TOPOLOGÍA

TOPOLOGÍA
Curso 2011/2012
Capítulo 1
Espacios métricos
1.1.
Medir la proximidad
Sea X un conjunto. Denotaremos por X × X al conjunto de los pares
de elementos de X.
Definición 1.1.1. Una distancia sobre X es una aplicación d : X ×X →
R cumpliendo:
1. d(x, x′ ) ≥ 0, ∀x, x′ ∈ X,
2. d(x, x′ ) = d(x′ , x), ∀x, x′ ∈ X (Propiedad simétrica),
3. d(x, x′ ) = 0 si y sólo si x = x′ , ∀x, x′ ∈ X,
4. d(x, x′ ) ≤ d(x, x′′ )+d(x′′, x′ ), ∀x, x′ , x′′ ∈ X (Propiedad triangular),
Al par (X, d) se le llama espacio métrico. Si la condición (3) se sustituye
por
(3′ ) d(x, x) = 0,
entonces d se llama seudodistancia y el par (X, d) espacio seudométrico.
Ejemplo 1.1.2. (Análisis I) Se toma X = R y se define d(x, x′ ) = |x−x′ |.
Ejemplo 1.1.3. (Geometría)
Se toma X = R2 y se define d((x, y), (x′, y ′)) =
p
||(x, y) − (x′ , y ′)|| = (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 .
Definición 1.1.4. Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma sobre
V es una aplicación || · || : V → R cumpliendo:
1. ||v|| ≥ 0, ∀v ∈ V ,
2
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
3
2. ||λv|| = |λ| · ||v||, ∀λ ∈ R, ∀v ∈ V ,
3. ||v|| = 0 si y sólo si v = 0, ∀v ∈ V ,
4. ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||, ∀v, w ∈ V .
Al par (V, || · ||) se le llama espacio normado.
Proposición 1.1.5. Si (V, || · ||) es un espacio normado, la aplicación
d : V × V → R dada por d(v, w) = ||v − w|| es una distancia sobre V .
A (V, d) se le llama espacio métrico asociado al espacio normado
(V, || · ||).
Demostración. Veremos a continuación que d cumple las condiciones que
hacen a una aplicación distancia:
1. d(v, w) = ||v − w|| ≥ 0 por la propiedad 1 de la norma.
2. d(v, w) = ||v − w|| = ||(−1)(w − v)|| = | − 1| · ||w − v|| = ||w − v||,
donde se ha usado la propiedad 2 de la norma en la tercera igualdad.
3. Por definición, d(v, w) = 0 si y sólo si ||v−w|| = 0. Por la propiedad
3 de la norma, esto ocurre si y sólo si v − w = 0, es decir, v = w.
4. d(v, v ′) = ||v − v ′ || = ||v − v ′′ + v ′′ − v ′ || ≤ ||v − v ′′ || + ||v ′′ − v ′ || =
d(v, v ′′) + d(v ′′ , v ′ ), donde se ha usado la propiedad 4 de la norma
para conseguir la desigualdad.
Veremos a continuación algunos ejemplos de espacios normados y sus
distancias asociadas.
Ejemplo 1.1.6. Si V = R y || · || =valor absoluto, entonces (V, || · ||) es
un espacio normado con distancia asociada d(x, x′ ) = |x − x′ |.
Ejemplo 1.1.7. Si V = R2 y p
|| · || es la habitual en Geometría, es decir,
la norma euclídea ||(x, y)|| = x2 + y 2, entonces (V, || · ||) es un espacio
normado. Su distancia asociada, que llamaremos
distancia euclídea y
p
′
′
′
2
denotaremos de , es de ((x, y), (x , y )) = (x − x ) + (y − y ′)2 .
Ejemplo 1.1.8. Si V = R2 , entonces ||(x, y)||taxi = |x| + |y| es una
norma. La cuarta propiedad de la definición de norma se demostraría
así: ||(x, y) + (x′ , y ′)||taxi = |x + x′ | + |y + y ′ | ≤ |x| + |x′ | + |y| + |y ′| =
||(x, y)||taxi + ||(x′ , y ′)||taxi .
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
4
A esta norma se le llama norma taxi y a su distancia asociada distancia taxi : dtaxi ((x, y), (x′ , y ′)) = |x − x′ | + |y − y ′|.
2
En el plano R√
, las distancias entre los puntos (0, 0) y (1, 1) son
de ((0, 0), (1, 1)) = 2 y dtaxi ((0, 0), (1, 1)) = 2.
Figura 1.1:
Ejemplo 1.1.9. Si V = R2 , ||(x, y)||max = máx{|x|, |y|} es una norma.
Probaremos a continuación su cuarta propiedad:
Se cumple que |x + x′ | ≤ |x| + |x′ | ≤ máx{|x|, |y|} + máx{|x′ |, |y ′|} =
||(x, y)||max + ||(x′ , y ′)||max . Podemos hacer lo mismo con |y + y ′|, luego
tenemos que
||(x, y)+(x′ , y ′)||max = máx{|x+x′ |, |y+y ′|} ≤ ||(x, y)||max +||(x′ , y ′ )||max .
Su distancia asociada es dmax ((x, y), (x′ , y ′)) = máx{|x − x′ |, |y − y ′ |},
que llamaremos distancia del máximo.
Ejemplo 1.1.10.p
SiP
tomamos V = Rn , n ≥ 2, la norma euclídea es ahora
n
2
||(x1 , . . . , xn )|| =
i=1 xi . Su distancia asociada, que también
pPn llamare2
mos distancia euclídea, es de ((x1 , . . . , xn ), (y1, . . . , yn )) =
i=1 (xi − yi ) .
n
Análogamente,
las normas taxi y máximo para R son ||(x1 , . . . , xn )||taxi =
Pn
≤ n}, siendo sus distani=1 |xi | y ||(x1 , . . . , xn )||máx = máx{|xi |; 1 ≤ i P
cias asociadas dtaxi ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = ni=1 |xi − yi | y
dmáx ((x1 , . . . , xn ), (y1, . . . , yn )) = máx{|xi − yi|; 1 ≤ i ≤ n}, respectivamente.
Ejemplo 1.1.11. V = {f : R → R; f es acotada} es un espacio vectorial
con:
Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x),
Producto por escalar: (λf )(x) = λf (x).
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
5
Se define ||f ||∞ = sup{|f (x)|; x ∈ R}, que se demuestra que es norma:
1. ||f ||∞ ≥ 0 porque es un supremo de valores absolutos.
2. ||λf ||∞ = sup{|λ||f (x)|; x ∈ R} = |λ| sup{|f (x)|; x ∈ R} = |λ|||f ||∞.
3. Si ||f ||∞ = 0 = sup{ |f (x)|, x ∈ R}, entonces |f (x)| = 0, para todo
x ∈ R, luego f es la función nula θ(x) = 0, para todo x ∈ R.
4. ||f + g||∞ = sup{|f (x) + g(x)|; x ∈ R}. Ahora bien, |f (x) + g(x)| ≤
|f (x)| + |g(x)| ≤ sup{|f (x)|, x ∈ R} + sup{|g(x)|, x ∈ R} = ||f ||∞ +
||g||∞. Por tanto, ||f + g||∞ ≤ ||f ||∞ + ||g||∞.
La norma anterior se llama norma del supremo y su distancia asociada es
d∞ = sup{|f (x) − g(x)|, x ∈ R}, que se denotará distancia del supremo.
Veremos a continuación con un ejemplo concreto cómo funcionan esta
norma y distancia.
Ejemplo 1.1.12. Si f (x) = sen(x), entonces ||f ||∞ = 1. Si tomamos
g(x) = cos(x), se tiene d∞ (f, g) = 1.
Figura 1.2:
Se define la sucesión de funciones {fn } como fn = (1/n) sen(x) y
se denota por θ a la función nula. Entonces d∞ (fn , θ) = 1/n y la sucesión {fn } se aproxima arbitrariamente a la constante cero en el espacio
(V, d∞ ).
Definiremos a continuación otra norma:
Ejemplo 1.1.13. Si V = {f : [0, 1] → R; f continua}, entonces ||f ||1 =
R1
R1
|f
(x)|dx
es
una
norma
cuya
distancia
asociada
es
d
(f,
g)
=
|f (x)−
1
0
0
g(x)|dx.
1. ||f ||1 ≥ 0 porque |f (x)| ≥ 0 para todo 0 ≤ x ≤ 1.
R1
R1
2. ||λf ||1 = 0 |λ| · |f (x)|dx = |λ| 0 |f (x)|dx = |λ| · ||f ||1.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
6
Figura 1.3:
R1
3. Si ||f ||1 = 0 |f (x)|dx, entonces |f (x)| = 0 para todo x ∈ R, luego
f es la función nula θ(x) = 0 para todo x ∈ R.
R1
R1
R1
4. ||f +g||1 = 0 |f (x)+g(x)|dx ≤ 0 (|f (x)|+|g(x)|)dx = 0 |f (x)|dx+
R1
|g(x)|dx = ||f ||1 + ||g||1.
0
En general, podemos definir ||f ||n =
qR
1
n
0
|f (x)|n dx.
Comprobaremos a continuación que las distancias d1 y d∞ son distintas.
Ejemplo 1.1.14. Para la sucesión {fn } descrita en el siguiente dibujo
se tiene que d1 (fn , θ) = 1/2n+1, luego fn se acerca todo lo que se quiera a
θ en (V, d1 ). Sin embargo, d∞ (fn , θ) = 1 para todo n, luego fn permance
separada de θ en (V, d∞ ).
Figura 1.4:
Veamos ahora un ejemplo de seudodistancia.
Ejemplo 1.1.15. Dado el espacio vectorial V = {f : [0, 1] → R; f continua},
entonces dmeta = |f (1) − g(1)| es una suedodistancia. No es distancia
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
7
porque si tomamos dos funciones f, h que sean distintas pero que coincidan en el punto 1, entonces dmeta (f, h) = 0. Podemos darle un sentido a esta seudodistancia si observamos una función creciente en V con
f (0) = 0 puede ser considerada como la expresión del tiempo que tarda
un corredor en pasar por cada punto de su carrera entre la salida en x = 0
y la meta en x = 1. De esta forma dmeta mide la diferencia del tiempo de
llegada.
Figura 1.5:
Definiremos ahora una distancia válida para cualquier conjunto.
Ejemplo 1.1.16. Dado
X, la aplicación d : X × X → R
un conjunto
′
1,
x
=
6
x
definida por d(x, x′ ) =
es una distancia, que denotaremos
0, x = x′
distancia discreta.
1. Trivial por definición.
2. d(x, x′ ) = d(x′ , x) por definición.
3. d(x, x′ ) = 0 si y sólo si x = x′ .
4. La aplicación d sólo puede tomar los valores 0 y 1, luego la única
posibilidad de que la desigualdad d(x, x′ ) ≤ d(x, x′′ ) + d(x′′ , x′ )
falle sería si d(x, x′ ) = 1 pero entonces d(x, x′′ ) = 0 = d(x′′ , x′ ). Sin
embargo, este caso no puede ocurrir porque d(x, x′′ ) = 0 = d(x′′ , x′ )
implica x = x′ = x′′ , luego d(x, x′ ) = 0.
Proposición 1.1.17. No existe ninguna norma en Rn cuya distancia
asociada sea la discreta.
Demostración. (R.A.) Supongamos que existiese tal norma asociada || · ||
y tomemos x 6= 0 (donde 0 es el origen de Rn ) y λ ∈ R, λ 6= 0. Entonces
λx 6= 0 y 1 = d(λx, 0) = ||λx − 0|| = ||λx|| = |λ| · ||x|| = |λ|. Luego hemos
probado que |λ| = 1 para cualquier λ ∈ R, λ 6= 0. Contradicción.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
8
En el plano euclídeo (R2 , deuclı́dea )(plano), los círculos de centro un
punto x permiten medir la proximidad a ese punto.
Figura 1.6:
Esta observación lleva a la siguiente definición general
Definición 1.1.18. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Dados x ∈ X
y ε > 0, se llama bola abierta de centro x y radio ε a
Bd (x, ε) = {y ∈ X; d(x, y) < ε}.
Una bola cerrada de centro x y radio ε es
Bd [x, ε] = {y ∈ X; d(x, y) ≤ ε}.
Una esfera de centro x y radio ε es
Sd [x, ε] = {y ∈ X; d(x, y) = ε}.
Ejemplo 1.1.19. En la recta euclídea (R, de ), tenemos Bde (x, ε) = {y ∈
R, |x − y| < ε} = (x − ε, x + ε).
Ejemplo 1.1.20. En el plano euclídeo (R2 , de ), la p
bola Bde (0, ε) =
2
2
{(x1 , x2 ) ∈ R , de ((x1 , x2 ), 0) < ε} = {(x1 , x2 ) ∈ R , x21 + x22 < ε} =
{(x1 , x2 ) ∈ R2 , x21 + x22 < ε2 }, sería un círculo sin circunferencia de centro
(0, 0) y radio ε.
Ejemplo 1.1.21. En (R2 , dtaxi ), la bola abierta de centro 0 y radio ε
es Bdtaxi (0, ε) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , dtaxi ((x1 , x2 ), 0) < ε} = {(x1 , x2 ) ∈
R2 , |x1 | + |x2 | < ε}.
Si x1 , x2 ≥ 0, entonces |x1 | + |x2 | < ε implica x1 + x2 < ε.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
9
Figura 1.7:
Si x1 , x2 ≤ 0, entonces |x1 | + |x2 | < ε implica −x1 − x2 < ε.
Si x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, entonces |x1 | + |x2 | < ε implica x1 − x2 < ε.
Si x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, entonces |x1 | + |x2 | < ε implica x2 − x1 < ε.
Por tanto, Bdtaxi (0, ε) sería un cuadrado sin su borde de centro 0 y
con esquinas en (ε, 0), (0, ε), (−ε, 0) y (0, −ε).
Ejemplo 1.1.22. En (R2 , dmax ), la bola abierta de centro 0 y radio ε
es Bdmax (0, ε) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , dmax ((x1 , x2 ), 0) < ε} = {(x1 , x2 ) ∈
R2 , máx{|x1 |, |x2 |} < ε} = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , |x1 | < εy |x2 | < ε}.
Por tanto, Bdmax (0, ε) sería un cuadrado sin su borde centrado en 0,
con sus lados (de longitud 2ε) paralelos a los ejes de coordenadas.
Figura 1.8:
Ejemplo 1.1.23. Sean X = {f : R → R, f es acotada} y la distancia
d∞ = sup{|f (x)−g(x)|}. Si denotamos por θ la función constate nula, entonces Bd∞ (θ, ε) = {f ∈ X, d∞ (f, θ) < ε} = {f ∈ X, sup{|f (x)|} < ε} =
{f ∈ X, −ε < |f (x)| < ε} = {f : R → R| gráfico de f está entre y =
−ε e y = ε}.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
10
Figura 1.9:
Ejemplo 1.1.24. Si tomamos X = R2 , la distancia
discreta ddiscreta y el
{θ}, ε ≤ 1
punto θ = (0, 0), entonces Bddiscreta (θ, ε) =
R2 , ε > 1
Proposición 1.1.25. (Propiedades de las bolas abiertas)
Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Se cumplen:
1. Dados ε > 0 y x ∈ X, x ∈ Bd (x, ε).
1’. Si 0 < ε′ < ε, entonces Bd (x, ε′ ) ⊆ Bd (x, ε).
2. Si y ∈ Bd (x, ε), donde x, ε son arbitrarios, entonces existe δ > 0
con Bd (y, δ) ⊆ Bd (x, ε).
3. Si z ∈ Bd (x, ε) ∩Bd (x′ , ε′), entonces existe µ > 0 tal que Bd (z, µ) ⊆
Bd (x, ε) ∩ Bd (x′ , ε′ ).
Demostración.
1. Como d(x, x) = 0 < ε, entonces x ∈ Bd (x, ε).
1’. Si y ∈ Bd (x, ε′ ), entonces d(x, y) < ε′ < ε. Por tanto, d(x, y) < ε y
concluimos que y ∈ Bd (x, ε).
2. Como y ∈ Bd (x, ε), entonces d(x, y) < ε y podemos definir δ :=
ε − d(x, y) > 0. Veremos ahora que Bd (y, δ) ⊆ Bd (x, ε). En efecto,
si p ∈ Bd (y, δ), entonces d(y, p) < δ y d(x, p) ≤ d(x, y) + d(y, p) <
d(x, y) + δ = d(x, y) + ε − d(x, y) = ε. Hemos probado que d(x, p) <
ε, es decir, que p ∈ Bd (x, ε).
3. Si z ∈ Bd (x, ε) ∩ Bd (x′ , ε′ ), entonces:
• z ∈ Bd (x, ε), luego existe δ con Bd (z, δ) ⊆ Bd (x, ε) por el
apartado (2).
• z ∈ Bd (x′ , ε′ ), luego existe δ ′ con Bd (z, δ ′ ) ⊆ Bd (x′ , ε′ ) por el
apartado (2).
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
11
Figura 1.10:
Figura 1.11:
Si tomamos µ = mı́n{δ, δ ′ } > 0, entonces Bd (z, µ) ⊆ Bd (z, δ) ⊆
Bd (x, ε) y Bd (z, µ) ⊆ Bd (z, δ ′ ) ⊆ Bd (x′ , ε′ ). Podemos concluir que
Bd (z, µ) ⊆ Bd (x, ε) ∩ Bd (x′ , ε′ ).
Proposición 1.1.26. (Propiedad de separación de Hausdorff ) Si (X, d)
es un espacio métrico y x 6= x′ ∈ X, entonces existe ε > 0 tal que
Bd (x, ε) ∩ Bd (x′ , ε) = ∅.
Demostración. Como (X, d) es un espacio métrico, entonces d(x, x′ ) =
λ > 0. Sea ε = λ/2. Afirmamos que Bd (x, ε) ∩ Bd (x′ , ε) = ∅.
(R.A.) Si existiese y ∈ Bd (x, ε) ∩ Bd (x′ , ε), entonces d(x, y) < ε y
d(x′ , y) < ε. Luego d(x, x′ ) ≤ d(x, y) + d(y, x′ ) < ε + ε = 2ε = λ y
concluimos que d(x, x′ ) < λ, lo cual es absurdo.
