MICROECONOMÍA II (UBA) Profesor Martín Rossi Ayudante Martín Alfaro GUÍA 1 Juegos estáticos de información completa 1. Suponga que Juan, fanático de River Plate, le apuesta $100 a Pedro, fanático de Boca Juniors, a que el super clásico lo ganará River. En caso de empate, ninguno deberá abonar suma alguna. Analice la situación y comente qué puede decir sobre la misma desde la óptica de la Teoría de Juegos. ¿Existe en este caso interacción estratégica? 2. Dada la siguiente familia parametrizada de juegos estratégicos de 2 jugadores: A B C D (; ) (1; 1) (3; 2) E (; 2) (1; 0) (0; 1) Indique para qué valores de ; y : (a) A es una estrategia estrictamente dominada. (b) E no es una estrategia estrictamente dominada. (c) (A; D) es un equilibrio de estrategias estrictamente dominantes. (d) (A; D) es un equilibrio de Nash. (e) C es una estrategia racionalizable. (f) Todas las estrategias son racionalizables. 3. Considere el siguiente juego entre un incumbente y un entrante potencial. Suponga que se está discuetiendo la aprobación de una ley de control de la contaminación. El monopolista, de gran inuencia política, puede apoyar la propuesta del Grupo Verde, apoyar la propuesta de la oposición, o no apoyar una nueva ley que exige controles de contaminación en todas las empresas de la industria. Suponga que cada propuesta se aprueba si y sólo si la apoya el monopolista. Los controles de contaminación propuestos por los verdes aumentarían en $60.000 los costes jos de cada empresa, tanto si opera en régimen de monopolio como de duopolio, mientras que la propuesta de la oposición los aumentaría en $24.000. El entrante potencial puede entrar o no entrar en la industria. Sin costes de control de contaminación, los bene cios del monopolio son $120.000 y los del duopolio $48.000 para cada uno. Si el entrante potencial decide no entrar, sus bene cios son nulos. Ambos deben decidir sin conocer lo que hace el otro. (a) Represente el juego en forma normal y extensiva (b) Veri que si existe equilibrio en estrategias dominates (c) Determine cuáles estrategias se encuentran dominadas 1 (d) Explicite las estrategias racionalizables (e) Encuentre los equilibrios de Nash 4. Existen n rmas en una determinada industria. Cada una trata de convencer al congreso para que se otorgue un subsidio a la industria. Sea hi el número de horas de esfuerzo de la rma i-ésima y sea ci (hi ) = wi (hi )2 , donde wi es una constante positiva, el costo del esfuerzo de la rma i-ésima . Cuando los niveles P de esfuerzoQde las rmas son (h1 ; h2 ; :::; hn ) ; el valor del subsidio que es aprobado es i hi + ( i hi ) ; donde ; son constantes. Considere un juego en el que las rmas deciden simultánea e independientemente cuántas horas de esfuerzo van a dedicar. Muestre que cada rma posee una estrategia estrictamente dominante si y solo si = 0: ¿Cuál es? 5. Dos personas se suben a un colectivo. Hay dos lugares adyacentes vacíos. Cada persona debe decidir si sentarse o quedarse parada. Sentarse solo es más confortable que sentarse junto a otra persona, aunque esto último es más confortable que quedarse parado. Suponga que a cada persona sólo le importa su propio confort. (a) Modele esta situación en forma extensiva y normal y encuentre todos sus equilibrios de Nash. . (b) Suponga ahora que cada persona es altruista y rankea los resultados de acuerdo al confort de la otra persona; además, por educación pre ere quedarse parada que sentarse si la otra persona se queda parada. Modele esta situación en forma normaly encuentre los equilibrios de Nash. (c) ¿Cuál de los resultados conduce a un resultado que sería más deseado desde el punto de vista de la comodidad? ¿Qué puede concluir? 