D - Canek

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Circuito RLC de corriente alterna.
E: Un circuito RLC está formado por un resistor R D 12 , un capacitor C D 0:1 F y un inductor
L D 2 H. Se conecta una fuente de voltaje que suministra 20 cos 5t V. Si inicialmente el capacitor
está descargado y no circula corriente alguna por el circuito, encuentre una expresión para la
carga y la corriente en todo tiempo t.
D: H Cuando una corriente I circula sobre un circuito RLC, se producen diferentes caídas de
voltaje dependiendo del elemento que se cruce. Las caídas son RI cuando se cruza una reQ
sistencia, LI 0 cuando la corriente pasa por un inductor y
cuando la corriente pasa por un
C
capacitor.
De acuerdo con la ley de Kirchhoff de voltaje la suma de todas estas caídas es igual al voltaje
V .t/ que suministra la fuente. Tenemos entonces que la ED que describe la carga Q.t/ sobre el
capacitor en este circuito RLC es
L
d 2Q
dQ
Q
d 2Q
dQ
Q
C
R
C
D
V
.t/
)
2
C 12
C
D 20 cos 5t:
2
2
dt
dt
C
dt
dt
0:1
Esta ecuación se puede expresar como:
dQ
d 2Q
C6
C 5Q D 10 cos 5t:
2
dt
dt
La ecuación característica es
r 2 C 6r C 5 D 0 ) .r C 1/.r C 5/ D 0;
las raíces son r1 D 1 & r2 D 5. Por lo tanto, la solución complementaria es
Qc .t/ D c1 e
t
C c2 e
5t
:
Ahora busquemos una solución particular; para ello observemos que el voltaje de entrada es
de tipo sinusoidal, no relacionado con las raíces 1 & 5, por lo que proponemos:
Qp .t/ D A cos 5t C B sen 5t:
Derivando tenemos:
Qp0 .t/ D
5A sen 5t C 5B cos 5tI
Qp00.t/
25A cos 5t
D
25B sen 5t:
d 2Q
dQ
Sustituyendo en la ED
C
6
C 5Q D 10 cos 5t, resulta:
dt 2
dt
25A cos 5t 25B sen 5t 30A sen 5t C 30B cos 5t C 5A cos 5t C 5B sen 5t D
D . 20A C 30B/ cos 5t C . 30A 20B/ sen 5t D 10 cos 5t:
1. canek.azc.uam.mx: 18/ 1/ 2011
2
De donde resulta el sistema de ecuaciones:
20A C 30B D 10I
30A 20B D 0:
Usamos el método de Cramer para hallar la solución:
10 30 0
20 200
2
D
A D D
I
BD
1 300
13
20 30 30
20 20 10 30 0 300
3
D
D I
1 300
13
20 30 30
20
encontramos que la solución particular es
Qp .t/ D
2
3
cos 5t C
sen 5t:
13
13
Sumando las soluciones particular y complementaria, obtenemos la solución general de la ED
no homogénea:
2
3
Q.t/ D
cos 5t C
sen 5t C c1 e t C c2 e 5t :
13
13
Derivando tenemos la corriente:
I.t/ D
15
10
sen 5t C
cos 5t
13
13
c1 e
t
5c2 e
5t
:
Si ahora usamos las condiciones iniciales Q.0/ D 0 & I.0/ D 0, obtenemos el sistema de ecuaciones:
2
2
C c1 C c2 D 0
c1 C c2 D I
13
13
)
15
15
c1 5c2 D
c1 5c2 D 0
:
13
13
2
1
Sumando las dos ecuaciones obtenemos 4c2 D 1 ) c2 D y sustituyendo en c1 C c2 D
4
13
2
1
5
se obtiene c1 D
D
:
13 4
52
Entonces, la carga sobre el capacitor es

Q.t/ D
2
3
cos 5t C
sen 5t
13
13

5
e
52
t
1
C e
4
5t
C
y la corriente que circula sobre el circuito está dada por:
I.t/ D
10
15
5
sen 5t C
cos 5t C e
13
13
52
t
5
e
4
5t
A.
Observemos que los dos últimos términos en Q.t/ & I.t/ desaparecerán paulatinamente quedando
sólo los dos primeros. En consecuencia, el capacitor se estará descargando y cargando completamente con un periodo de
2
2
T D
D
s:
w
5