Ejemplo 1.1.27. En R2 , d((x, x′ ), (y, y ′)) = |x − y| es seudodistancia pero no distancia porque d((0, 0), (0, 1)) = 0 < ε, luego (0, 1) ∈
Bd ((0, 0), ε), para todo ε > 0. Por tanto, Bd ((0, 1), ε) ∩ Bd ((0, 0), ε) 6= ∅
para todo ε > 0.
El punto (0, 1) no se puede separar nunca del (0, 0).
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
1.2.
12
Conjuntos que “envuelven” a sus puntos
Un círculo abierto del plano contiene todos los puntos del plano que
rodean su centro hasta una cierta distancia (el radio del círculo), igualmente una bola abierta de un espacio (seudo)métrico. Más aún, de acuerdo con la propiedad 1.1.25(2), una bola abierta cualquiera contiene todos
los puntos vecinos de cada uno de sus puntos hasta una cierta distancia
(que varía según el punto elegido). Pero tambíén figuras de aspecto geométrico irregular pueden “envolver´´ a algunos de sus puntos (incluso a
todos): bastará que contenga alguna bola abierta, por pequeña que sea,
centrada en cada uno de esos puntos.
Figura 1.12:
Para fijar ideas establecemos las siguientes definiciones
Definición 1.2.1. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y A ⊆ X. Decimos que x ∈ X es un punto interior de A si existe ε > 0 tal que
Bd (x, ε) ⊆ A. En tal caso se dice que A es entorno de x en (X, d).
Se llama interior de A en (X, d), denotado por intA, a:
intA = {x ∈ X, x es interior a A}.
Un conjunto A ⊆ X se dice abierto en (X, d) si A = intA.
Proposición 1.2.2.
1. Se cumple que intA ⊆ A en todo espacio (seudo)métrico (X, d).
2. Toda bola abierta en un espacio (seudo)métrico es un conjunto
abierto en (X, d).
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
13
Demostración.
1. Si x ∈ intA, entonces existe ε > 0 con Bd (x, ε) ⊆ A.
Por el apartado 1 de la Proposición 1.1.25, x ∈ Bd (x, ε) ⊆ A, luego
x ∈ A. Por tanto, intA ⊆ A.
2. Demostraremos que intBd (x, ε) = Bd (x, ε) por doble inclusión.
intBd (x, ε) ⊆ Bd (x, ε) por (1).
intBd (x, ε) ⊇ Bd (x, ε): Sea y ∈ Bd (x, ε). Por el apartado 2 de la
Proposición 1.1.25, existe δ > 0 tal que Bd (y, δ) ⊆ Bd (x, ε), luego
y ∈ intBd (x, ε).
El siguiente resultado muestra que todo “control de proximidad"tiene
a los abiertos y no al valor numérico de la (seudo) distancia que los genera
como elemento fundamental.
Figura 1.13:
Proposición 1.2.3. En los espacios métricos (R2 , de (euclídea)), (R2 , dtaxi )
y (R2 , dmax ), cualquier conjunto A ⊆ R2 tiene el mismo interior. Por tanto, las familias de los conjuntos abiertos de los tres espacios coinciden.
Demostración. Si x = (x1 , x2 ) ∈ intA en (R2 , de (euclídea)), entonces existe ε > 0 tal que Bde (x, ε) ⊆pA. Ahora bien, Bde (x, ε) = {y = (y1 , y2) ∈
R2 , de (x, y) < ε} = {y ∈ R2 , (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 < ε}, de donde se
sigue fácilmente que:
√
Bdmax (x, 2ε/2) ⊆ Bde (x, ε) ⊆ A, luego x ∈ intA en (R2 , dmax ).
Bdtaxi (x, ε) ⊆ Bde (x, ε) ⊆ A, luego x ∈ intA en (R2 , dtaxi ).
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
14
Figura 1.14:
Figura 1.15:
Sea x = (x1 , x2 ) ∈ intA en (R2 , dtaxi ). Entonces existe ε > 0 tal que
Bdtaxi (x, ε) ⊆ A. Como Bdtaxi (x, ε) = {y = (y1 , y2) ∈ R2 , dtaxi (x, y) <
ε} = {y ∈ R2 , |x1 − y1 | + |x2 − y2 | < ε}, tenemos que:
√
Bde (x, 2ε/2) ⊆ Bdtaxi (x, ε) ⊆ A, luego x ∈ intA en (R2 , de ).
Figura 1.16:
Bdmax (x, ε/2) ⊆ Bde (x,
en (R2 , dmax ).
√
2ε/2) ⊆ Bdtaxi (x, ε) ⊆ A, luego x ∈ intA
El resto se deja como ejercicio (bastaría probar que si x ∈ intA en
(R , dmax ), entonces x ∈ intA en (R2 , de ) y (R2 , dtaxi )).
2
Corolario 1.2.4. Las bolas abiertas de (R2 , de ), son abiertos en (R2 , dtaxi )
y (R2 , dmax ). Análogamente para el resto de los casos.
Nota 1.2.5. Se deja como ejercicio generalizar los dos resultados anteriores al espacio Rn para todo n ≥ 2.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
15
Proposición 1.2.6. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Entonces:
1. A ⊆ X es abierto en (X, d) si y sólo si A es entorno de todos sus
puntos.
2. N ⊆ X es entorno de x en (X, d) si y sólo si existe un abierto G
en (X, d) con x ∈ G ⊆ N.
3. x es un punto interior de A en (X, d) si y sólo si existe un abierto
G con x ∈ G ⊆ A.
Demostración.
1. Si A ⊆ X es abierto, entonces A = intA. Por tanto,
dado x ∈ A se tiene que x ∈ intA. Es decir, que A es entorno de
todos x ∈ A.
Recíprocamente, si A es entorno de todo x ∈ A, entonces x ∈ intA,
para todo x ∈ A por definición de entorno. Luego A ⊆ intA y,
como la inclusión contraria siempre es cierta, concluimos que A es
abierto.
2. Si N ⊆ X es entorno de x, entonces existe un ε > 0 tal que
Bd (x, ε) ⊆ N. Como las bolas abiertas son abiertos, entonces podemos definir G := Bd (x, ε), que es un abierto en (X, d). Como x ∈ G
(por ser el centro de la bola), entonces x ∈ G ⊆ N.
Recíprocamente, supongamos que x ∈ G ⊆ N con G abierto. Por
ser G abierto, entonces G = intG y x ∈ intG. Por la definición de
interior, existe ε > 0 tal que Bd (x, ε) ⊆ G ⊆ N, luego x ∈ intN y
obtenemos que N es entorno de x.
3. Por definición, x ∈ intA si y sólo si A es entorno de x.
Proposición 1.2.7. (Propiedades del interior) Sea (X, d) un espacio
(seudo)métrico. Entonces:
1. intA ⊆ A.
2. Si A ⊆ B, entonces intA ⊆ intB.
3. int(A1 ∩ . . . ∩ An ) = intA1 ∩ . . . ∩ intAn .
4. int(intA) = intA. En particular, intA siempre es abierto.
Demostración.
1. Ya hecha en el apartado 2 de 1.2.2.
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
16
2. Si x ∈ intA, entonces existe ε > 0 con Bd (x, ε) ⊆ A ⊆ B. Por
tanto, Bd (x, ε) ⊆ B y concluimos que x ∈ intB.
3. Demostraremos int(A1 ∩ . . . ∩ An ) = intA1 ∩ . . . ∩ intAn por doble
inclusión.
Siempre es cierto que A1 ∩ . . . ∩ An ⊆ Ai , (1 ≤ i ≤ n). Por tanto,
int(A1 ∩ . . . ∩ An ) ⊆ intAi , para todo i, y obtenemos int(A1 ∩ . . . ∩
An ) ⊆ intA1 ∩ . . . ∩ intAn .
Si x ∈ intA1 ∩ . . . ∩ intAn , entonces x ∈ intAi para todo 1 ≤
i ≤ n. Para cada i existe δi > 0 de forma que Bd (x, δi ) ⊆ Ai . Si
tomamos δ0 = mı́n{δi }1≤i≤n , Bd (x, δ0 ) ⊆ Bd (x, δi ) ⊆ Ai , ∀i. Por
tanto, Bd (x, δ0 ) ⊆ ∩ni=1 Ai y concluimos que x ∈ ∩ni=1 Ai .
4. Por el primer apartado, intA ⊆ A. Por el segundo, int(intA) ⊆
intA. Veamos a continuación la otra inclusión.
Si x ∈ intA, entonces existe ε > 0 tal que Bd (x, ε) ⊆ A. Queremos
probar que x ∈ int(intA), es decir, que existe δ > 0 con Bd (x, δ) ⊆
intA.
Ahora bien, nos sirve como δ el propio ε porque Bd (x, ε) ⊆ intA. En
efecto, dado y ∈ Bd (x, ε), por el apartado 2 de la proposición 1.1.25,
existe µ > 0 on Bd (y, µ) ⊆ Bd (x, ε) ⊆ A. Por tanto, y ∈ intA y
hemos probado que Bd (x, ε) ⊆ intA.
Proposición 1.2.8. (Propiedades básicas de los conjuntos abiertos en
un espacio (seudo)métrico). Dado un espacio (seudo)métrico (X, d), se
cumplen:
1. Los conjuntos ∅ y X son abiertos en (X, d).
CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS
17
2. Si A1 , . . . , An son abiertos en (X, d), entonces A1 ∩. . .∩An también
es abierto.
3. Si {Aα }α∈Λ es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), entonces ∪α∈Λ Aα también lo es.
Demostración.
1. El conjunto X es abierto en (X, d) porque dados
x ∈ X y ε > 0 cualesquiera, Bd (x, ε) ⊆ X por ser X el espacio
total, luego x ∈ intX, ∀x ∈ X.
Por otra parte, ∅ está contenido en cualquier conjunto, luego ∅ ⊆
int∅. La otra inclusión siempre es cierta, luego ∅ = int∅ y concluimos que ∅ es abierto.
2. Si A1 , . . . , An son abiertos en (X, d), entonces intAi = Ai para
todo 1 ≤ i ≤ n. Por la proposición anterior, obtendríamos que
∩ni=1 Ai = ∩ni=1 intAi = int(∩ni=1 Ai ), luego ∩ni=1 Ai es abierto.
3. Si {Aα }α∈Λ es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), queremos probar que int(∪α∈Λ Aα ) = ∪α∈Λ Aα .
La inclusión int(∪α∈Λ Aα ) ⊆ ∪α∈Λ Aα es siempre cierta.
Veremos ahora que la otra inclusión también se cumple. Como Aα
es abierto, ∪α∈Λ Aα = ∪α∈Λ intAα . El conjunto Aα está contenido
en ∪α∈Λ Aα , luego intAα ⊆ int(∪α∈Λ Aα ), ∀α ∈ Λ por la proposición 1.2.7. Por tanto, ∪α∈Λ intAα ⊆ int(∪α∈Λ Aα ) y concluimos que
∪α∈Λ Aα ⊆ int(∪α∈Λ Aα ).
Capítulo 2
Espacios topológicos
En el capítulo anterior vimos que distacias distintas podían dar lugar
a un mismo çontrol de proximidad". Por tanto debe existir una noción
subyacente a la de distancia que nos lleve a la fundamentación general de
la idea de proximidad. Esta estructura es la de topología como colección
de subconjuntos sujetos a las condiciones que se reflejan en la propiedades
básicas de los conjuntos abiertos de los espacios (seudo)métricos en la
proposición 1.2.8. El relevo de una (seudo)distancia por la familia de
abiertos permite establecer sobre un conjunto una estructura de proximidad sin valores numéricos.
2.1.
La proximidad sin distancia
Definición 2.1.1. Dado un conjunto X cualquiera, se llama topología
sobre X a cualquier familia T de subconjuntos de X cumpliendo:
1. Los conjuntos ∅ y X están en T .
2. Si A1 , . . . , An están en T , entonces ∩ni=1 Ai también está en T .
3. Si {Aα }α∈Λ está formada por conjuntos en T , entonces ∪α∈Λ Aα
también está en T .
Al par (X, T ) se le llama espacio topológico. Los conjuntos de T se llaman
abiertos del espacio topológico (X, T ).
Ejemplo 2.1.2. Si (X, d) es un espacio (seudo)métrico, entonces la familia Td = {A ⊆ X; A es abierto en (X, d)} es una topología sobre X,
llamada topología asociada a la distancia d. Esto es una consecuencia inmediata de las propiedades básicas de los conjuntos abiertos en espacios
(seudo)métricos.
18
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
19
Nota 2.1.3. Se cumple que Tdeuclı́dea = Tdtaxi = Tdmax , es decir, que el
espacio topológico asociado a las tres distancias es el mismo.
Ejemplo 2.1.4. Sea X un conjunto cualquiera y T la familia formada
por ∅ y todos los A ⊆ X con X − A finitos (Topología de Zariski o
cofinita). Comprobaremos a continuación que T es topología sobre X:
1. ∅ ∈ T por definición.
X ∈ T porque X − X = ∅, que tiene 0 elementos.
2. Dados A1 , . . . , An ∈ T , tenemos dos casos posibles:
Si algún Ai = ∅, entonces A1 ∩ . . . ∩ An = ∅ ∈ T .
Si Ai 6= ∅, para todo 1 ≤ i ≤ n, entonces X − Ai es un
conjunto finito para todo 1 ≤ i ≤ n. Como X − (∩ni=1 Ai ) =
∪ni=1 (X − Ai ) es unión finita de conjuntos finitos, entonces es
finito y concluimos que ∩ni=1 Ai ∈ T .
3. Si {Aα }α∈Λ con Aα ∈ T para todo α ∈ Λ, queremos probar que
∪α∈Λ Aα ∈ T . Distinguiremos dos casos:
Si Aα = ∅ para todo α ∈ Λ, entonces ∪α∈Λ Aα = ∅ ∈ T .
Si Aα0 6= ∅ para algún α0 , entonces X − Aα0 es finito. Ahora
bien, X − (∪α∈Λ Aα ) = ∩α∈Λ (X − Aα ) ⊆ X − Aα0 (que es
finito), luego X − (∪α∈Λ Aα ) es finito y ∪α∈Λ Aα ∈ T .
Proposición 2.1.5. Si X es infinito, no existe ninguna distancia d sobre X cuyos abiertos sean los conjuntos que aparecen en la topología de
Zariski.
Demostración. (R.A.) Supongamos que existiese tal distancia d con Td =
T . Consideremos x, x′ ∈ X, con x 6= x′ . Por la propiedad de separación
de Hausdorff, existe ε > 0 con Bd (x, ε) ∩ Bd (x′ , ε) = ∅. Tomando complementarios, obtendríamos que X = X − ∅ = X − (Bd (x, ε) ∩ Bd (x′ , ε)) =
(X − Bd (x, ε)) ∪ (X − Bd (x′ , ε)) sería un conjunto infinito (porque por
hipótesis X lo es).
Ahora bien, cada bola es un abierto en Td = T y x ∈ Bd (x, ε) 6=
∅, luego X − Bd (x, ε) y X − Bd (x′ , ε) son conjuntos finitos. Por tanto,
(X−Bd (x, ε))∪(X−Bd (x′ , ε)) sería un conjunto finito. Contradicción.
Nota 2.1.6. Se deja como ejercicio el demostrar que tampoco existe una
seudodistancia d sobre un conjunto infinito X para la cual la topología
de Zariski sea la familia de abiertos de (X, d).
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
2.2.
20
El interior de un conjunto en un espacio
topológico
Hemos basado la definición de espacio topológico en la noción de conjunto abierto. Nuestra experiencia con los espacios (seudo)métricos nos
dice que debería existir una idea de interior en un espacio topológico de
forma que los abiertos de ese espacio quedasen caracterizados como aquellos conjuntos que coinciden con su interior como así ocurre en los espacios
(seudo)métricos. La Proposición 1.2.6(3) sugiere la siguiente definición.
Definición 2.2.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Si A ⊆ X y x ∈ X,
decimos que x es interior a A en (X, T ) si existe un G en T con x ∈
G ⊆ A. En particular, ∈ A.
Se llama interior del conjunto A en (X, T ) al conjunto intA = {x ∈
X; x es interior a A}.
Nota 2.2.2. Obsérvese que por definición, siempre intA ⊆ A.
Proposición 2.2.3. El conjunto A está en T si y sólo si A = intA.
Demostración. Si A está en T , todo a ∈ A cumple que a ∈ A ⊆ A,
luego a ∈ intA. Como A ⊆ intA y la otra inclusión se cumple siempre,
entonces A = intA.
Recíprocamente, si intA = A, entonces todo a ∈ A cumple que a ∈
intA, es decir, que existe Ga en T con a ∈ Ga ⊆ A. Como A = ∪a∈A {a} ⊆
∪a∈A Ga ⊆ A, luego A = ∪a∈A Ga , que está en T por la tercera propiedad
de la definición de topología.
Ahora veremos que las propiedades del interior en un espacio (seudo)métrico se mantienen en los espacios topológicos.
Proposición 2.2.4. Sea (X; T ) un espacio topológico. Entonces se cumplen:
1. intA ⊆ A.
2. Si A ⊆ B, entonces intA ⊆ intB.
3. int(A1 ∩ . . . ∩ An ) = intA1 ∩ . . . ∩ intAn .
4. int(intA) = intA. En particular, intA siempre es abierto.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
21
Demostración. (1) es la Nota 2.2.2. Para demostrar (2), si x ∈ intA
existe un abierto G con x ∈ G ⊆ A ⊆ B; luego x ∈ intB. Así pues,
intA ⊆ intB.
De acuerdo con (2), y como A1 ∩ . . . An ⊆ Ai para cada 1 ≤ i ≤ n,
tenemos int(A1 ∩ . . . An ) ⊆ intAi , y por tanto int(A1 ∩ . . . An ) ⊆ intA1 ∩
intA2 · · ·∩intAn . Para la otra inclusión, sea x ∈ intA1 ∩intA2 · · ·∩intAn .
Por definición, para cada i ≤ n existe un abierto Gi con x ∈ Gi ⊆ Ai .