6. Pablo y Juan descubren que Laura ha estado engañando a Javier. Si bien Pablo y Juan son eles amigos de Javier (al contrario de Laura, que no tiene nada de el), ambos preferirían que este se entere por un tercero y no tener que ser ellos quienes delatan a Laura. No obstante, la peor situación para ambos es que Javier no se entere. Ambos amigos deberán tomar una decisión (contárselo o no) sin saber lo que el otro haga. (a) Represente el juego en forma normal y extensiva (b) Determine los equilibrios de Nash (c) Suponga que Laura no es demasiado indiscreta y en realidad todos los amigos de Javier saben que lo está engañando. Sean n la cantidad de amigos de Javier. Encuentre los equilibrios de Nash. 7. Los jugadores de un equipo de fútbol cinco comenzarán un torneo la semana próxima. Cada uno de ellos posee dos acciones: puede ser individualista o jugar en equipo. Jugar en equipo permite ganar de manera segura mientras que, si al menos uno de los jugadores es individualista, el equipo pierde de manera certera. De suyo, los jugadores pre eren ganar a perder pero consideran muy aburrido jugar en equipo cuando al menos uno es individualista y este arruina la jugada cada vez que le llega la pelota (en otros 2 términos, en caso de que al menos uno sea individualista, pre eren también ellos ser individualistas) Determine los equilibrios Nash de este juego. 8. Sigamos trabajando con un equipo de fútbol cinco. Ahora asumamos que ganar depende del esfuerzo que cada uno de los jugadores hace. En particular, el esfuerzo de los jugadores determina la probabilidad que existe de ganar. La probabilidad de ganar viene determinada por el mínimo esfuerzo que realice uno de los jugadores, es decir, Pr (ganar) = min fe1 ; e2 ; :::; e5 g donde ej 2 [0; 1] re ere al esfuerzo del jugador j -ésimo. (a) Asuma que el pago que obtiene cada jugador en caso de que se gane es G con G > 1 y en caso de perder cada uno obtiene un pago de cero. Además, suponga la desutilidad del esfuerzo del jugador i-ésimo viene dada por la función Ci (ei ) = ei : Muestre que todos los equilibrios de Nash del juego involucran un nivel de esfuerzo simétrico. (Pista: asuma un esfuerzo mínimo e y luego analice qué ocurre si el jugador i-ésimo escoge un nivel de esfuerzo mayor, igual o menor a ese valor). (b) Ahora asuma que la desutilidad del esfuerzo del jugador i-ésimo viene dada por la función Ci (ei ) = e2i : Muestre que los equilibrios de Nash son todos simétricos con e G2 Para su obtención, se le recomienda seguir los siguientes pasos: 1. Asuma que e ! 1 y gra que el nivel de utilidad que obtendría el jugador i-ésimo según el esfuerzo que elija 2. Luego, vea que la mejor respuesta del jugador i-ésimo di ere en caso de que e > G2 ó e < G2 9. Un grupo de n ladrones está analizando cuál de las dos decisiones escoger: robar un casino o insertarse en el mercado laboral y conseguir un trabajo. Si logran asaltar el casino con éxito entonces se reparten el motín de S pesos en partes iguales entre los que hayan cometido el robo. Si no logran asaltar el casino con éxito obtienen un pago de cero. A su vez, en caso de insertarse en el mercado laboral, obtienen una ganancia de H: Para robar el casino de manera exitosa se necesita de m ladrones (con 2 m n) (a) Si las preferencias de los ladrones son tales que n1 S H; ¿cuáles son los equilibrios de Nash de este juego? (b) Ahora asuma que para todo k k ocurre que k1 S H pero para k < k ocurre que H k1 S: A su vez, k cumple que m k n: Encuentre los equilibrios de Nash. 10. Ante los hechos de inseguridad en el barrio, los n vecinos de una cuadra deciden juntarse para contratar a un policía que patrulle la cuadra. Cada vecino puede contribuir (con un monto jo) o no contribuir. Para contratar al policía, se necesita que al