Document

El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5
Ejercicios de repaso para el capítulo 2. Ejercicio 23, página 192.
Calcula la derivada de la función
g (x) =
tan x
1+x
y apoya tu respuesta trazando las grá…cas de la respuesta y la derivada numérica en x en el mismo rectángulo de
inspección.
Solución:
Notemos, primeramente, que la función está de…nida por un cociente. Para derivarla necesitamos entonces
2.4.7 Teorema Regla de diferenciación para el cociente (página 128)
Si f y g son funciones y h es la función de…nida por
h (x) =
f (x)
,
g (x)
donde
g (x) 6= 0
y si f 0 (x) y g 0 (x) existen, entonces
h0 (x) =
g (x) f 0 (x)
f (x) g 0 (x)
2
[g (x)]
Aplicando este teorema tenemos
(1 + x)
d tan x
=
dx 1 + x
d tan x
d (1 + x)
tan x
dx
dx
2
(1 + x)
pero sabemos que
d tan x
= tan2 x + 1 = sec2 x
dx
y
d (1 + x)
d1 dx
=
+
=0+1=1
dx
dx dx
así que
(1 + x)
d tan x
=
dx 1 + x
d tan x
d (1 + x)
tan x
(1 + x) sec2 x tan x
sec2 x
dx
dx
=
=
2
2
1+x
(1 + x)
(1 + x)
tan x
2
(1 + x)
Resumiendo
d tan x
sec2 x
=
dx 1 + x
1+x
tan x
2
(1 + x)
Calcularemos ahora la derivada numérica.
Por de…nición (2.3.1 De…nición de la derivada numérica, página 119) la derivada numérica de F en el número real a,
está dada como
NDER(F (x) ; a) =
F (a +
donde la elección de
x) F (a
2 x
x)
x depende de la aproximación deseada de NDER(F (x) ; a) a F 0 (a).
1
En nuestro libro de texto se recomienda utilizar
x = 0:001.
En nuestro ejemplo particular tenemos
g ( + 0:001) g (
NDER(g (x) ; ) =
0:002
0:001)
tan ( + 0:001) tan (
1 + + 0:001
1+
=
0:002
0:001)
0:001
Realizando el álgebra
( + 0:999) tan ( + 0:001) ( + 1:001) tan (
tan ( + 0:001) tan (
0:001)
( + 1:001) ( + 0:999)
+ 1:001
+ 0:999
NDER(f (x) ; ) =
=
0:002
0:002
=
( + 0:999) tan ( + 0:001) ( + 1:001) tan (
0:002 ( + 1:001) ( + 0:999)
0:001)
=
0:001)
( + 0:999) tan ( + 0:001) ( + 1:001) tan (
0:002 2 + 0:004 + 0:002
=
0:001)
pero
tan (a
b) =
tan a tan b
1 tan a tan b
así que
( + 0:999) tan ( + 0:001) ( + 1:001) tan (
NDER(f (x) ; ) =
0:002 2 + 0:004 + 0:002
0:001)
( + 0:999)
=
tan
tan + tan (0:001)
( + 1:001)
1 tan tan (0:001)
1+t
0:002 2 + 0:004 + 0:002
Pero tan (0:001) = 0:001, y por tanto,
( + 0:999)
NDER(f (x) ; ) =
( + 0:999)
tan
tan (0:001)
tan + tan (0:001)
tan + 0:001
( + 1:001)
( + 1:001
( + 0:999)
1 tan tan (0:001)
1 + tan tan (0:001)
1 0:001 tan
=
0:002 2 + 0:004 + 0:002
0:002 2 + 0:004 + 0:00
tan + 0:001
tan
0:001
( + 1:001)
0:002
1 0:001 tan
1 + 0:001 tan
=
2
0:002 + 0:004 + 0:002
1
0:002 tan + 0:002 tan2 + 0:002 tan2 + 0:002
1:0 10 6 tan2
0:002 2 + 0:004 + 0:002
Resumiendo,
NDER(f (x) ; ) =
0:002
1
0:002 tan + 0:002 tan2 + 0:002 tan2 + 0:002
1:0 10 6 tan2
0:002 2 + 0:004 + 0:002
En la grá…ca siguiente podemos ver, en azul continuo la derivada exacta, y en rojo punteado la derivada numérica. Es
notable que practicamente no se pueden distinguir; es decir, en la aproximación en la cual la computadora hizo la grá…ca,
la derivada y la derivada numérica coinciden.
2
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
3
3
4
5
x