Por tanto, G = G1 ∩ · · · ∩ Gn es un abierto y x ∈ G ⊆ A1 ∩ · · · ∩ An . Esto
prueba que x ∈ int(A1 ∩ · · · ∩ An ). Esto concluye la demostración de (3).
Finalmente, tenemos int(intA) ⊆ intA por (1). Además, si x ∈ intA
existe un abierto G con x ∈ G ⊆ A. Aplicando la Proposición 2.2.3 y
la propiedad (2), tenemos x ∈ G = intG ⊆ intA. Consecuentemente, la
definición de interior nos da x ∈ int(intA).
Definición 2.2.5. Dado N ⊆ X, decimos que N es entorno de x ∈ X
en el espacio topológico (X, T ) si x ∈ intN.
Proposición 2.2.6. A está en T si y sólo si es entorno de todos sus
puntos.
Demostración. Se deja como ejercicio.
Definición 2.2.7. Dado (X, T ) un espacio topológico, se dice que x ∈ A
es un punto aislado en A ⊆ X si existe G en T con x ∈ G tal que
G ∩ A = {x}.
En particular, x se dice aislado en X si existe G en T con G = {x}.
2.3.
La clausura de un conjunto. Conjuntos
cerrados
Si un punto x ∈ A no es aislado en A, entonces para todos G en T y
x ∈ G se cumple que G ∩ A 6= {x}, es decir, que (G − {x}) ∩ A 6= ∅.
Un punto no aislado se dice punto de acumulación; esto es
Definición 2.3.1. Dado un espacio topológico (X, T ) y A ⊆ X, decimos
que x ∈ X es punto de acumulación de A si para todo abierto G en (X, T )
con x ∈ G, se cumple que (G − {x}) ∩ A 6= ∅.
Proposición 2.3.2. (Caracterización de puntos de acumulación en espacios métricos) Dados (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X, el punto
x ∈ X es de acumulación de A si y sólo si todo abierto G en (X, d)
contiene infinitos puntos de A.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
22
Demostración. Si todo G contiene infinitos puntos de A, entonces el conjunto (G − {x}) ∩ A contiene también infinitos puntos. En particular,
(G − {x}) ∩ A 6= ∅, luego x es de acumulación de A.
Recíprocamente, sea G un abierto en (X, d) con x ∈ G. Como G
es entorno de todos sus puntos, existe ε > 0 tal que Bd (x, ε) ⊆ G.
Por hipótesis, (Bd (x, ε) − {x}) ∩ A 6= ∅, luego existe x1 ∈ A con x1 ∈
Bd (x, ε) − {x}. Como x 6= x1 y d es distancia, ε > d(x, x1 ) = λ > 0.
Figura 2.1:
Sea ε1 = λ/2. Por hipótesis, (Bd (x, ε1 ) − {x}) ∩ A 6= ∅, luego existe
x2 ∈ A con x2 6= x. Además, d(x, x2 ) < ε1 = λ/2 < d(x, x1 ), luego
x2 6= x1 . Como x 6= x2 , 0 < d(x, x2 ) = λ1 < ε1 .
Sea ε2 = λ1 /2 = λ/4. Por hipótesis, (Bd (x, ε2 ) − {x}) ∩ A 6= ∅, luego
existe x3 ∈ A con x3 6= x. Además, d(x, x3 ) < ε2 < λ1 /2 < d(x, x2 ) <
d(x, x1 ), luego x3 6= x2 y x3 6= x1 . Como x 6= x3 , 0 < d(x, x3 ) = λ2 < ε2
y definimos ε3 = λ2 /2.
Reiterando el proceso obtenemos una sucesión de puntos distintos
{xn }n≥1 ⊆ Bd (x, ε) ⊆ G y podemos concluir que G contiene infinitos
puntos de A.
Corolario 2.3.3. Si (X, d) es un espacio métrico y A = {a1 , . . . , an } es
un conjunto finito, todos sus puntos son aislados.
Definición 2.3.4. Dados (X, T ) un espacio topológico y un conjunto
A ⊆ X, decimos que x ∈ X es punto adherente a A si todo abierto G de
T con x ∈ G cumple G ∩ A 6= ∅.
Nota 2.3.5. Si x es de acumulación de A, entonces x es punto de adherencia de A. Cualquier punto x ∈ A (aislado o no) siempre es punto
adherente a A.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
23
Definición 2.3.6. Se llama clausura de A al conjunto
Ā = {x ∈ X; x es adherente a A}.
Por la nota anterior, siempre se cumple A ⊆ Ā. Un conjunto A se llama
cerrado en (X, T ) si Ā = A.
Ejemplo 2.3.7. En al recta euclídea (R, euclídea), el supremo y el ínfimo de un conjunto A (si existen) son puntos adherentes a A; en particular,
si A es cerrado tiene mínimo y máximo, respectivamente. Sea x0 el ínfimo de A, por la definición de ínfimo, para todo ǫ > 0, siempre hay algún
punto aǫ ∈ A con x0 ≤ aǫ ≤ x0 + ǫ. Por otro lado, si G es un abierto
euclídeo con x0 ∈ G existe ǫ0 > 0 con (x0 − ǫ0 , x0 + ǫ0 ) ⊆ G, y por tanto
aǫ/2 ∈ (x0 − ǫ0 , x0 + ǫ0 ) ∩ A ⊆ G ∩ A. Tenemos así que x0 ∈ A.
Si ahora x1 es el supremo, tenemos un elemento a′ǫ ∈ A con x1 − ǫ ≤
′
aǫ ≤ x1 y se razona igual que en caso anterior para llegar a que todo
abierto euclídeo que contega a x1 corta a A; es decir, x1 ∈ A.
Proposición 2.3.8. Sea (X, T ) un espacio topológico. Entonces, para
todo A ⊆ X, se tiene:
A = (A − A′ ) ∪ A′
donde A′ = {x ∈ X, x es punto de acumulación}. Obsérvese que A − A′
es exactamente el conjunto de puntos asilados de A.
Demostración. Veamos la contención hacia la derecha. Si x ∈ A, distinguimos:
-x ∈ A′ , luego hemos terminado.
-x 6∈ A′ , luego existe G abierto, con x ∈ G y (G − {x}) ∩ A = ∅.
Entonces, x es el único punto en G ∩ A. Luego, x ∈ A − A′ . Por tanto,
x ∈ (A − A′ ) ∪ A′ .
Para la otra contención, si x ∈ (A − A′ ) ∪ A′ , distinguimos:
-x ∈ A − A′ , luego x ∈ A ⊆ A, quedando demostrado.
-x ∈ A′ . Entonces, para todo G abierto, con x ∈ G, se verifica que
(G − {x}) ∩ A = ∅, por lo que G ∩ A 6= ∅. Por tanto, x ∈ A.
2.4.
Dualidad interior/clausura y abierto/cerrado
En esta sección veremos que en cualquier espacio topológico el interior y la clausura se determinan recíprocamente; es decir, basta conocer
los interiores de los subconjuntos de un espacio topológico para conocer sus clausuras y recíprocamente. Exactamente se tiene la siguiente
proposición:
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
24
Proposición 2.4.1. (Dualidad interior/clausura)
Sea (X, T ) un espacio topológico. Dado A ⊆ X se tiene:
1. A = X − int(X − A).
2. int(A) = X − (X − A).
Demostración. 1. x ∈ A ⇐⇒ para todo G abierto de (X, T ), con x
∈ G, G ∩ A 6= ∅ ⇐⇒ para todo G abierto de (X, T ), con x ∈ G, G *
X − A ⇐⇒ x 6∈ int(X − A) ⇐⇒ x ∈ X − int(X − A).
2. A partir del apartado anterior, cambiando A por X − A.
Como consecuencia inmediata se tiene.
Proposición 2.4.2. (Dualidad abierto-cerrado) En cualquier espacio
topológico (X, T ) un conjunto A es abierto si y sólo si su complementario X − A es cerrado
Demostración. Tenemos, A abierto ⇐⇒ A = int(A) ⇐⇒(2) A = X −
(X − A) ⇐⇒ X − A = (X − A) ⇐⇒ X − A es cerrado.
A partir de las propiedades del interior y la dualidad en la Proposición 2.4.1 podemos demostrar las siguientes propiedades generales de la
clausura. Aquí las demostraremos directamente, dejando como ejercicio
el hacerlo como se ha indicado anteriormente.
Proposición 2.4.3. (Propiedades de la clausura)
Sea (X, T ) un espacio topológico. Se cumple:
1. Si A ⊆ X entonces A ⊆ A.
2. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B.
3. A1 ∪ ... ∪ An = A1 ∪ ... ∪ An .
4. A = A. En particular, A siempre es cerrado.
Demostración. 1. Ya lo hemos observado antes.
2. Sea x ∈ A, entonces, para todo abierto G de (X, T ) con x ∈ G se
tiene que G ∩ A 6= ∅. Como A ⊆ B, entonces G ∩ A ⊆ G ∩ B. Por lo
tanto, G ∩ B 6= ∅, y de ahí deducimos que x ∈ B. Luego A ⊆ B.
3. Por el apartado anterior, sabemos que si AiS⊆ A1 ∪ ... ∪ An , ∀i, entonces, Ai ⊆ A1 ∪ ... ∪ An , para todo i. Por tanto, ni=1 Ai ⊆ A1 ∪ ... ∪ An .
Para la otra contención, sea x ∈ A1 ∪ ... ∪ An , por definición se tiene
que si G es cualquier abierto de (X, T ) con x ∈ G, se tiene que G ∩ (A1 ∪
... ∪ An ) 6= ∅. Ahora, por reducción al absurdo:
Si x 6∈ A1 ∪ ... ∪ An , entonces x 6∈ Ai , ∀i. De este modo,
T existirá Gi
abierto, con x ∈ Gi y Gi ∩ Ai = ∅, ∀i. Ahora, sea Go = ni=1 Gi , éste
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
25
es un abierto con x ∈ Go . Llegamos así a contradicción con G0 ∩ Ai ⊆
Gi ∩ Ai = ∅, ∀i, implicando G0 ∩ (A1 ∪ ... ∪ An ) = ∅, que no se puede dar.
4. Aplicando el primer apartado, se tendrá que A ⊇ A. Para la otra
contención, tomamos x ∈ A. Entonces, para todo G abierto de (X, T ),
con x ∈ G, G ∩ A 6= ∅. De este modo, existirá y ∈ A, con y ∈ G. Así,
por la definición de la clausura, G ∩ A 6= ∅. Luego, x ∈ A, y, por tanto,
A ⊆ A.
Figura 2.2:
La definición de cerrado como conjunto que coincide con su clausura
y las propiedades de la clausura en la Proposición 2.4.3 implican las siguientes propiedades de los conjunto cerrados de cualquier espacio topológico. Dejamos como ejercicio el escribir una demostración siguiendo esta
indicación. Aquí lo haremos usando la dualidad abierto/cerrado.
Proposición 2.4.4. (Propiedades de los cerrados)
1. ∅ y X son cerrados.
S
2. Si A1 ...An son cerrados, entonces ni=1 Ai es cerrado.
T
3. Si {Aα }α∈Λ es una familia de cerrados, entonces α∈Λ Aα es cerrado.
Demostración. 1. ∅ es abierto, luego X − ∅ = X es cerrado.
X es abierto,luego X − X = ∅ es cerrado.
T
2. Si Ai S
es cerrado, entonces X −S
Ai es abierto. Por tanto, ni=1 (X −
Ai ) = X − ni=1 Ai es abierto, luego ni=1 Ai es cerrado.
3. Si Aα es cerrado,
entonces X −Aα es
S
T abierto. Luego, por propiedad
de
T los abiertos, α∈Λ (X − Aα ) = X − α∈Λ Aα es abierto. Por tanto,
α∈Λ Aα es cerrado.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
2.5.
26
Convergencia de sucesiones en un espacio topológico. Caracterización de la
clausura en los espacios (seudo)métricos
Como los abiertos que continen a un punto x de un espacio topológico
actuan como filtros de la proximidad a x, la siguiente definición precisa
la idea de acercarse a x mediante sucesiones.
Definición 2.5.1. Sea (X, d) un espacio topológico. Una sucesión {xn }n≥1
de X se dice que converge a x0 ∈ X (o equivalentemente, que x0 es un
punto límite de {xn }n≥1 ) en (X, T ) si para todo abierto G de (X, T ) con
x0 ∈ G existe n0 tal que si n ≥ n0 , entonces xn ∈ G.
Figura 2.3:
Proposición 2.5.2. Sea (X, d) un espacio métrico. Toda sucesión convergente en (X, d) tiene un único punto límite.
Demostración. (R.A.) Supongamos que {xn }n≥1 ⊆ X converge en (X, d)
a x0 y a x1 , con x0 6= x1 . Aplicando la propiedad de separación de Hausdorff de los espacios métricos, existe ε > 0 con Bd (x0 , ε) ∩ Bd (x1 , ε) = ∅.
Como {xn }n≥1 converge a x0 , entonces existe n0 tal que xn ∈ Bd (x0 , ε)
si n ≥ n0 .
Por otro lado, como {xn }n≥1 converge a x1 , existe n1 tal que xn ∈
Bd (x1 , ε) para todo n ≥ n1 .
Si n > máx{n0 , n1 }, entonces xn ∈ Bd (x0 , ε) ∩ Bd (x1 , ε) = ∅. Contradicción.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
27
Figura 2.4: Los puntos de la sucesión deben separarse para alcanzar los
dos puntos límite
Definición 2.5.3. Un espacio topológico (X, T ) se dice que tiene la
propiedad de separación de Hausdorff (o que es un espacio de Hausdorff )
si dados x, x′ ∈ X con x 6= x′ , existen abiertos G, G′ en (X, T ) tales que
x ∈ G, x′ ∈ G′ y G ∩ G′ = ∅.
Nota 2.5.4. Si (X, T ) es un espacio topológico de Hausdorff, entonces
toda sucesión convergente tiene un único punto límite.
Ejemplo 2.5.5. Sea (R2 , d) con d((x, y), (x′, y ′)) = |x − x′ |.
La sucesión (xn , yn ) = (1/n, 0) converge a todo punto de la forma
(0, y). En efecto, sea G un abierto de (X, d) con (0, y) ∈ G(= intG).
Entonces existe ε > 0 tal que Bd ((0, y), ε) ⊆ G.
Figura 2.5:
Si escogemos n0 tal que 1/n0 < ε, entonces para todo n ≥ n0 se
cumple que d((0, y), (1/n, 0)) = 1/n ≤ 1/n0 < ε, luego (xn , yn ) =
(1/n, 0) ∈ Bd ((0, y), ε) ⊆ G, ∀n ≥ n0 .
Podemos concluir que el espacio no es de Hausdorff.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
28
Proposición 2.5.6. (Caracterización de la clausura en espacios (seudo)métricos). Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Son equivalentes:
1. x ∈ Ā con x ∈ X y A ⊆ X.
2. Dado ε > 0, existe a ∈ A con d(x, a) < ε.
3. Existe {an }n≥1 ⊆ A con {an }n≥1 convergiendo a x.
Demostración. 1) ⇒ 2): Para cada ε > 0, Bd (x, ε) es abierto en (X, d)
y x ∈ Bd (x, ε), luego Bd (x, ε) ∩ A 6= ∅ porque x ∈ Ā. Existe por tanto
a ∈ A tal que a ∈ Bd (x, ε), es decir, d(x, a) < ε.
2) ⇒ 3) : Dado ε = 1, existe a1 ∈ A tal que a1 ∈ Bd (x, 1). Dado
ε = 1/2, existe a2 ∈ A tal que a2 ∈ Bd (x, 1/2).
Figura 2.6:
Reiterando el proceso obtenemos una sucesión a1 , . . . , an en A con
an ∈ B(x, 1/n), es decir, d(x, an ) < 1/n. Afirmamos que {an }n≥1 converge a x. En efecto, si G es abierto de (X, d) con x ∈ G, entonces existe
δ > 0 con Bd (x, δ) ⊆ G.
Si n0 con 1/n0 < δ, se cumple que d(an , x) < 1/n < 1/n0 < δ
para todo n ≥ n0 . Luego an ∈ Bd (x, δ) ⊆ G y concluimos que {an }n≥1
converge a x.
3) ⇒ 1) (Válido para todo espacio topológico):
Sea G un abierto de (X, d) con x ∈ G. Como {an }n≥1 converge a x por
hipótesis, existe n0 con an ∈ G si n ≥ n0 (por definición de convergencia).
Como an ∈ A, entonces an ∈ A ∩ G 6= ∅ y concluimos que x ∈ Ā por la
definición de clausura.
Corolario 2.5.7. En un espacio (seudo)métrico, A es cerrado si y sólo
si “para todo x ∈ X para el cual exista {an }n≥1 ⊆ A convergiendo a x se
tiene que x ∈ A”.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
29
Demostración. Sabemos que A es cerrado si y sólo si A = Ā. La condición
“para todo x ∈ X para el cual exista {an }n≥1 ⊆ A convergiendo a x se
tiene que x ∈ A” significa, gracias a la proposición anterior, que si x ∈ Ā,
entonces x ∈ A. Por tanto Ā ⊆ A y, como la otra inclusión siempre es
cierta, A = Ā.
2.6.
Otros puntos notables. Análisis de la posición en un espacio topológico
Definición 2.6.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Dado A ⊆ X, decimos que x ∈ X es un punto frontera de A si para todo conjunto G abierto
de (X, T ) con x ∈ G, se verifica que G ∩ A 6= ∅ y (X − A) ∩ G 6= ∅.
Se llama conjunto frontera de A a
F rA = {x ∈ X, x punto frontera de A}
Proposición 2.6.2. F rA = A ∩ X − A
Proposición 2.6.3. Sea (X, T ) un espacio topológico. Entonces, para
todo A ⊆ X, se cumple:
A = int(A) ∪ F rA
Además, int(A) ∩ F rA = ∅.
Demostración. Para la contención hacia la derecha, sea x ∈ A, distinguimos:
-x ∈ int(A), luego x ∈ int(A) ∪ F rA, y hemos terminado.
-x 6∈ int(A), entonces, para todo G abierto, con x ∈ G, se tiene que
G * A. De este modo, para todo G abierto con x ∈ G, se verifica que
G ∩ (X − A) 6= ∅. Entonces, x ∈ F rA, y de este modo, x ∈ int(A) ∩ F rA.
