VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES • El concepto t de d variables i bl aleatorias l t i independientes i d di t está tá directamente relacionado con el de sucesos independientes. • Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, P A / B P A • Con esta misma idea, idea dos variables X e Y serán independientes cuando el conocimiento del valor de una de ellas, ppor ejemplo, j p X = x, no modifica la distribución de probabilidad de la otra variable, Y. Esto significa que la distribución de la variable Y / X x es la misma que la di t ib ió de distribución d la l variable i bl Y. Y VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES • IIguall que en ell caso de d sucesos, ell concepto t de d independencia de variables recoge también ideas intuitivas • Ejemplo: 1. Para las variables X: peso de un individuo; Y: altura de un individuo ¿parecen X e Y variables ariables independientes? 2. Si estudiamos las variables X dduración X: ió de d un componente t de d un ordenador; d d Y: tiempo de respuesta del equipo al procesar un trabajo ¿parecen X e Y variables independientes? VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES • ¿Cuál va a ser el tratamiento matemático para variables aleatorias independientes? • En el caso de sucesos: 1. A y B son sucesos independientes si y sólo sí: P A B P A P B 2. Para el caso de n sucesos, A1 , A2 ,..., An son independientes sí y solo sí, para cualquier subconjunto, Ai1 , Ai 2 ,..., Aik se verifica que: P Ai1 Ai 2 ... Aik P Ai1 P Ai 2 ... P Aik • La idea que se recoge es que si varios sucesos son independientes la probabilidad de cualquier intersección independientes, se calcula como PRODUCTO de probabilidades. INDEPENDENCIA DE n VARIABLES ALEATORIAS, X1,X2,...,Xn Sean X1,X2,...,Xn variables aleatorias que toman los valores x1, x2, ..., xn, respectivamente. Si las variables X1,X2,...,Xn son INDEPENDIENTES,, P X 1 x1 X n xn Si las variables son discretas, se calcula como: P X 1 x1 P X 2 x2 ... P X n xn • Si las variables son continuas, se va a medir mediante: f X1 x1 f X 2 x2 ... f X n xn Estas igualdades se usarán en el tema de estimación. PROPIEDADES DE ESPERANZAS Y VARIANZAS • Sean X1,X2,...,Xn variables aleatorias y sean a1,a2,...,an, b números reales. Si Siempre se verifica ifi que: Ea1X1 a2 X2 an Xn b a1E[X1] a2E[X2] anE[Xn]b. • (generalización de la propiedad E[aX+b] = aE[X]+b) Solamente si X1,X2,...,Xn son independientes: 2 2 2 V aX a X a X b a V X a V X a 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n V Xn (generalización de la propiedad V(aX+b) = a2V(X)) EJEMPLO Problema 7: X: número de bucles DO en un programa e Y: número de ejecuciones necesarias para depurar dicho programa. xi 0 1 2 3 pi 0 0.210 210 0.298 0 298 0.277 0 277 00.215 215 a ) P X 1 b) P Y 2 yi 1 2 3 4 qi 00.267 267 00.397 397 00.302 302 00.034 034 c) P Y 2 / X 1 sabiendo bi d que P Y 2 X 1 0.205 0 205 Determinar si X e Y son independientes. d) Media y varianza de la variable Z = X-2Y+3