menos k (entendiendo k como un parámetro que cumple 2 k n) vecinos contribuyan. Cada vecino ordena los resultados posibles de mejor a peor de la siguiente forma: a) cualquier caso en el cual el bien es provisto y ella no contribuye su parte, b) cualquier caso en que el bien es provisto y ella contribuye, c) cualquier caso en que el bien no es provisto y ella no contribuye, d) cualquier caso en que el bien no se provee pero la persona contribuye su parte. Formule esta situación como un juego y encuentre los equilibrios de Nash. 3 11. Continuemos con el ejercicio anterior. Asuma que ahora el problema de cada individuo está dado por decidir cuánto contribuir para seguridad. Sea ci el monto que contribuye el jugador (i): La cantidad de seguridad que recibe el barrio está dada por la suma de contribuciones de los jugadores. P Asuma que la utilidad que recibe el jugador (i) está ki ci : dada por ui (ci ; ci ) = ln j cj (a) Derive la función de mejor respuesta del jugador (i) : (b) Asuma que n = 2: 1. Muestre que si k1 = k2 , todos los equilibrios de Nash son simétricos y cumplen que c1 + c2 = k1 : 2. Muestre que si k1 > k2 , entonces existe un único equilibrio de Nash tal que c1 = 0 y c2 = k12 : (c) Asuma ahora un n:genérico. Encuentre los equilibrios de Nash para los casos donde 1. ki = kj 8i; j 2. ki = 6 kj 8i; j 12. El jefe de una empresa se encuentra analizando ofrecerle un aumento de salario a dos de sus mejores empleados ejecutivos. No obstante, se encuentra limitado por el presupuesto que la rma posee, el cual asciende a 100 mil pesos. Dado que no está seguro cómo hacer el reparto, propone a sus empleados la siguiente forma de negociación: ambos realizan una demanda en simultáneo, desconociendo lo que ha elegido el otro. Las mismas pueden ser de 0, 50 ó 100 mil. Si la suma de los anuncios es menor o igual a 100 mil, cada jugador se lleva el monto que anotó. En caso contrario, sus sueldos se verán rebajdos en A miles de pesos: (a) ¿Qué rol juega el jefe de la empresa? ¿Es un jugador propiamente dicho? Justi que el por qué sí o el por qué no. (b) Busque los equilibrios en estrategias dominantes (c) Determine el conjunto de estrategias racionalizables (d) Determine los equilibrios de Nash 13. En un curso de Econometría, existen únicamente dos alumnos. Imagine ahora que el profesor decide jar notas según una curva: el alumno con el puntaje más alto en el examen obtendrá un 10, y el restante obtendrá un 4. En caso de igualdad de puntajes, los dos alumnos obtendrán un 4. Los puntajes en los exámenes están directamente relacionados con el esfuerzo del alumno: un esfuerzo más alto resulta necesariamente en un puntaje más alto en el examen. Los alumnos pueden elegir niveles de esfuerzo (respectivamente, e1 y e2 ) entre los enteros del 1 al 10. Obtener un 10 brinda a un alumno un pago de 10, mientras que obtener un 4 brinda un pago de 0. (a) Asuma que el costo de un nivel de esfuerzo e es, para cualquier alumno, e. 1. ¿Existen estrategias dominadas? 4 2. Halle las estrategias racionalizables 3. ¿Existe algún equilibrio de Nash en puras? (b) Ahora asuma que el costo de un nivel de esfuerzo e es, para cualquier alumno, e2 2 1. ¿Existen estrategias dominadas? 2. Halle las estrategias racionalizables 3. ¿Existe algún equilibrio de Nash en puras? 