Para la contención hacia la izquierda, sea x ∈ int(A) ∪ F rA. Distinguimos:
-x ∈ int(A) ⊆ A ⊆ A, luego x ∈ A.
-x ∈ F rA = A ∩ X − A, luego x ∈ A.
Finalmente, veamos que int(A) y F rA son disjuntos. Por reducción al
absurdo, supongamos que x ∈ int(A) ∩ F rA. En particular, x ∈ int(A),
luego, existe un abierto G, con x ∈ G ⊆ A. Entonces, G ∩ (X − A) = ∅,
por lo que x 6∈ F rA, que contradice la hipótesis.
Definición 2.6.4. Sea (X, T ) un espacio topológico, y A ⊆ X. Un elemento x ∈ X se dice exterior a A si x ∈ int(X − A). Se define el exterior
de A como:
ext(A) = int(X − A)
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
30
Proposición 2.6.5. Sea (X, T ) un espacio topológico, entonces:
1. F rA = F r(X − A)
2. X = int(A) ∪ F rA ∪ ext(A)
3. Los anteriores conjuntos son disjuntos entre sí.
Demostración. 1. F rA = A ∩ X − A = F r(X − A).
2. Tenemos que X = A ∪ (X − A). Como A = X − int(X − A), se
tendrá que X = int(A) ∪ F rA ∪ int(X − A) = int(A) ∪ F rA ∪ ext(A).
3. Sabemos que F rA ∩ int(A) = ∅. Por otro lado, F rA ∩ ext(A) =
F r(X − A) ∩ int(X − A) = ∅. Y por último, int(A) ∩ ext(A) = int(A) ∩
int(X − A) ⊆ A ∩ (X − A) = ∅. Luego los conjuntos son disjuntos.
Ejemplo 2.6.6. (a) Si Z ⊆ R es el conjunto de los números enteros, se
tiene que int(Z) = ∅ y Z = Z en (R, euclídea), en particular F rZ = Z.
Tenemos así que Z es cerrado (pero no abierto) en la recta euclídea.
(b) Si a < b, entonces los intervalos A = [a, b], B = (a, b), C = [a, b)
y D = (a, b] como conjuntos de la recta euclídea cumplen:
1. int(A) = int(B) = int(C) = int(D) = (a, b)
2. A = B = C = D = [a, b]
3. F rA = F rB = F rC = F rD = {a, b}
Así pues, A es un conjunto cerrado pero no abierto, B es un conjunto
abierto no cerrado y C y D no son ni abiertos ni cerrados.
(c) El Conjunto de Cantor es el conjunto cerrado de la recta euclídea
C = ∩∞
n=1 An obtenido como la intersección de los conjuntos cerrados
(y esto prueba que C es un conjunto cerrado) definidos inductivamente
al tomar An+1 como el resultado de eliminar los intervalos abiertos que
constituyen los tercios centrales de los intervalos que componen An . Se
comienza con A1 = [0, 1].
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
31
Figura 2.7:
(d) Sea X = {f : [−1, 1] → R continua}, definimos el conjunto
A ⊆ X como A = {f ∈ X : f derivable}. Nos preguntamos si el conjunto
A es cerrado para la distancia del supremo d∞ . Esta pregunta, puramente topológica, equivale a probar que el límite respecto a d∞ de funciones derivables es derivable lo daría un importante resultado de Análisis. Desafortunadamente la respuesta es negativa. En efecto, si tomamos
f (x) = |x|, función no derivable, podemos encontrar una sucesión de
funciones derivables que tienden a f .
Figura 2.8:
Esto implica que A 6= A, por lo que A no es cerrado. De hecho se
puede demostrar que A = X, por lo que toda función continua es límite
de funciones derivables respecto a la distancia del supremo d∞ .
Definición 2.6.7. Sea (X, T ) un espacio topológico, A ⊆ X se dice
denso en (X, T ) si A = X.
2.7.
Subespacio topológico
Proposición 2.7.1. Sea (X, T ) un espacio topológico, y A ⊆ X. Sea la
familia de subconjuntos de A,
TA = {A ∩ G, G ∈ T }.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
32
Entonces, la familia TA es una topología sobre A, llamada topología relativa a A (o restricción). A (A, TA ) se le llama subespacio topológico
de (X, T ), y se tiene que C ⊆ A es un cerrado de (A, TA ) si y sólo si
C = {F ∩ A, F cerrado de (X, T )}
Demostración. Dejamos como ejercicio comprobar que TA es una topología
sobre A. Para la segunda parte, tenemos que C ⊆ A es un conjunto cerrado de (A, TA ) si y sólo si C = A − H, con H abierto en (A, TA ) si y sólo si
C = A−H y H = G∩A con G ∈ T . Luego C = A∩(X−H) = A∩(X−G),
siendo X − G cerrado de (X, T ).
Teniendo en cuenta que la intersección finita de conjuntos abiertos
(de cerrados, respectivamente) es un conjunto abierto (cerrado, resp.),
se sigue inmediatamente la siguiente proposición. Dejamos los detalles
como ejercicio.
Proposición 2.7.2. si A abierto de (X, T ), entonces todos los abiertos
de (A, TA ) son abiertos de (X, T ). Del mismo modo se tendrá para los
cerrados.
Ejemplo 2.7.3. En general, los abiertos de (A, TA ) no son abiertos de
(X, T ). Por ejemplo: sea (R2 , euclídea), y A = R2+ = {(x, y) : y ≥ 0} el
semiplano superior.
Figura 2.9:
Entonces, A no es un abierto en (R2 , euclídea). Ahora, tomando G =
Bd (0, ε), que es abierto de (R2 , euclídea), ocurre que G ∩ A no es abierto
de (R2 , euclídea), pero sí lo es de (A, euclídea|A )
Nota 2.7.4. Si B ⊆ A ⊆ X y (X, T ) espacio topológico, denotamos por
X
A
B a la clausura de B en (X, T ), y B , a la clausura de B en (A, TA ).
A
X
Probar que B = B ∩ A.
Nota 2.7.5. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico, y sea Td la topología
de los abiertos de (X, d). Dado A ⊆ X, denotamos por d|A a la distancia restricción cuyos abiertos forman la topología Td|A , entonces se tiene
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
33
Td|A = (Td )A . Se deja como ejercicio comprobar la igualdad (Ayuda: se
tiene que para todo a ∈ A, Bd|A (a, ε) = Bd (a, ε) ∩ A).
Para terminar, una observación sobre aquellos conjuntos que son simultáneamente abiertos y cerrados en un espacio topológico. Hemos visto
que al menos X y ∅ son conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados
en cualquier espacio topológico (X, T ). Los espacios donde únicamente
el espacio total y el conjunto vacío son a la vez abiertos y cerrados son de
gran importancia en matemáticas y son llamados espacios conexos. Volverenos sobre ellos en la Sección 4.4. A continuación demostraremos que
todos los intervalos de la recta con la restricción de la topología euclídea
cumplen esta propiedad.
Proposición 2.7.6. Sea J un intervalo de cualquier tipo de la recta
incluyendo la propia recta. Entonces, los únicos abiertos de (J,euclídea)
que son a la vez cerrados son J y ∅.
Demostración. R.A. Supongamos por el contrario que existe A ⊂ J abierto y cerrado de (J,euclídea) con A 6= ∅ y A 6= J. Escogemos un t0 ∈ J −A.
Entonces si
Figura 2.10:
A0 = A ∩ (−∞, t0 ) = A ∩ (−∞, t0 ]
A1 = A ∩ (t0 , ∞) = A ∩ [t0 , ∞)
necesariamente A0 6= ∅ ó A1 6= ∅.
Supongamos A0 6= ∅. Como A es abierto en (J, euclídea), también lo es
A0 = A∩(J ∩(∞, t0 )) por ser intersección de dos abiertos en (J, euclídea).
Del mismo modo, A0 es cerrado en (J, euclídea).
El conjunto A0 está acotado por t0 superiormente y A0 6= ∅, entonces
existe a = sup A0 . Como J es in intervalo, para todo t ∈ A0 , tenemos
a ∈ [t, t0 ] ⊆ J. Sabemos por el Ejemplo 2.3.7 que a es un punto adherente
J
de A0 en (R, euclídea). Por la Nota 2.7.4, tenemos que a ∈ A0 ∩ J = A0 .
Ahora bien, como A0 es cerrado en (J, euclídea), entonces, a ∈ A0 .
En particular, a < t0 . Por otro lado, de ser A0 abierto se sigue que
existe δ > 0 con {t ∈ J; |t − t0 | < δ} ⊆ A0 , entonces si 0 < ǫ < δ con
a + ǫ ∈ [a, t0 ] ⊆ J tenemos a + ǫ ∈ A0 y a + ǫ > a, por lo que a no es
supremo de A0 llegando así a una contradicción.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
2.8.
34
Continuidad
Desde el punto de vista del análisis de la posición, una aplicación
continua debe preservar la estructura de proximidad; es decir, si un punto
está adherido a un conjunto, entonces la imagen de aquel debe seguir
pegado a la imagen del conjunto.
Figura 2.11:
Definición 2.8.1. Sean (X, T ) e (Y, T ′ ) espacios topológicos. Una aplicación f : (X, T ) → (Y, T ′ ) se dice continua si para todo A ⊆ X, se verifica que f (A) ⊆ f (A). Es decir, si para todo a ∈ A, entonces, f (a) ∈ f (A).
Proposición 2.8.2. (Caracterización de la continuidad por abiertos y
cerrados)
Sean (X, T ) e (Y, T ′ ) espacios topológicos, y sea una aplicación f :
(X, T ) → (Y, T ′ ). Son equivalentes:
(1) f es continua.
(2) Si F es un cerrado en (Y, T ′ ), entonces f −1 (F ) es cerrado en
(X, T ).
(3) Si G es un abierto en (Y, T ′ ), entonces f −1 (G) es abierto en
(X, T ).
Demostración. (1) ⇒ (2) Sea F un cerrado en (Y, T ′ ), veamos que
f −1 (F ) es cerrado en (X, T ). Esto será cierto si f −1 (F ) = f −1 (F ), de
modo que la contención hacia la izquierda se tiene siempre.
Para la otra contención, tomamos A = f −1 (F ) ⊆ X. Entonces, por la
continuidad de f , se tiene que f (f −1 (F )) ⊆ f (f −1(F )). Ahora, tenemos
que f (f −1 (F )) ⊆ F , y por la monotonía de la clausura, f (f −1 (F )) ⊆
F = F . Aplicando lo anterior, se tiene que f (f −1(F )) ⊆ F . Luego, para
todo z ∈ f −1 (F ), se verifica que f (z) ∈ F , luego z ∈ f −1 (F ). Por tanto,
se tiene la otra inclusión.
(2) ⇒ (3) Sea G abierto, entonces Y − G es cerrado. Como estamos
suponiendo (2), f −1 (Y − G) = X − f −1 (G) es cerrado. Por tanto, f −1 (G)
es abierto.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
35
(3) ⇒ (1) Sea y ∈ f (A), veamos que y ∈ f (A). Es decir, debemos
probar que para todo G abierto de (Y, T ′ ) con y ∈ G, se tiene que
G∩f (A) 6= ∅. En efecto, si G abierto, entonces, por (3), f −1 (G) es abierto
de (X, T ). Como y ∈ f (A), existirá algún x ∈ A con f (x) = y. De modo
que, como y ∈ G, x ∈ f −1 (G). Ahora, como x ∈ A, cualquier abierto
que contenga a x corta a A. Así, por la definición de punto adherente,
se tiene que f −1 (G) ∩ A 6= ∅. Luego, existe a ∈ A con a ∈ f −1 (G).
Entonces, f (a) ∈ G∩f (A), es decir, G∩f (A) 6= ∅, que es lo que queríamos
probar.
La caracterización de la continuidad por abiertos y cerrados nos lleva
a la siguiente versión general de conocido Teorema del Valor Intermedio
de Bolzano.
Proposición 2.8.3. Sea (X, T ) un espacio topológico. Son equivalentes
a) Los únicos conjuntos abiertos que son también cerrados en (X, T ) son
X y ∅.
b) Si f : (X, T ) → (R, euclídea) es continua y a, b ∈ f (X) con a ≤ b
entonces [a, b] ⊆ f (X)
c)(Teorema de Bolzano) Si f : (X, T ) → (R, euclídea) es continua y
∃x1 , x2 ∈ X con f (x1 ) < 0 y f (x2 ) > 0, entonces ∃x0 ∈ X con f (x0 ) = 0.
Demostración. a)⇒ b)
Si a = b no hay nada que probar. Supongamos entonces que a < b. Si
algún t con a < t < b cumpliese que t ∈
/ f (X), entonces el conjunto
−1
−1
A = f ((t, ∞)) coincide con f ([t, ∞)). Luego la continuidad de f implica que el A es un conjunto a la vez abierto y cerrado. Además, como
a ∈ f (X), si a = f (x0 ), x0 ∈
/ A pues a = f (x0 ) < t, mientras que si
f (x1 ) = b entonces x1 ∈ A pues b > t. Esto nos dice que A 6= ∅, X, lo
que contardice a).
b)⇒ c)
Si f (x1 ) = a < 0 y f (x2 ) = b > 0. Tenemos a ≤ b, entonces [a, b] ⊆ f (X).
Por b) sabemos que 0 ∈ [a, b] ⊆ f (X). Luego, ∃x0 ∈ X con f (x0 ) = 0
c)⇒ a)
Si no no se cumpliese a) entonces existe A 6= ∅, X abierto y cerrado a la
vez. Sea f : (X, T ) → (R, euclídea) definida como
+1 si x ∈ A
f (x) =
−1 si x 6∈ A
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
36
Afirmamos que f es continua y claramente no cumple la condición c),
llegando a una contradicción. Veamos la continuidad. Sea G abierto de
(R,euclídea)

Supongamos 1, −1 ∈ G
⇒ f −1 (G) = A ∪ (X − A) = X



Supongamos 1, −1 6∈ G
⇒ f −1 (G) = ∅
Supongamos 1 ∈ G y −1 6∈ G ⇒ f −1 (G) = A



Supongamos −1 ∈ G y 1 6∈ G ⇒ f −1 (G) = X − A
En cualquier caso f −1 (G) es un conjunto abierto y por tanto f es continua.
Consecuencia: Como todo intervalo de la recta (incluyendo la recta)
cumple el apartado a) (Proposición 2.7.6), obtenemos como caso particular de la Proposición 2.8.3 la versión clásica del teorema de Bolzano.
Proposición 2.8.4. (Caracterización de la continuidad para espacios
(seudo)métricos)
Sea f : (X, d) → (Y, d′ ) una aplicación entre espacios (seudo)métricos.
Son equivalentes:
(1) f es continua (con la caracterización por abiertos).
(2) Para todo x ∈ X y para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si
d(x, x′ ) < δ, entonces, d′ (f (x), f (x′ )) < ε. O equivalentemente, f (Bd (x, δ)) ⊆
Bd′ (f (x), ε).
Demostración. (1) ⇒ (2) Como Bd′ (f (x), ε) es abierto de (Y, T ′ ), por (1)
sabemos que f −1 (Bd′ (f (x), ε)) es abierto con de (X, T ). De este modo,
si f (x) ∈ Bd′ (f (x), ε), entonces x ∈ f −1 (Bd′ (f (x), ε)). Así, por definición
de abierto, f −1 (Bd′ (f (x), ε)) es entorno de x, luego existirá δ > 0 tal que
Bd (x, δ) ⊆ f −1 (Bd′ (f (x), ε)). Y por tanto, f (Bd (x, δ)) ⊆ Bd′ (f (x), ε).
(2) ⇒ (1) Si G es abierto de (Y, d′ ), debemos probar que f −1 (G) es
abierto de (X, d). Es decir, hay que probar que f −1 (G) es entorno de todos
sus puntos. En efecto, sea x ∈ f −1 (G), entonces, como G abierto, existe
ε > 0 con Bd′ (f (x), ε) ⊆ G. Por (2), existirá δ > 0 tal que f (Bd (x, δ)) ⊆
Bd′ (f (x), ε) ⊆ G. Luego, Bd (x, δ) ⊆ f −1 (G), es decir, f −1 (G) es entorno
de todos sus puntos.
Proposición 2.8.5. (Caracterización por convergencia)
Sea f : (X, d) → (Y, d′ ) una aplicación entre espacios (seudo)métricos.
Son equivalentes:
(1) f es continua.
(2) Si {xn }n≥1 ⊆ X y {xn }n≥1 converge a x0 en (X, d), entonces
{f (xn )}n≥1 converge a f (x0 ) en (Y, d′).
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
37
Demostración. (1) ⇒ (2) Debemos probar que para cualquier G abierto
de (Y, d′ ) con f (x0 ) ∈ G, existe un n0 tal que f (xn ) ∈ G ∀n ≥ n0 .
En efecto, por (1) sabemos que f −1 (G) es abierto de (X, d). Además, si
f (x0 ) ∈ G, entonces x0 ∈ f −1 (G). Por hipótesis, si {xn }n≥1 converge a
x0 , entonces existe n0 con xn ∈ f −1 (G); es decir, f (xn ) ∈ G para todo
n ≥ n0 .
(2) ⇒ (1) Para ver que f es continua, debemos probar que f (A) ⊆
f (A), para todo A ⊆ X. En efecto, sea y ∈ f (A), entonces existe x ∈
A tal que y = f (x). Por la caracterización de la clausura en espacios
(seudo)métricos, va a existir {an }n≥1 ⊆ A convergiendo a x. Entonces,
por (2), {f (an )}n≥1 ⊆ f (A) converge a f (x). Luego, por propiedad de la
clausura, y = f (x) ∈ f (A). Por lo que hemos probado lo que queríamos.
Proposición 2.8.6. (Propiedades generales de las aplicaciones continuas)
a) Cualquier aplicación constante es continua.
b) La identidad id : (X, T ) → (X, T ) es continua.
c) La composición de aplicaciones continuas es continua.
d) La restricción de una aplicación continua es continua respecto de
la topología restricción (o relativa).
