo cual nos da dos soluciones,
La solución
5 y 5.
5 la descartamos porque no tiene signi…cado físico en este problema, así que x = 5.
Debemos veri…car ahora de qué tipo de valor extremo se trata. Para ello calculamos la segunda derivada,
2
A00 (x) =
400
x3
y la evalumaos en el punto en cuestion, x = 5,
A00 (5) =
16
5
Como el resultado es mayor que cero, concluimos que x = 5 es un mínimo de la función.
Este resultado coincide con el que habíamos calculado grá…camente en el problema 105 del capítulo 1.
3