14. En un curso de Microeconomía, que consta de cinco alumnos, el profesor propone decidir la fecha del parcial por votación. La fecha que obtiene más votos gana. Existen dos fechas potenciales, el 1ro de mayo o el 6 de mayo. No hay posibilidad de abstenerse y la votación se lleva a cabo por escrito, lo cual hace que cada uno de los alumnos tome su decisión sin conocer lo que hace el resto. Note que, dado que la cantidad de alumnos es impar, no hay posibilidad de empate. Cada alumno posee una fecha preferida y sus preferencias son tales que solo dependen de que gane su fecha preferida o no. (a) Asuma que todos pre eren la fecha 1ro de mayo. ¿Existen equilibrios Nash tales que gana la fecha 6 de mayo? (b) Continúe asumiendo que todos pre eren la fecha 1ro de mayo pero ahora asuma que existen n alumnos. Halle todos los equilibrios de Nash. (c) Ahora asuma que existen n jugadores y un número k pre ere el 1ro de mayo y el resto el 6 de mayo. Halle todos los equilibrios de Nash. 15. Dos equipos con igual número n de participantes de igual fuerza física sostienen los extremos opuestos de una cuerda muy resistente sobre un charco de barro. Cada uno de los participantes elige tirar con fuerza o ir a menos. Si un equipo tiene menos participantes que tiran con fuerza que el otro, sus miembros son arrastrados al barro. Si ambos equipos tienen igual número de participantes que tiran con fuerza, se declara un empate. Todos pre eren ganar a empatar y empatar a perder, pero a la vez son bastante vagos y hacer fuerza les genera desutilidad. (a) Asuma que pre eren perder no haciendo fuerza antes que empatar haciendo aunque pre eren ganar haciendo fuerza antes que empatar no haciendo.. Encuentre todos los equilibrios de Nash (Sugerencia: si en principio le resulta muy compleja la resolución del ejercicio, resuelva para el caso n = 1; n = 2 y luego generalice para cualquier n): (b) Suponga ahora que los números de participantes en cada equipo di eren. Encuentre los equilibrios de Nash. (c) Ahora suponga que empatar haciendo esfuerzo es preferido a perder no haciendo al mismo tiempo que continúan pre riendo ganar haciendo fuerza antes que empatar no haciendo. Encuentre los equilibrios de Nash. (d) Suponga que en uno de los equipos se encuentra un participante conocido como el Titán, una mole de 150 kilos cuya fuerza equivale exactamente a la realizada por dos personas. Asuma para todos los jugadores las preferencias del inciso a) y encuentre los equilibrios de Nash. 5 (e) Suponga ahora que los números de participantes en cada equipo son n y n + 1 respectivamente. Además, asuma las preferencias del inciso c). Encuentre los equilibrios de Nash para los siguientes casos: 1. Todos poseen igual fuerza física 2. El Titán es un miembro del equipo con n jugadores 16. Considere un juego donde existen n participantes con n 2: Cada uno de los jugadores debe anotar en un papel, el cual no es visto por el resto, un número real xi 2 [0; 1]. Una vez que todos anotaron el número, se recolectan los papeles, lo cual permite computar n P xj el promedio simple de los números, es decir, : Los pagos que obtiene el jugador n j=1 i-ésimo se encuentran dados por: n P xj ui (xi ; xi ) = xi n j=1 (a) Dada la función de utilidad especi cada del jugador i-ésimo, reexione sobre cuál será el objetivo de este al momento de elegir xi (b) Compute la función de mejor respuesta del jugador i-ésimo (c) Obtenga todos los equilibrios Nash del juego (d) Determine todas las estrategias racionalizables Sugerencia: si le resulta más fácil, comience analizando el caso para el cual n toma un valor determinado y chico, por ejemplo, n = 3: 17. Realicemos una modi cación del ejercicio anterior. Suponga ahora que el juego es el mismo pero el pago se modi ca: n P xj ui (xi ; xi ) = xi n j=1 (a) Dada la función de utilidad especi cada del jugador i-ésimo, reexione sobre cuál será el objetivo de este al momento de elegir xi (b) Compute la función de mejor respuesta del jugador i-ésimo (c) Determine todas las estrategias racionalizables (d) Obtenga todos los equilibrios Nash para el caso donde n = 3 (e) Obtenga todos los equilibrios de Nash para el caso donde n = 4 6