Notar que b) + d) implica que toda inclusión i : (A, TA ) → (X, T ) :
i(a) = a ∀a ∈ A, con A ⊆ X, es continua.
Demostración. Usaremos la caracterización por abiertos.
a) Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) constante. Es decir, f (x) = y0 ∈ Y ∀x ∈
X. Entonces, sea U ⊆ Y abierto en (Y, T ′ ), tendremos que f −1 (U) = ∅
si y0 6∈ U, que es un abierto; y f −1 (U) = X si y0 ∈ U, que también es
abierto. Luego f es continua.
b) Sea U abierto de (X, T ), entonces id−1 (U) = U. Luego la identidad
es continua.
c) Sean f : (X, T ) → (Y, T ′ ) y g : (Y, T ′ ) → (Z, T ′′ ) aplicaciones
continuas, y sea U abierto de (Z, T ′′ ). Entonces, x ∈ (g ◦ f )−1 (U) ⇔
g(f (x)) = g ◦ f (x) ∈ U ⇔ f (x) ∈ g −1 (U) ⇔ x ∈ f −1 (g −1 (U)) Es decir,
(g ◦ f )−1 (U) = f −1 (g −1(U)), que es abierto por ser f continua, y ser
g −1(U) abierto por la continuidad de g. Por tanto, la composición de
aplicaciones continuas es continua.
d) Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) continua, y A ⊆ X. Entonces, sea f |A :
(A, TA ) → (Y, T ′ ) la restricción dada por f |A (a) = f (a) ∀a ∈ A. Ahora,
sea U ⊆ Y abierto de (Y, T ′ ), sabemos que f −1 (U) es abierto, y, por
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
38
tanto, (f |A )−1 (U) = A ∩ f −1 (U), abierto para la topología restricción.
Luego, la restricción es continua.
Proposición 2.8.7. Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) continua, y fe : (X, T ) →
e
(f (X), T ′ |f (X) ) la restricción sobre la imagen, dada por f(x)
= f (x)
e
∀x ∈ X. Entonces f es continua.
Demostración. Sea U abierto de (f (X), T ′ |f (X) ). Por definición se tiene
que U = W ∩ f (X), con W un abierto de (Y, T ′ ). De este modo, se
tiene que f −1 (U) = f −1 (W ) es abierto de (X, T ), pues f es continua y
f −1 (f (X)) = X.
Ejemplo 2.8.8. 1. Sea id : (X, T ) → (X, T ). No siempre la aplicación
identidad id : (X, T ) → (X, T ′ ) va a ser continua si T =
6 T ′ . Por ejemplo,
vamos a tomar las topologías T asociada a la distancia euclídea, T ′ a la
distancia discreta, y tomamos X = R. Entonces, sabemos que la sucesión
{xn }n≥1 = { n1 }n≥1 converge a 0 en la topología euclídea. Sin embargo, se
tiene que id(xn ) = xn no converge a id(0) = 0, pues Bdiscreta (0, ε) = {0}
para ε ≤ 1, y xn 6∈ {0} ∀n ≥ 1
2. Ahora, sea id : (R2 , euclídea) → (R2 , taxi). En este caso, id va a ser
continua, a pesar de tener distintas distancias definiendo las topologías de
los espacios de salida y llegada. Análogo se tendrá que id : (R2 , taxi) →
(R2 , euclídea) es continua.
Definición 2.8.9. Una aplicación f : (X, T ) → (Y, T ′ ) se dice equivalencia topológica (homeomorfismo) si f es biyectiva, y f y f −1 son continuas.
Ejemplo 2.8.10. Se tiene que id : (R, discreta) → (R, euclídea) es
continua (se prueba que las únicas sucesiones convergentes son las constantes), pero vimos que id−1 : (R, euclídea) → (R, discreta) no lo es. Por
tanto, en este caso, la identidad no es una equivalencia topológica.
Proposición 2.8.11. Las proyecciones pi : (Rn , euclídea) → (R, euclídea),
definidas como pi (x1 , ..., xn ) = xi , para 1 ≤ i ≤ n son siempre continuas.
Demostración. Aplicaremos el criterio ε−δ. Dado (x1 ,p
...,Pxn ) ∈ Rn y ε >
n
′
′
′
0, debemos probar que si de ((x1 , ..., xn ), (x1 , ..., xn )) =
i=1 (xi − xi ) <
δ, entonces |xi − x′i | < ε.
pPn
′
En efecto, basta tomar δ = ε, de manera que
i=1 (xi − xi ) < ε,
deduciendo que |xi − x′i |2 < ε2 , luego |xi − x′i | < ε.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
39
Proposición 2.8.12. Una aplicación f : (X, T ) → (Rn , euclídea) es
continua si y sólo si pi ◦ f : f : (X, T ) → (R, euclídea) es continua para
todo 1 ≤ i ≤ n.
Demostración. Para probar la implicación hacia la derecha basta observar que como f y pi son continuas, la composición de aplicaciones
continuas es continua. Luego, pi ◦ f es continua para todo 1 ≤ i ≤ n.
Para la otra implicación, suponemos que cada pi ◦ f es continua.
Entonces, sea U ⊆ Rn abierto de (Rn ,euclídea), para ver que f es continua, debemos probar que f −1 (U) es abierto de (X, T ). Es decir, hay
que probar que f −1 (U) es entorno de todos sus puntos. En efecto, sea
x ∈ f −1 (U), entonces f (x) ∈ U. Así, al ser U abierto euclídeo, va
a existir ε tal que, tomando, por ejemplo, la distancia del máximo,
Bd (f (x), ε) ⊆ U. Entonces, si f (x1 , ..., xn ) = (y1 , ..., yn ), se tendrá que
Bd (f (x), ε) = {(z1 , ..., zn ) ∈ Rn : max{|yi − zi |} < ε} ⇔ |yi − zi | < ε
∀i ⇔ zi ∈ (yi − ε, yi + ε) que es un abierto euclídeo en R.
Por tanto, como pi ◦ f es continua, entonces (pi ◦ f )−1 (yi − ε, yi + ε) es
abierto de (X, T ). Y además, (pi ◦f )−1 (yi −ε, yi +ε) = f −1 (p−1
i (yi −ε, yi +
(i)
ε)) = f −1
(R
×
R
×
...
×
(y
−
ε,
y
+
ε)
×
...
×
R).
De
este
modo,
se tendrá
i
Tn
Qi n
−1
−1
que x ∈ i=1 Ai = f ( i=1 (yi −ε, yi +ε)) = f (Bd (f (x), ε)) ⊆ f −1 (U),
luego f −1 (U) es entorno de todos sus puntos.
Proposición 2.8.13. Si f : (X, T ) → (Y, T ′ ) es un homeomorfismo y
G ⊆ X es un abierto de (X, T ), entonces f (G) es abierto de (Y, T ′ ). Se
tendrá un resultado análogo para los cerrados.
Demostración. Al ser f un homeomorfismo, entonces f −1 : (Y, T ′ ) →
(X, T ) es continua. Luego (f −1 )−1 (G) = f (G) es abierto de (Y, T ′ ).
Definición 2.8.14. Una aplicación f : (X, T ) → (Y, T ′ ) se dice abierta
si para todo abierto G de (X, T ), entonces f (G) es abierto de (Y, T ′ ).
Análogamente, se dice que f es cerrada si para todo cerrado F de (X, T ),
entonces f (F ) es cerrado de (Y, T ′ ).
Proposición 2.8.15. f es homeomorfismo si y sólo si es biyectiva, continua y abierta, si y sólo si es biyectiva, continua y cerrada.
Demostración. Veamos la primera equivalencia. La implicación hacia la
derecha se tiene por ser todo homeomorfismo una aplicación abierta.
Recíprocamente, basta probar que f −1 es continua. En efecto, si G es
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
40
abierto de (X, T ), entonces (f −1 )−1 (G) = f (G) va a ser abierto por
hipótesis. Luego f −1 es continua, y, por tanto, f es un homeomorfismo.
La segunda equivalencia se hace de modo análogo.
Ejemplo 2.8.16. 1. Las proyecciones pi : (Rn , euclídea) → (R, euclídea)
son aplicaciones abiertas y no cerradas.
Figura 2.12:
En efecto, sea G abierto de (Rn ,euclídea), debemos probar que pi (G)
es entorno de todos sus puntos para ver que pi (G) es abierto de (R,euclídea).
Entonces, sea x ∈ pi (G), se tendrá que existe y = (y1 , ..., yn ) ∈ G con
yi = x. Por propiedad de los espacios euclídeos, va a existir ε > 0 tal
que Bd (y, ε) ⊆ G. De este modo, pi (Bd (y, ε)) = (x − ε, x + ε) ⊆ pi (G), es
decir, pi (G) es entorno de x.
Sin embargo no es cerrada. Basta ver un contraejemplo: sea F =
{(x, y) : y = x1 , x > 0} cerrado de (R2 ,euclídea) (ya que R2 − F es abierto). Sin embargo, p1 (F ) = (0, ∞), que no es cerrado.
Figura 2.13:
2. Veamos un ejemplo de aplicación biyectiva y continua que no es
homeomorfismo. Sea f : ([0, 2π), euclídea) → (R2 , euclídea), definida como f (t) = (cos t, sin t). Entonces, f es continua pues p1 ◦ f y p2 ◦ f
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
41
son las aplicaciones cos t y sin t, respectivamente, que son continuas.
Así que, como f ([0, 2π)) es la circunferencia unidad S 1 , vamos a definir
fe : ([0, 2π), euclídea) → (S 1 , euclídea) la restricción de f .
Entonces, fe es continua pues f lo es. Además, fe es biyectiva. Sin
embargo, fe−1 no es continua, ya que tomando la sucesión (xn , yn ) =
(cos(2π− n1 ), sin(2π− n1 )), ésta va a converger a (1, 0) ∈ S 1 , pero fe−1 (xn , yn ) =
2π − n1 no converge en [0, 2π) por hacerlo a 2π 6∈ [0, 2π).
3. Sean (a, b) y (a′ , b′ ) intervalos de R. Definimos la aplicación f :
′ −a′
((a, b), euclídea) → ((a′ , b′ ), euclídea) como f (x) = y = bb−a
(x − a) + a′ .
Figura 2.14:
Entonces, esta aplicación es continua, biyectiva y su inversa, f −1 (y) =
− a′ ) + a, también es continua. Luego, f es un homeomorfismo.
Por tanto, todos los intervalos acotados de (R,euclídea) son homeomorfos. De modo análogo, los intervalos de la forma (a, ∞) y (a′ , ∞) van a
ser homeomorfos. Así como los de la forma [a, b] y [a′ , b′ ], y (−∞, b) y
(−∞, b′ ). Igualmente lo son (a, ∞) y (−∞, b).
5. Se tiene que ((− π2 , π2 ),euclídea) y (R,euclídea) son homeomorfos.
Basta tomar f (x) = tan x, por tratarse de una aplicación continua y
biyectiva, y ser f −1 (y) = arctan y continua.
b−a
(y
b′ −a′
Figura 2.15:
6. También se tiene que ((0, ∞),euclídea) y (R,euclídea) son homeomorfos. En este caso, basta tomar f : (R, euclídea) → ((0, ∞), euclídea) :
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
42
f (x) = ex que es continua y biyectiva, y cuya inversa f −1 (y) = log y es
continua.
Figura 2.16:
Como consecuencia, se tiene el siguiente resultado:
Proposición 2.8.17. Todos los intervalos abiertos de R son homeomorfos entre sí (incluyendo R).
Definición 2.8.18. Dada f : (R, euclídea) → (R, euclídea), se llama
gráfica de f a Γf = {(x, y) : y = f (x)} ⊆ R2
Ahora, consideramos ϕf : (R, euclídea) → (R2 , euclídea) definida como ϕf (x) = (x, f (x)). Entonces, ϕf es inyectiva, pues ϕf (x) = ϕf (x′ )
implica que x = x′ . Así, la restricción ϕ
ff : (R, euclídea) → (Γf , euclídea)
va a ser una aplicación biyectiva. Y ϕ
ff −1 ((x, y)) = x, es decir, ϕ
ff −1 es la
−1
restricción de la proyección pi a Γf . Luego, ϕ
ff es continua.
De este modo, ϕ
ff es continua, si y sólo si p1 ◦ ϕ
ff = idR y p2 ◦ ϕ
ff = f
son continuas, si y sólo sif es continua. Por tanto, f es continua, si y sólo
si ϕ
ff es homeomorfismo entre (R,euclídea) y (Γf ,euclídea).
Definición 2.8.19. Una inmersión es una aplicación continua e inyectiva f : (X, T ) → (Y, T ′ ), cuya restricción a la imagen fe : (X, T ) →
(f (X), Tf (X) ) es homeomorfismo.
Proposición 2.8.20. Si f es continua, ϕf es una inmersión de (R,euclídea)
en (R2 ,euclídea).
Demostración. Si Γf = {(x, y) ∈ R × R2 : y = f (x)} ⊆ R3 , se prueba
igual que antes que f es continua, si y sólo si ϕf es una inmersión (es
decir, ϕ
ff es homeomorfismo).
Ejemplo 2.8.21. Dada la función f (x) = (cos x, sin x) ∈ R2 , entonces
Γf = {(x, cos x, sin y) : x ∈ R} ⊆ R3 se trata de una hélice en R3 . Por
tanto, toda hélice es una inmersión de la recta R en R3 .
CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Figura 2.17:
43
Capítulo 3
Compacidad
3.1.
Definición y primeros ejemplos
Definición 3.1.1. Dado un conjunto X y A ⊆ X, un recubrimiento
S de A
en X es una familia {Cα }α∈Λ de subconjuntos de X tal que A ⊆ α∈Λ Cα .
S
Nota 3.1.2. Si A = X la inclusión es una igualdad: X = α∈Λ Cα .
Definición 3.1.3. Un subrecubrimiento
de {Cα }α∈Λ es una subfamilia
S
{Cα′ }α′ ∈Λ′ con Λ′ ⊆ Λ y aún A ⊆ α′ ∈Λ′ Cα′
Definición 3.1.4. Sea (X, T ) un espacio topológico. Un subconjunto
A ⊆ X se dice compacto en (X, T ) si de todo recubrimiento de A por
abiertos en (X, T ) se puede extraer un subrecubrimiento finito.
Nota 3.1.5. Si A = X decimos que (X, T ) es un espacio compacto.
Lema 3.1.6. A ⊆ es compacto en (X, T ) si y solo si el subespacio (A, TA )
es compacto.
44
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
45
Demostración. [⇒] Supongamos A compacto en (X, T ).
Sea {Gα }α∈Λ un recubrimiento
de A por abiertos de la topología restricS
ción TA , entonces A = α∈Λ Gα y para cada α ∈ Λ se tiene Gα = Hα ∩ A
con Hα abierto
S ed (X, T ).
S
Ahora, A = α∈Λ Gα ⊆ α∈Λ Hα . Por tanto, {Hα }α∈Λ es recubrimiento
de A por abiertos de (X, T ). Luego, utilizando la hipótesis,
∃ α1 , . . . , αn ∈ Λ con Aα ⊆ Hα1 ∪ · · · ∪ Hαn , lo que implica que
A = (Hα1 ∪· · ·∪Hαn ) ∩A = (Hα1 ∩A) ∪· · ·∪(Hαn ∩A) = Gα1 ∪· · ·∪Gαn ,
por lo tanto tenemos que (A, TA ) es compacto.
[⇐] Recíproco: (A, TA ) es compacto. ¿A es compacto de (X,
S T )?
Sea {Uα }α∈Λ recubrimiento de A por abiertos de T , A ⊆ α∈Λ Uα .
Entonces:
S
S
A = ( α∈Λ Uα ) ∩A = α∈Λ (Uα ∩A) donde las intersecciones son abiertos
de (A, TA ). Aplicando la hipótesis, ∃α1 . . . αn con A = (Uα1 ∩ A) ∪ · · · ∪
(Uαn ∩ A) ⊆ Uα1 ∪ · · · ∪ Uαn .
Por lo tanto, A es compacto en (X, T ).
Ejemplo 3.1.7. S
(Rn , euclídea) no es compacto.
n
Tenemos: R = n≥1 Bd (θ, n), con d= distancia euclídea y θ= origen.
S
Pero, no existe n1 , . . . nk con Rn = kj=1 Bd (θ, nj ), pues en tal caso,Rn =
Bd (θ, n0 ), con n0 = max{n1 , . . . nk }
Ejemplo 3.1.8. (X, discreta) es compacto ⇔ X es finito.
Ejemplo 3.1.9. En cualquier espacio topológico (X, T ) todo conjunto finito es siempre compacto.
En efecto, sea el conjunto finito A =
S
{a1 , . . . , as } y A ⊆ α∈Λ Gα , con Gα abierto de (X, T ). Para cada
ai encontramos un Gαi con a1 ∈ Gαi (1 ≤ i ≤ s). Entonces, A ⊆
Gα1 ∪ · · · ∪ Gαs ; por tanto, A es compacto.
Ejemplo 3.1.10. (R, cofinita) es compacto. Recordemos que la topología
cofinita es la familia {∅, A ⊆ R tal que R − A sea finito }. Sea R =
∪α∈Λ Gα con Gα abierto de la topología cofinita. Dado x ∈ R, ∃α0 con
x ∈ Gα0 , lo que implica que Gα0 6= ∅. Luego, R − Gα0 = {x1 , . . . xn } es
finito. Ahora, como en el Ejemplo 3.1.9, dado xi , sea Gαi con xi ∈ Gαi .
Entonces tenemos que:
R = (R − Gα0 ) ∪ Gα0 = {x1 , . . . , xn } ∪ Gα0 ⊆ Gα1 ∪ · · · ∪ Gαn ∪ Gα0 .
Hemos probado que (R, cofinita) es compacto.
Ejemplo 3.1.11. Toda unión finita de compactos es compacto.
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
46
Ejemplo 3.1.12. En (R, euclídea) todo intervalo cerrado y acotado [a, b]
es compacto.
En efecto, sea {Gα }α∈Λ recubrimiento de [a, b] por abiertos de (R, euclídea).
Sea A = {x ∈ [a, b]; el intervalo [a, x] está recubierto por una cantidad finita de Gα }.
Tenemos que A 6= ∅ pues si tomamos x = a, tenemos que [a, a] = {a} y
a está en algún Gα0 pues [a, b] ⊆ ∪α∈Λ Gα .
Sea x0 = supA. Afirmamos:
1. x0 ∈ A
2. x0 = b, y con esto se habría demostrado el ejemplo.
Veamos (1):
x0 ∈ [a, b] ⊆ ∪α∈Λ Gα , luego ∃α′ con x0 ∈ Gα′ , y como Gα′ es abierto,
existe ε > 0 con (x0 − ε, x0 + ε) ⊆ Gα′ . Como x0 es supremo, ∃x1 ∈ A
con x1 ∈ (x0 − ε, x0 ]. Como x1 ∈ A, entonces ∃α1 , . . . , αn con [a, x1 ] ⊆
Gα1 ∪ · · · ∪ Gαn . Lo que implica que
[a, x0 ] ⊆ [a, x1 ] ∪ (x0 − ε, x0 ] ⊆ Gα1 ∪ · · · ∪ Gαn ∪ Gα′ .
Por tanto, aplicando la definición de A, tenemos que x0 ∈ A.
Veamos (2):
R.A.: Supongamos que x0 < b, entonces ∃δ > 0 tal que [x0 , x0 +δ) ⊆ [a, b].
Sea ε0 = min{δ, ε}, donde ε está dado más arriba. Entonces, [x0 , x0 +
ε0 ) ⊆ Gα′ , luego,
h
ε0 i
a, x0 +
⊆ [a, x0 ] ∪ [x0 , x0 + ε0 ) ⊆ Gα′ ∪ Gα1 ∪ · · · ∪ Gαn ,
2
ε0
∈ A. Contradicción, porque
y por definición de A, tenemos que x0 +
2
ε0
x0 +
> x0 .
2
Luego, x0 = b. Por tanto, [a, b] es compacto.
Proposición 3.1.13. Sea (X, d) espacio (seudo)métrico. Entonces, todo
C ⊆ X compacto está acotado.
S∞
Demostración.
Sea
x
∈
C
cualquiera.
Tenemos
que
X
=
0
n=1 Bd (x0 , n),
S
luego C ⊆ ∞
B
(x
,
n).
Como
C
es
compacto,
∃n
,
.
.
.
, nk con C ⊆
1
n=1 d 0
Bd (x0 , n1 ) ∪ · · · ∪ Bd (x0 , nk ) ⊆ Bd (x0 , n0 ) con n0 = max{n1 , . . . , nk }. Por
tanto, ∀x, x′ ∈ C, tenemos que d(x, x′ ) ≤ d(x, x0 ) + d(x′ , x0 ) < 2n0 ; esto
es, C está acotado.
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
3.2.
47
La compacidad y los conjuntos cerrados
Definición 3.2.1. Una familia de conjuntos {Aα }α∈Λ se dice que tiene
la Propiedad de Intersección Finita (PIF) si toda subfamilia finita
Aα1 , . . . , Aαn tiene intersección Aα1 ∩ · · · ∩ Aαn 6= ∅ no vacía.
Proposición 3.2.2. Sea (X, T ) un espacio topológico. Son equivalentes:
1. (X, T ) es compacto.
2. Tada familia de cerrados con la PIF tiene intersección distinta de
vacío.
Demostración. Veamos 1) ⇒ 2).
R.A.: Sea {Fα }α∈Λ una familia de cerrados con la PIF y tal que ∩Fα = ∅.
Entonces
X = ∪α∈Λ (X − Fα ), es un recubrimiento abierto de X y aplicando 1),
∃α1 , . . . , αn con
X = (X − Fα1 ) ∪ · · · ∪ (X − Fαn ). Tomando complementarios,
∅ = Fα1 ∩ · · · ∩ Fαn , que es una contradicción con la PIF.
Veamos 2) ⇒ 1).
Sea {Gα }α∈Λ un recubrimiento por abiertos de X. Es decir, X = ∪α∈Λ Gα
y cada Gα es abierto. Tomando complementarios, ∅ = ∩α∈Λ (X − Gα ).
Aplicando 2), la familia {X − Gα }α∈Λ no puede tener la PIF, y por
definición: ∃α1 , . . . , αn con (X − Gα1 ) ∩ · · · ∩ (X − Gα1 ) = ∅. Luego,
X = Gα1 ∪ Gα2 ∪ · · · ∪ Gαn . Lo que prueba que (X, T ) es compacto.
Proposición 3.2.3. (Los cerrados heredan la compacidad).
Sea (X, T ) un espacio topológico compacto y F ⊆ X cerrado en él. Entonces F es compacto en (X, T ).
Demostración. Sea {Gα }α∈Λ recubrimiento de F con abiertos de (X, T ).
Entonces X = (X − F ) ∪ F ⊆ (X − F ) ∪ (∪α∈Λ Gα ), y por tanto, X =
(X − F ) ∪ (∪α∈Λ Gα ). Así, {(X − F ), Gα }α∈Λ es un recubrimiento por
abiertos de X. Aplicando la hipótesis, ∃α1 , . . . , αn con
X = (X − F ) ∪ (Gα1 ∪ · · · ∪ Gαn ). Como F ∩ (X − F ) = ∅, necesariamente
F ⊆ Gα1 ∪ · · · ∪ Gαn . Lo que demuestra F es compacto.
Puesto que todo conjunto acotado está contenido en un intervalo cerrado, se sigue de 3.2.3 y 3.1.12.
Corolario 3.2.4. En (R, euclídea), si A es cerrado y acotado entonces
es compacto.
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
3.3.
48
Compacidad y propiedad de Haussdorff
Proposición 3.3.1. (Separación de punto y compacto)
Sea (X, T ) un espacio topológico con la propiedad de Haussdorff. Sea
F ⊆ X compacto y x 6∈ F. Entonces existen abiertos U y V de (X, T )
con x ∈ U, F ⊆ V y U ∩ V = ∅.
Nota 3.3.2. La proposición anterior vale para cualquier espacio métrico.
Demostración. Dado y ∈ F, como x 6∈ F entonces x 6= y, y por la
propiedad de Hausdorff existen abiertos Vy y Uy con x ∈ Uy , y ∈ Vy y Vy ∩
Uy = ∅.
S
S
Ahora, F = y∈F {y} ⊆ y∈FSVy y como F esT compacto ∃ y1 . . . yn con
F ⊆ Vy1 ∪ · · · ∪ Vyn . Sea V = ni=1 Vyi y U = ni=1 Uyi . Obsérvese que V
es abierto y U también (por ser intersección finita de abiertos).
Además, F ⊆ V y x ∈ U.
Por último, U ∩ V = U ∩ (Vy1 ∪ · · · ∪ Vyn ) = (U ∩ Vy1 ) ∪ · · · ∪ (U ∩ Vyn ) ⊆
⊆ (Uy1 ∩ Vy1 ) ∪ (Uy2 ∩ Vy2 ) ∪ · · · ∪ (Uyn ∪ Vyn ), como cada una de estas
últimas intersecciones es vacía, se tiene que U ∩ V = ∅.
Corolario 3.3.3. Todo compacto en un espacio con la propiedad de separación de Hausdorff (en particular en un espacio métrico) es siempre
cerrado.
Demostración. El conjunto compacto F será cerrado si y solo si X − F
es abierto. Sea x ∈ X − F veamos si x ∈ int(X − F ) :
Como x 6∈ F por la proposición anterior ∃ U, V abiertos con x ∈ U, F ⊆ V
y U ∩ V = ∅.
En particular, F ∩ U ⊆ V ∩ U = ∅ entonces U ∩ F = ∅, y por tanto
x ∈ U ⊆ X − F, que, al ser U abierto, implica que x ∈ int(X − F ): Así
pues, X − F es abierto y F es cerrado.
Proposición 3.3.4. (Separación de compactos)
Sea (X, T ) un espacio topológico con la propiedad de separación de Hausdorff. Sean F1 , F2 ⊆ X compactos disjuntos. Entonces existen abiertos U
y V de (X, T ) con F1 ⊆ U, F2 ⊆ V y U ∩ V = ∅.
Demostración. Si x ∈ F1 , entonces, como F1 ∩ F2 = ∅, x 6∈ F2 . Aplicando
la proposición anterior: ∃ abiertos Ux y Vx con Ux ∩ Vx = ∅ tales que
x ∈ Ux y F2 ⊆ S
Vx .
S
Tenemos F1 = x∈F1 {x} ⊆ x∈F1 Ux y por ser F1 compacto, ∃x1 , . . . , xn
con F1 ⊆ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn .
Sean U = ∪ni=1 Uxi y V = ∪ni=1 Vxi . Nótese que U y V son abiertos (este
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
49
último por ser intersección finita de abiertos). Claramente F1 ⊆ U y
F2 ⊆ V .
Por último, U ∩ V = (Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn ) ∩ V = (Ux1 ∩ V ) ∪ (Ux2 ∩ V ) ∪
· · · ∪ (Uxn ∩ V ) ⊆ (Ux1 ∩ Vx1 ) ∪ (Ux2 ∩ Vx2 ) ∪ · · · ∪ (Uxn ∩ Vxn ) = ∅.
Así U ∪ V = ∅.
Nota 3.3.5. La proposición anterior vale para todos los espacios métricos.
Proposición 3.3.6. (Teorema de Heine-Borel para la recta euclídea) En
(R, euclídea), un conjunto A ⊂ R es compacto si y sólo si es cerrado y
acotado.
Demostración. Por el Corolario 3.2.4, si A es cerrado y acotado entonces
es compacto. Recíprocamente, si es compacto entonce A es acotado y
cerrado por las proposiciones 3.1.13 y 3.3.3, respectivamente.
3.4.
Compacidad y continuidad
Proposición 3.4.1. (La continuidad preserva la compacidad)
Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) una aplicación continua entre espacios topológicos. Si A ⊆ X es compacto en (X, T ) entonces f (A) lo es en (Y, T ′ ).
S
Demostración.
Seaf (A)
= α∈Λ Gα con Gα abierto de (Y, T ′ ), entonces
S
S
A ⊆ f −1 α∈Λ Gα = α∈Λ f −1 (Gα ) donde f −1 (Gα ) es abierto por ser
f continua. Como A es compacto ∃ α1 . . . αn con A ⊆ f −1 (Gα1 ) ∪ · · · ∪
f −1 (Gαn ) ⊆ f −1 (Gα1 ∪ · · · ∪ Gαn ), luego f (A) ⊆ Gα1 ∪ · · · ∪ Gαn y por
tanto f (A) es compacto.
Proposición 3.4.2. (Teorema de Weierstrass) Sea f : (X, T ) → (R, euclídea)
una aplicación continua, entonces la imagen de cualquier subconjunto
compacto A ⊆ X alcanza su máximo y su mínimo.
Demostración. Por la Proposición 3.4.1, f (A) es un compacto de la recta
euclídea y por la Proposición 3.3.6 es cerrado y acotado. Por ser acotado
f (A) tiene ínfimo y supremo. Pero por ser cerrado estos punto que son
puntos adherentes por el Ejemplo 2.3.7, están en f (A) = f (A).
Proposición 3.4.3. Sean (X, T ) e (Y, T ′ ) espacios topológicos compactos con la propiedad de Hausdorff. Toda f : (X, T ) → (Y, T ′ ) continua
es también cerrada.
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
50
Demostración. Sea F cerrado en (X, T ), por ser (X, T ) compacto, F es
compacto y usando que f es continua, se tiene que f (F ) es compacto en
(Y, T ′ ), que es un espacio de Hausdorff y tanto f (F ) es cerrado. Así f es
cerrada.
Nota 3.4.4. En la demostración sólo se ha usado la compacidad de
(X, T ) y la propiedad de Hausdorff de (Y, T ′ ).
Corolario 3.4.5. (Homeomorfismos entre espacios de Hausdorff compactos) Toda aplicación biyectiva y continua, f : (X, T ) → (Y, T ′ ) entre
espacios compactos y de Hausdorff es un homeomorfismo.
Demostración. Por la proposición anterior, f es cerrada, y por hipótesis,
es continua y biyectiva, por tanto, f es un homeomorfismo.
Ejemplo 3.4.6. La circunferencia unidad, S 1 ⊆ R2 , es un compacto de
(R2 , euclidea)
Sea f : ([0, 2π], euclídea) → (R2 , euclídea) dada por f (t) = (cos t, sen t).
Figura 3.1: Figure
f es continua pues p1 ◦ f (t) = cos t; p2 ◦ f (t) = sen t y [0, 2π] es
compacto. Entonces la circunferencia unidad f ([0, 2π]) = S 1 es compacto.
Ejemplo 3.4.7. En un espacio métrico la intersección arbitraria de compactos es siempre un conjunto compacto. En efecto, sean {Aα }α∈Λ compactos. Por estar en un espacio métrico, los Aα son cerrados (3.3.3), luego
∩α∈Λ Aα ⊆ Aα es cerrado y por herencia de compacidad ya que Aα que
es compacto, tenemos que ∩α∈Λ Aα es compacto.
Ejemplo 3.4.8. Sea la sucesión F1 ⊇ F2 ⊇ . . . de cerrados encajados, distintos del vacío, en un espacio topológico con la propiedad de
Hausdorff, (X, T ). Si F1 es compacto, entonces, ∩∞
i=1 Fi 6= ∅ (Teorema de
Cantor).
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
51
En efecto, {Fn } tiene la PIF pues dado n1 , . . . , nk , Fn1 ∩ · · · ∩ Fnk =
Fn0 6= ∅, con n0 = max{n1 , . . . nk }. Todos están contenidos en F1 que
es compacto. Luego, por la caractrización de compacidad por cerrados,
∩∞
i=1 Fi 6= ∅. Exactamente esto es lo que ocurre en la construcción del
Conjunto de Cantor en el Ejemplo 2.6.6(c).
Figura 3.2:
3.5.
Compacidad en espacios productos. Caracterización de la compacidad en los espacios euclídeos
Sean (X1 , d1 ) . . . (Xn , dn ) espacios (seudo)métricos. Sobre el producto cartesiano X1 × X2 × · · · × Xn podemos considerar las siguientes
seudo(distancias) δntaxi = δntaxi (d1 , . . . , dn ), δnmax = δnmax (d1 , . . . , dn ) y
δneuclidea = δneuclidea(d1 , . . . , dn ), dadas
P por
δntaxi ((x1 , . . . , xn ), (x′1 , . . . , x′n )) = ni=1 di (xi , x′i ),
′
′
δnmax ((x1 , . . . , xn ), (x′1 , . . . , x′n )) = max{d
1 (x1 , x1 ), . . . , d(xn , xn )}, y
p
P
n
′ 2
δneuclidea ((x1 , . . . , xn ), (x′1 , . . . , x′n )) =
i=1 di (xi , xi ) , respectivamente.
Obsérvese que si X1 = X2 = · · · = Xn = R y d1 = d2 = · · · = dn =
euclídea sobre R entonces δntaxi = dtaxi , δnmax = dmax y δneuclidea = deuclidea
sobre Rn . Además, extendiendo la Nota 1.2.5, se puede comprobar (ejercicio) que las tres generan los mismos conjuntos abiertos. Por tanto, sus
espacios topológicos subyacentes son el mismo y, como consecuencia, la
compacidad se puede estudiar con cualquiera de estas (seudo)distancias.
Proposición 3.5.1. Sean (X1 , d1 ) . . . (Xn , dn ) espacios (seudo)métricos,
y sea δ cualquiera de las (seudo)distancias δntaxi , δnmax o δneuclidea .
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
52
Si Ai ⊆ Xi , 1 ≤ i ≤ n compacto en (Xi , di ), entonces A1 × · · · × An es
compacto en (X1 × · · · × Xn , δ).
Demostración. Haremos la demostración para δ = δnmáx . Es inmediato
comprobar:
max
δnmax = δ2max (δn−1
, dn ),
por lo que por inducción basta hacer el caso n=2.
Sea ahora {Gα }α∈Λ un recubrimiento
por abiertos de A1 × A2 en (X1 ×
S
max
X2 , δ2 ). Es decir, A1 × A2 ⊆ α∈Λ Gα y cada Gα es abierto en (X1 ×
X2 , δ2max ).
Para todo (x, y) ∈ A1 × A2 , existe un índice α(x, y) ∈ Λ con (x, y) ∈
Gα(x,y) . Como Gα(x,y) es abierto, tenemos que ∃ ε(x, y) > 0 tal que
Bδ2max ((x, y), ε(x, y)) ⊆ Gα (x, y).
Es fácil verificar la siguiente igualdad para todo ε > 0
Bδ2max ((x, y), ε) = Bd1 (x, ε) × Bd2 (y, ε).
S
S
Fijado y, A1 = x∈A1 {x} ⊆ x∈A1 Bd1 (x, ε(x, y)). Entonces, por ser
A1 compacto, ∃ un conjunto finito Jy = {x1 , . . . , xn } tales que A1 ⊆
Bd1 (x1 , ε(x1 , y))∪Bd1 (x2 , ε(x2 , y))∪· · ·∪Bd1 (xn , ε(xn , y)). Tomamos εy =
min{ε(x1 , y), . . . , ε(xn , y)} y consideremos las bolas
Bd2 (y, εy ) con yS∈ A2 .
S
Tenemos A2 = y∈A2 {y} ⊆ y∈A2 Bd2 (y, εy ). Entonces, por ser A2 compacto, ∃y1 , . . . , yk con A2 ⊆S
Bd2 (y1 , εy1 ) ∪ · · · ∪ Bdk (yk , εyk ).
Afirmamos que A1 × A2 ⊆ 1≤i≤k, x∈Jy ∪···∪Jy Gα(x,y) , que es una unión
1
k
finita de los abiertos Gα originales. En efecto sea (x0 , y0 ) ∈ A1 × A2
cualquiera. EntoncesSexiste k0 con 1 ≤ k0 ≤ k con y0 ∈ Bd2 (yk0 , εyk0 ).
Ahora, x0 ∈ A1 ⊆ x∈Jy Bd1 (x, ε(x, yk0 )) y existe x′ ∈ Jyk0 con x0 ∈
k0
Bd1 (x′ , ε(x′ , yk0 )).
Por definición, εyk0 ≤ ε(x′ , yk0 ).
Tenemos (x0 , y0 ) ∈ Bd1 (x′ , ε(x′ , yk0 )) × Bd2 (yk0 , εyk0 ) ⊆ Bd1 (x′ , ε(x, yk0 ) ×
Bd2 (yk0 , ε(x′ , yk0 )) = Bδ2max ((x′ , yk0 ), ε(x′ , yk0 )) ⊆ Gα (x′ , yk0 ) con x′ ∈
Jyk0 y1 ≤ k0 ≤ k.
Corolario 3.5.2. El paralelogramo (producto de intervalos) [a1 , b1 ] ×
· · · × [an , bn ] es compacto en (Rn , dmax ) (o equivalentemente (Rn , dtaxi ) o
(Rn , deuclidea))
Proposición 3.5.3. (Teorema de Heine-Borel).
A ⊆ R es compacto en (Rn , euclídea) si y sólo si A es cerrado y acotado.
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
53
Demostración. ⇒) Tenemos que (Rn ,euclídea) es Haussdorff y por tanto
A es cerrado (3.3.3) y acotado lo es por 3.1.13.
⇐) Como A es acotado, A está contenido en un paralelogramo J, que es
compacto por 3.5.2. Entonces A es cerrado en un compacto y por tanto
A es compacto por 3.2.3.
Nota 3.5.4. ⇒) Es válida para todo espacio métrico.
Nota 3.5.5. Generalización a espacios topológicos: Si (X1 , T1 ) y (X2 , T2 )
espacio topológico. Se define sobre X1 ×X2 la topología producto, T1 ∗T2 =
{∅ y G ⊆ X1 × X2 , tales que para todo (x, y) ∈ G existen U y V abiertos
de T1 y T2 con (x, y) ∈ U × V ⊆ G}. Se puede demostrar, con una
demostración similar a la de 3.5.1 que si A1 y A2 son compactos de
(X1 , T1 ) y (X2 , T2 ), respectivamente, entonces A1 × A2 es un compacto
de (X1 × X2 , T1 ∗ T2 ).
3.6.
Compacidad en espacios métricos
Proposición 3.6.1. Sea (X, d) espacio métrico y {xn }n≥1 ⊆ X una
sucesión sin subsucesiones convergentes. Entonces:
1. El conjunto A = {x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . } es infinito.
2. El conjunto de puntos de acumulación de A, A′ = ∅, es vacío.
Demostración.
1. R.A.: Supongamos que A es finito, entonces cierto elemento xn0
aparece infinitas veces en la sucesión. Por tanto, xn0 = xn1 = xn2 =
· · · = xnk = . . . con n0 < n1 < n2 . . . < nk < . . . . Luego existe una
subsucesión constante, y por tanto convergente. Contradicción!
2. R.A.: Si x0 ∈ A′ , entonces por estar en un espacio métrico, tenemos
que cualquier bola abierta de centro x0 contiene inifinitos puntos
de A: Así:
∃xn1 ∈ Bd (x0 , 1)
∃xn2 ∈ Bd x0 , 21 con n2 > n1
∃xn3 ∈ Bd x0 , 13 con n3 > n2 > n1
...
∃xnk ∈ Bd x0 , k1 con nk > nk−1 > . . . > n1
...
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
54
Es decir, existe una subsucesión {xk }k≥1 de {xn }n≥1 convergiendo a
1
x0 . En efecto, dado ε > 0, sea k0 con
< ε, entonces d(xnk , x0 ) =
k0
1
1
<
si k ≥ k0 . Llegamos a contradicción. Por tanto, A′ = ∅.
k
k0
Luego, A = A ∪ A′ = A, lo que implica que A es cerrado.
Corolario 3.6.2. (Propiedad de Bolzano-Weierstrass). Si (X, d) es un
espacio métrico compacto entonces toda sucesión en X posee una subsucesión convergente.
Demostración. R.A.: Supongamos que ∃{xn }n≥1 sucesión sin sucesiones
convergentes. Entonces, por la propiedad anterior:
1. A = {x1 , . . . , xn , . . . } es infinito.
2. A′ = ∅, lo que implica que todos los puntos de A son aislados. Es
decir, ∀xn ∃εn con Bd (xn , εn ) ∩ A = {xn }
3. A es cerrado
y por tanto compacto al ser (X, d) compacto. Como
S
A ⊆ ∞
B
n=1 d (xn , εn ), ∃n1 , . . . , nk con A ⊆ Bd (xn1 , εn1 ) ∪ · · · ∪
Bd (xnk , εnk ). Luego A = {xn1 , . . . , xnk }; es decir, A es finito, lo que
contradice el apartado (1).
Proposición 3.6.3. (Teorema de Bolzano-Weierstrass) El recíproco también es cierto, es decir, un espacio métrico (X, d) es compacto si y sólo
si posee la propiedad de Bolzano-Weierstrass.
Demostración. El recíproco es consecuencia de las dos siguientes proposiciones.
Proposición 3.6.4. Sea (X, d) espacio métrico con la propiedad de BolzanoWeierstrass. Entonces para cualquier ε > 0, X se puede cubrir con una
cantidad finita de bolas de radio ε.
Demostración. R.A.: Supongamos que ∃ε0 tal que X no se cubre con
una cantidad finita de bolas de radio ε0 . Entonces tomamos x1 ∈ X
cualquiera:
X 6= Bd (x1 , ε0 ) (en caso contrario, X quedaría cubierto con una sólo una
bola de radio ε0 ), entonces ∃x2 ∈ X tal que x2 6∈ Bd (x, ε0 ) (si no, dos
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
55
bolas de radio ε0 bastarían para cubrir X), luego d(x1 , x2 ) ≥ ε0 .
De nuevo:
X 6= Bd (x1 , ε0) ∪ Bd (x2 , ε0 ), entonces, x3 ∈ X tal que x3 6∈ Bd (x1 , ε0) ∪
Bd (x2 , ε0 ), luego d(x1 , x3 ) ≥ ε0 y d(x2 , x3 ) ≥ ε0 .
Reiterando el proceso, construimos una sucesión {xn }n≥1 ⊆ X tal que
d(xn , xm ) ≥ ε0 si m ≤ n Por la propiedad de Bolzano-Weierstrass,
∃{xnk }k≥1 subsucesión
convergiendo a algún x0 ∈ X.
si tomamos
Entonces
ε0 ε0 la bola Bd x0 ,
, debe existir k0 con xnk ∈ Bd x0 ,
si k ≥ k0 . En2
2
tonces, si k, s ≥ k0 ,
ε0 ε0
d(xnk , xns ) ≤ d(xnk , x0 ) + d(xns , x0 ) <
+
= ε0 .
2
2
Contradicción.
Proposición 3.6.5. (Lema de Lebesgue) Sea (X, d) un espacio métrico con la propiedad de Bolzano-Weierstrass, entonces dado cualquier
recubrimiento U = {Uα }α∈Λ de X existe ε > 0 (llamado número de
Lebesgue de U) tal que para cada bola abierta de radio ε, Bd (x, ε) existe
α0 ∈ Λ con Bd (x, ε) ⊆ Uα0
Demostración. R.A.: Supongamos que para ε > 0, ∃xε ∈ X con Bd (xε , ε) *
Gα , ∀α ∈ Λ, tenemos que
dado ε1 = 1, ∃x1 con Bd (x1 , ε1 ) * Uα , ∀α
1
dado ε2 = , ∃x2 con Bd (x2 , ε2 ) * Uα , ∀α
2
...
1
dado εn = , ∃xn con Bd (xn , εn ) * Uα , ∀α.
n
...
Es decir, hemos construido una sucesión {xn }n≥1 ⊆ X que, por la propiedad
de Bolzano-Weierstrass, debe
S contener una subsucesión {xnk }k≥1 que converge a algún x0 ∈ X = α∈Λ Uα . Entonces ∃α0 ∈ Λ con x0 ∈ Uα0 . Sea
δ > 0 tal que Bd (x0 , δ) ⊆ Uα0 .
δ
δ
Por convergencia, dado , ∃k0 tal que d(x0 , xnk ) < si k ≥ k0 . Por
2
2
δ
1
δ
tanto, x0 ∈ Bd xnk ,
. Sea k1 > k0 con
< . Afirmamos que
2
nk1
2
1
Bd xnk1 ,
⊆ Bd (x0 , δ) ⊆ Uα0 , lo que lleva a contradicción con la
nk1
elección delos xn . 1
1
δ
Si y ∈ Bd xnk1 ,
, entonces d(xnk , y) <
< , y
nk1
nk1
2
δ δ
d(x0 , y) ≤ d(x0 , y) ≤ d(x0 , xnk ) + d(xnk , y) < + = δ,
2 2
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
56
Figura 3.3:
luego, y ∈ Bd (x0 , δ).
Nota 3.6.6. El lema de Lebesgue implica que si A ⊆ X es cualquier
conjunto con diámetro δ(A) < ε, entonces A ⊆ Uα0 para algún α0 ∈ Λ.
En efecto, si a ∈ A, δ(A) < ε implica que A ⊆ Bd (a, ε) y esta bola está
contenida en algún Uα por el lema de Lebesgue.
Demostración.
(Final de la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass).
S
Sea X = α∈Λ Uα con U = {Uα }α∈Λ un recubrimiento por abiertos de
X. Entonces, por el lema de Lebesgue, ∃ε > 0 tal que ∀x ∈ X existe α(x) ∈ Λ con Bd (x, ε) ⊆ Uα(x) , aplicando 3.6.4, ∃x1 , . . . , xn con
X = Bd (x1 , ε) ∪ · · · ∪ Bd (xn , ε) ⊆ Uα(x1 ) ∪ Uα(x2 ) ∪ · · · ∪ Uα(xn ) , luego
X = Uα(x1 ) ∪ Uα(x2 ) ∪ · · · ∪ Uα(xn ) . Por tanto (X, d) es compacto.
Definición 3.6.7. Sea f : (X, d) → (Y, d′ ) entre espacios (seudo)métricos.
Decimos que f es uniformemente continua si dado ε > 0, ∃δ > 0 tal que
si d(x, x′ ) < δ, entonces d′ (f (x), f (x′ )) < ε.
Proposición 3.6.8. (Teorema de Heine). Sea f : (X, d) → (Y, d′) con
(X, d) espacio métrico compacto. Entonces, si f es continua, f es uniformemente continua.
Demostración.
ε > 0. Para cada y ∈ Y consideramos la bola
εTomemos
S
ε
abierta Bd′ y, . Tenemos Y = y∈Y Bd′ y,
y por continuidad,
2
2
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
57
ε ε S
f −1 Bd′ y,
es abierto de (X, d) y X = y∈Y f −1 Bd′ y,
.
2 n
2
ε o
Por tanto, U = f −1 Bd′ y,
es un recubrimiento por abiertos
2
y∈Y
de X.
Aplicando el lema de Lebesgue, ∃µ > 0 tal que si δ(A) < µ entonces,
A está contenido en algún abierto de U. Si x, x′ ∈ X con d(x, x′ ) < µ,
entonces
ε δ({x, x′ }) < µ, luego ∃y0 ∈ Y con {x, x′ } ⊆ f −1 Bd′ y0 ,
.
2
ε
Así que f (x), f (x′ ) ∈ Bd′ y0 ,
. Por tanto,
2
ε ε
d′ (f (x), f (x′ )) < d′ (f (x), y0) + d′ (y0 , f (x′ )) < + = ε.
2 2
Ejemplo 3.6.9. Hay espacios métricos con conjuntos cerrados y acotados que no son compactos.
Sea X = {f : [0, 1] → [0, 1] continuas} y d = d∞ la distancia d∞ (f, g) =
supx∈[0,1] {|f (x) − g(x)|} = maxx∈[0,1] {|f (x) − g(x)|}. En (X, d) consideremos la bola cerrada A = Bd [θ, ε] con θ = constante 0 y ε arbitrario pero
fijo. A es cerrado y acotado pero no es compacto. Veamos esto ultimo:
R.A.: Sea {fn }n≥1 la sucesión en Bd [θ, ε] indicada en la figura. Si A
fuese compacto, por la propiedad de Bolzano-Weierstrass, ∃{fnk }k≥1 subsucesión convergiendo a algún f0 ∈ A. Luego dado µ > 0, ∃k0 con
d(fnk , f0 ) < µ, ∀k ≥ k0 . Es decir, |fn (x) − f0 (x)| < µ, ∀x ∈ [0, 1].
1
< x y k ≥ k0 . Lo que implica que fn (x) = 0 y
Si x 6= 0, sea k con
nk
|f0 (x)| < µ, ∀µ > 0. Por tanto, f0 (x) = 0, y por ser f0 continua tenemos que f0 (0) = 0, luego f0 = θ. Pero d(fnk , f0 ) = d(fnk , θ) = ε (fijo).
Contradicción.
Figura 3.4:
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
3.7.
58
Compacidad y completitud
Definición 3.7.1. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Una sucesión
{xn }n≥1 ⊆ X se dice de Cauchy si dado ε > 0, ∃n0 con d(xn , xn′ ) < ε
para todo n, n′ ≥ n0 .
Proposición 3.7.2. Toda sucesión de Cauchy está acotada.
Demostración. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y {xn }n≥1 ⊆ X una
sucesión de Cauchy. Entonces, existe n0 tal que para todo n, m ≥ n0
d(xn , xm ) < 1. Si r > máx {1, d(xn0 , xi ); 1 ≤ i ≤ n0 − 1}, tenemos que
d(xn0 , xn ) < r para todo n ≥ 1 y la sucesión está acotada.
Proposición 3.7.3. Toda sucesión convergente es de Cauchy.
ε
Demostración. Si {xn }n≥1 converge a x0 en (X, d) entonces dado existe
2
ε
n0 tal que d(xn , x0 ) < si n ≥ n0 , por lo que
2
ε ε
d(xn , xn′ ) ≤ d(xn , x0 ) + d(x0 , xn′ ) < + = ε
2 2
′
si n, n ≥ n0 .
Definición 3.7.4. Un espacio (seudo)métrico (X, d) se dice completo si
toda sucesión de Cauchy en (X, d) es convergente.
Proposición 3.7.5. Todo espacio métrico compacto (X, d) es completo.
Demostración. Sea {xn }n≥1 ⊆ X de Cauchy. Por la propiedad de BolazanoWeierstrass, existe una subsucesión {xnk }k≥1 convergente a algún x0 ∈ X.
Afirmamos que {xn }n≥1 converge a x0 . En efecto, dado ε > 0 :
ε
Por Cauchy, ∃n0 con d(xn , x′n ) < si n, n′ ≥ n0
2
ε
Por convergencia, ∃k0 con d(xnk , x0 ) < si k ≥ k0 .
2
Sea n1 = max{n0 , nk0 }, entonces si n ≥ n1 y nk ≥ n1 ,
ε ε
d(xn , x0 ) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x0 ) < + = ε. Luego {xn }n≥1 converge
2 2
a x0 .
Corolario 3.7.6. Los espacios euclídeos (Rn , euclídea) son completos.
Demostración. Sea {xn }n≥1 ⊆ Rn una sucesión de Cauchy. Por 3.7.2
tenemos que esta sucesíón está acotada y por tanto existe r tal que
{xn }n≥1 ⊆ Bde [x1 , r] donde de denota la distancia euclídea. Como las
bolas euclídeas cerradas son compactos, se sigue de 3.7.5 que la sucesión
{xn }n≥1 converge en Bde [x1 , r] y por tanto en (Rn , euclídea).
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
3.8.
59
Compacidad local
Definición 3.8.1. Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente compacto si ∀x ∈ X y cualquier entorno N de x existe otro entorno N ′ de x
con N ′ ⊆ N y N ′ compacto.
Proposición 3.8.2. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Son equivalentes:
1. (X, d) es localmente compacto.
2. Dado x ∈ X existe una bola cerrada Bd [x, ε] que es compacta.
3. Todo x ∈ X posee un entorno N en (X, T ) que es compacto.
Demostración. 1) ⇒ 2) : Por hipótesis, como X es entorno de cualquier
x ∈ X existe N entorno compacto de x, luego ∃δ > 0 con Bd (x, δ) ⊆ N.
δ
Si ε = , Bd [x, ε] ⊆ Bd (x, δ) ⊆ N, y como Bd [x, ε] es cerrado y N es
2
compacto, entonces Bd [x, ε] es compacto.
2) ⇒ 3) : Es trivial tomando N = Bd [x, ε].
3 ⇒ 1 : Sea M cualquier entorno de de x. Entonces x ∈ intM y existe
δ > 0 con Bd (x, δ) ⊆ M. Dado el entorno compacto N proporcionado por
3), también existe ε > 0 con Bd (x, ε) ⊆ N. Sea µ < min{ε, δ}, entonces
N ′ = Bd [x, µ] ⊆ Bd (x, δ) ⊆ M es un entorno de x y como Bd [x, µ) ⊆ N ′ ,
por tanto, N ′ es entorno de x. Por último, como N ′ ⊂ B(x, ε) ⊂ N es un
cerrado contenido en el conjunto compacto N, N ′ es compacto.
Ejemplo 3.8.3. Los espacios euclídeos (Rn , euclídea) son localmente
compactos (es más, en ellos toda bola cerrada es compacta).
Ejemplo 3.8.4. ((0, 1), euclídea) es localmente compacto ya que cumple
la segunda condición del teorema anterior. Sin embargo no todas las
bolas cerradas son compactas ya que por ejemplo Bd [ 12 , 1] = (0, 1) no es
compacto.
Ejemplo 3.8.5. El espacio de funciones continuas (X, d) de 3.6.9 no es
localmente compacto en θ = constante 0.
Ejemplo 3.8.6. (Q, d = euclídea) no es localmente compacto. Si lo
fuese, dado x ∈ Q, ∃ε > 0 tal que Bd [x, ε] = [x − ε, x + ε] ∩ Q debe ser
compacto. Pero se serlo, lo sería también en (R, euclídea) y allí no es
cerrado. Por tanto, Bd [x, ε] no es compacto.
CAPÍTULO 3. COMPACIDAD
60
Proposición 3.8.7. Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico localmente
compacto.
1. Si A ⊆ X es cerrado, (A, d|A ) es localmente compacto.
2. Si B ⊆ X es cerrado, (B, d|B ) es localmente compacto.
Demostración.
1. Sea a ∈ A. Como A es abierto, A es entorno de a. Como (X, d)
es localmente compacto, ∃N ′ ⊆ A, N ′ entorno compacto de x en
(X, d).
Por ser N ′ entorno de x, ∃ε > 0 tal que Bd [a, ε] ⊆ N ′ ⊆ A. Por
tanto, Bd |A [a, ε] = Bd [a, ε] es compacto. Así obtenemos que (A, d|A )
es localmente compacto.
2. Sea b ∈ B. Como (X, d) es localmente compacto, ∃ε > 0 con Bd [b, ε]
es compacto. Además Bd |B [b, ε] = B ∩ Bd [b, ε] es cerrado de la
topología relativa de Bd [b, ε] que es compacto. Luego Bd |B [b, ε] es
compacto. Por tanto, (B, d|B ) es localmente compacto.
Capítulo 4
Conexión
4.1.
Conexión por caminos
Definición 4.1.1. Dado (X, T ) un espacio topológico, un camino entre
dos elementos x, y ∈ X es una aplicación continua α : ([0, 1], euclídea) →
(X, T ) tal que α(0) = x y α(1) = y.
Definición 4.1.2. Un espacio topológico (X, T ) se dice conexo por caminos
si ∀x, y ∈ X existe un camino entre x e y. Más generalmente, A ⊆ X se
dice conexo por caminos si lo es (A, T /A ).
Veamos los primeros ejemplos.
Ejemplo 4.1.3.
1. Sea A es un intervalo de cualquier tipo en (R,euclídea),
entonces A es conexo por caminos. En efecto, dados x, y ∈ A con
x ≤ y, entonces, [x, y] ⊆ A. Sea α : ([0, 1], euclídea) → (A, euclídea)
definida por α(t) = (1 − t)x + ty ∈ [x, y] ⊆ A, α es continua,
α(0) = x y α(1) = y.
2. Si (V, k . k) es un espacio vectorial normado, tal que dk.k (x, y) =k
x − y k. Entonces (V, dk.k) es conexo por caminos.
En efecto, dados x, y ∈ V , sea α : ([0, 1], euclídea) → (V, dk.k ) con
α(t) = (1 − t)x + ty ∈ V , α(0) = x y α(1) = y. Veamos si α es
continua:
ε
Dado ε > 0 bastará tomar un δ ≤ kxk+kyk
para satisfacer el criterio
ε − δ de continuidad. En efecto,
k α(t)−α(t′ ) k=k (1−t)x+ty−(1−t′ )x−t′ y k=k (t−t′ )x+(t′ −t)y k
≤ |t − t′ | k x k +|t − t′ | k y k= |t − t′ |(k x k + k y k).
61
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
62
La siguiente proposición muestra que todos los espacios conexos por
caminos tienen sólo al espacio total y el vacío como conjuntos simultáneamenta abiertos y cerrados.
Proposición 4.1.4. Si (X, T ) es conexo por caminos, entonces los únicos conjuntos abiertos y cerrados de (X, T ) son X y ∅.
Demostración. Razonamos por R.A. y suponemos que A ⊂ X es un
conjunto abierto y cerrado con A 6= X, ∅. Sea x0 ∈ A (aquí usamos que
A 6= ∅) y x1 ∈
/ A (aquí aplicamos que A 6= X). Por hipótesis existe
un camino α : ([0, 1], euclídea) → (X, T ) con α(0) = x1 y α(1) = x2 .
Como α es continua el conjunto α−1 (A) es tanto abierto como cerrado de
([0, 1], euclídea). Ahora bien, A no es el conjunto vacío pues 0 ∈ α−1 (A)
y tampoco es todo [0, 1] pues 1 ∈
/ α−1 (A). Esto contradice la Proposición
2.7.6.
Para los intervalos de R el recíproco de la proposición anterior también
es cierto y ello nos permite determinar todos los conjuntos conexos por
caminos de la recta euclídea. Explícitamente,
Proposición 4.1.5. (Caracterización de los conjuntos conexos por caminos
de la recta euclídea)
En (R,euclídea), las siguientes propiedades son equivalentes para cualquier
A ⊆ R.
1. A es conexo por caminos.
2. Los únicos conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados en (A,euclídea)
son A y ∅.
3. Si a ≤ b con a, b ∈ A, entonces [a, b] ⊆ A.
4. A es un intervalo.
Demostración. (1) ⇒ (2) es un caso particular de la Proposición 4.1.4.
Para probar la implicación (2)⇒ (3) se razona por R.A. Si existe a < t < b
con t ∈
/ A. Entonces A ∩ (−∞, t) = A ∩ (−∞, t] sería un conjunto abierto
y cerrado en (A; euclídea), lo que contradice (2).
Para demostrar (3)⇒ (4)veremos las distintas posibilidades que tiene
el conjunto A respecto a su supremo e ínfimo.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
63
1. Supongamos que A no tiene ni supremo ni ínfimo. En este caso
dado n ∈ N existen an , bn ∈ A tales que an < −n y bn > n.
Entonces [−n, n] ⊂ [an , bn ]. Por (3), [an , bn ] ⊆ A, para todo n.
∞
∞
[
[
Ahora R =
[−n, n] ⊆
[an , bn ] ⊆ A ⊆ R entonces A = R.
n=1
n=1
2. Supongamos que A tiene supremo pero no ínfimo. Probaremos sólo
el caso en el que A tiene máximo. El caso en el que el supremo no
sea máximo es análogo al caso 3 que sigue (se deja como ejercicio).
Sea b = máx A. Como ∄ı́nf A ⇒ ∀n ≥ 1 ∃an ∈ A con an ≤ −n.
Por (3) se tiene que [an , b] ⊆ A. Entonces
(−∞, b] =
∞
[
[−n, b] ⊆
n=1
∞
[
[an , b] ⊆ A ⊆ (−∞, b] ⇒ A = (−∞, b]
n=1
3. Supongamos que A tiene ínfimo pero no supremo. Probaremos sólo
el caso en el que A no tiene mínimo.
Sea a = ı́nf A, con a 6∈ A . Entonces se tiene ∀n ≥ 1 ∃bn ∈ A con
bn ≥ n y ∃an ∈ A con an ≤ a + n1 . Por (3) se sigue [an , n] ⊆ A ⇒
∞
∞
[
[
1
1
[an , n] ⊆ A. También [a + n , n] ⊆ [an , n] ⇒
[a + , n] ⊆ A.
n
n=1
n=1
∞
[
1
Ahora
[a + , n] = (a, +∞) ⊆ A. Además A ⊆ (a, ∞) por
n
n=1
a = ı́nf A y a 6∈ A. Así A = (a, ∞).
Si el ínfimo es mínimo se deja como ejercicio. La demostración es
análoga al caso 2.
4. Supongamos que A tiene supremo e ínfimo. Probaremos primero el
caso en el que existe máximo pero no mínimo. Sean b = máx A y
a = ı́nf A con a 6∈ A. Igual que en el caso anterior, ∀n ≥ 1, ∃an ∈ A
con an ≤ a + n1 .
Entonces de (3) concluimos [an , b] ⊆ A. Luego
(a, b] =
∞
[
[a +
n=1
∞
[
1
, b] ⊆
[an , b] ⊆ A ⊆ (a, b]
n
n=1
De esta forma A = (a, b].
Veamos ahora el caso en el que A tiene mínimo y máximo.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
64
Sea a = mı́n A y b = máx B. Entonces A ⊆ [a, b] ⊆ A. Luego,
[a, b] = A
Por último veamos si A no tiene máximo ni mínimo.
Sea a = ı́nf A y b = sup A ninguno de ellos perteneciente a A. Entonces ∀n ≥ 1, ∃an ∈ A y ∃bn ∈ A con an ≤ a + n1 y bn ≥ b − n1 .
Por (3) se tiene [an , bn ] ⊆ A
Finalmente,
[a + n1 , b − n1 ] ⊆ [an , bn ]
(a, b) =
S∞
n=1 [a
Por tanto, A = (a, b).
+ n1 , b − n1 ] ⊆
S∞
n=1 [an , bn ]
⊆ A ⊆ (a, b)
No probaremos el caso en el que A no tiene máximo pero sí mínimo
que dejaremos como ejercicio.
Finalmente (4)⇒ (1) es inmediata pues ya sabemos que todo intervalo
es conexo por caminos.
Proposición 4.1.6. Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) continua. Si A ⊆ X es
conexo por caminos f (A) también.
Consecuencia: Si f es homeomorfismo y (X, T ) es conexo por caminos,
entonces (Y, T ′ ) también lo es.
Demostración. Sea fe : (A, T /A ) → (f (A), T ′ /f (A) ) la restricción sobre la
imagen. Como f es continua, fe también lo es.
Dados p, q ∈ f (A) entonces existe x, y ∈ A con f (x) = p y f (y) = q.
Como (A, T /A ) es conexo por caminos ∃α : ([0, 1], euclídea) → (A, T /A )
continua con α(0) = x y α(1) = y. Sea β : ([0, 1], euclídea) → (f (A), T ′ /f (A) ),
la composición β = fe ◦ α para la cual
)
β(0) = fe ◦ α(0) = fe(x) = p
β(1) = fe ◦ α(1) = fe(y) = q
lo que demuestra que f (A) es conexo por caminos.
Proposición 4.1.7. Sean (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) e. (seudo)métricos conexos
por caminos. Entonces (X1 × X2 , δ2máx ) es conexo por caminos, donde
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
65
Figura 4.1:
δ2máx (d1 , d2 )((x1 , x2 ), (x′1 , x′2 )) = máx{d1 (x1 , x′1 ), d2 (x2 , x′2 )}
Demostración. Sean α1 : ([0, 1], euclídea) → (X1 , d1) un camino de x1 a
x′1 y α2 : ([0, 1], euclídea) → (X2 , d2 ) un camino de x2 a x′2 . Definimos
α : ([0, 1], euclídea) → (X1 × X2 , δ2máx ), por α(t) = (α1 (t), α2 (t)). Es claro
que α(0) = (α1 (0), α2 (0) = (x1 , x2 ) y α(1) = (α1 (1), α2 (1) = (x′1 , x′2 ).
Probemos la continuidad de α. Para ello sea t y ε > 0, veamos si existe
µ tal que si | t − t′ |< µ entonces
δ2máx (α(t), α(t′ )) = máx{d1 (α1 (t), α1 (t′ )), d2 (α2 (t), α2 (t′ ))} < ε.
Se tiene:
α(1) continua ⇒ ∃µ1 con d1 (α1 (t), α1 (t′ )) < ε si | t − t′ |< µ1
α(2) continua ⇒ ∃µ2 con d2 (α2 (t), α2 (t′ )) < ε si | t − t′ |< µ2
Sea µ = mı́n{µ1 , µ2 }, entonces δ2máx (α(t), α(t′ )) < ε.
Nota 4.1.8. La proposición anterior es válida también para las (seudo)distancias δ2taxi y δ2euclidea ; ver Sección 3.5. Más generalmente, la proposición es válida para (X1 ×X2 , T1 ∗T2 ) donde T1 ∗T2 es la topología producto
en 3.5.5. Igualmente se puede generalizar a un número cualquiera de factores (X1 , d1 ), ..., (Xn , dn ) con n ≥ 2.
Proposición 4.1.9. La relación “estar conectados por un camino en
(X, T ).es de equivalencia. La denotaremos por ∼.
Demostración. Veamos las condiciones de relación de equivalencia:
1. Reflexiva: x ∼ x por α : ([0, 1], euclídea) → (X, T ) dada por α(t) =
x ∀t.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
66
2. Simétrica: x ∼ y ⇒ ∃α camino con α(0) = x y α(1) = y.
Sea ρ : ([0, 1], euclídea) → ([0, 1], euclídea) la aplicación continua ρ(t) = 1 − t. También será continua, por tanto, α = α ◦ ρ :
([0, 1], euclídea) → (X, T ) con α(0) = α ◦ ρ(0) = α(1) = y y
α(1) = α ◦ ρ(1) = α(0) = x.
Luego y ∼ x.
3. Transitiva: x ∼ y ⇒ ∃α con α(0) = x y α(1) = y. Por otro lado,
y ∼ z ⇒ ∃β con β(0) = y y β(1) = z.
Figura 4.2:
Sea η : [0, 21 ] → [0, 1] tal que η(t) = 2(t). De igual forma, sea
ξ : [ 12 , 1] → [0, 1] tal que ξ(t) = 2t − 1. Ambas aplicaciones son
obviamente continuas.
Sean α
e = α ◦ η : [0, 12 ] → X con α
e(t) = α ◦ η(t) = α(2t) y βe =
e = β ◦ ξ(t) = β(2t − 1).
β ◦ ξ : [ 21 ] → X con β(t)
Entonces se define γ : [0, 1] → X por
α
e(t) = α(2t)
si t ≤ 12
γ(t) =
e = β(2t − 1) si t ≥ 1
β(t)
2
γ está bien definida por γ( 12 ) = α(1) = β(0) = y. Comprobemos
que γ es continua.
Sea F cerrado de (X, T ) se tiene γ −1 (F ) = α
e−1 (F )∪ βe−1 (F ), donde,
por continuidad, α
e−1 (F ) = H ∩ [0, 12 ], con H cerrado de [0, 1]. Y
por tanto α
e−1 (F ) es cerrado de [0,1]. Análogamente βe−1 (F ) es cerrado de [0, 1]. Por tanto, se deduce que γ −1 (F ) es cerrado de [0, 1].
Finalmente,
γ(0) = α
e(0) = α(0) = x
e = β(1) = z
γ(1) = β(1)
lo que demuestra que x ∼ z.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
67
Proposición 4.1.10. Sea {Cα }α∈Λ familia de conexos por caminos en
(X, T ).
[Supongamos que ∃α0 ∈ Λ tal que Cα ∩ Cα0 6= ∅ ∀α ∈ Λ. Entonces
C0 =
Cα es conexo por caminos.
α∈Λ
Demostración. Sean x, x′ ∈ C0 , entonces x ∈ Cα para algún α ∈ Λ y
x′ ∈ Cα′ para algún α′ ∈ Λ.
Como Cα ∩ Cα0 6= ∅ entonces ∃x0 ∈ Cα ∩ Cα0 . Luego x se conecta con x0
por un camino en Cα ⊆ C0 .
Igual existe x′0 ∈ Cα′ ∩ Cα0 , luego x′0 y x′ se conectan por un camino en
Cα′ ⊆ C0 .
Figura 4.3:
Además, Cα0 conexo por caminos implica que x0 y x′0 se conectan por
un camino en Cα0 ⊆ C0
Aplicamos la propiedad transitiva de 4.1.9 y obtenemos que x y x′ se
conectan por un camino en C0 ; es decir, C0 es conexo por caminos.
Proposición 4.1.11. (Variante 1) Supongamos que la familia
\ en 4.1.10
′
cumple ahora que Cα ∩ Cα′ 6= ∅ ∀α, α ; en particular si
Cα 6= ∅.
Entonces C sigue siendo conexo por caminos.
α∈Λ
Demostración. La demostración es análoga a la anterior, tomando como
α0 cualquier α.
Proposición 4.1.12. (Variante 2) Sean C1 , C2 , ..., Cn una sucesión de
subconjuntos conexos por caminos de algún espacio topológico (X, T ) tal
∞
[
que Ci ∩ Ci+1 6= ∅ ∀i ≥ 1. Entonces C =
Cn es conexo por caminos.
n=1
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
68
Figura 4.4:
Demostración. Sea
D1 = C1 es conexo por caminos.
D2 = C1 ∪ C2 es conexo por caminos por 4.1.11.
D3 = C1 ∪ C2 ∪ C3 = D2 ∪ C3 es conexo por caminos ya que D2 es conexo
por caminos y D2 ∩ C3 6= ∅
..
.
n
[
Dn =
Ci = Dn−1 ∪ Cn es conexo por caminos pues Dn−1 es conexo
i=1
por caminos y Dn−1 ∩ Cn 6= ∅.
∞
[
Tenemos que C =
Dn . Ahora bien, los Di son conexos por caminos y
n=1
∩∞
n=1 Dn = D1 , y de 4.1.11 se sigue que C es conexo por caminos.
Terminamos esta sección con algunos ejemplos de espacios bien conocidos que son conexos por caminos.
Ejemplo 4.1.13.
1. Cualquier paralelogramo P = J1 ×J2 ×...×Jn en
(Rn ,euclídea) con Ji un intervalo (en particular Rn con Ji = R ∀i ≤
n) es conexo por caminos. En efecto, por 4.1.3(1) P es conexo en
el espacio métrico (Rn , δ max ) que tiene el mismo espacio topológico
subyacente que la distancia euclídea sobre Rn .
2. El círculo unidad C = {(x, y) ∈ R; x2 + y 2 ≤ 1} es conexo por
caminos ya todo punto se puede unir al origen (de hecho C es un
conjunto convexo).
3. La circunferencia unidad S 1 en (R2 ,euclídea) es conexa or caminos.
Basta tomar f : ([0, 2π], euclídea) → (R2 , euclídea) dada por f (t) =
(cos t, sen t). f es continua y [0, 2π] conexo por caminos, por tanto
también lo es f ([0, 2π]) = S 1 .
4. La esfera unidad S 2 ⊆ R3 es conexa por caminos en (R3 ,euclídea).
Para ello consideramos los hemisferios E+2 = {(x, y, z) ∈ S 2 ; z ≥ 0}
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
69
Figura 4.5:
y E−2 = {(x, y, z) ∈ S 2 ; z ≤ 0} y si B 2 es el disco unidad de R2
definimos p : S 2 → B 2 por p(x, y, z) = (x, y, 0). Obsérvese que la
restricción de p a E+2 es un homeomorfismo p+ . Análogamente los
es la restricción a E−2 . Sabemos que el disco unidad es conexo por
caminos. Se tiene que E+2 y E−2 son conexos por caminos y por tanto
lo son E+2 y E−2 . Además los hemisferios se cortan en el ecuador.
Por tanto, la esfera unidad es conexa por caminos.
Figura 4.6:
5. El cilindro C en (R3 ,euclídea) es conexo por caminos. Nótese que
C = S 1 × R que es conexo por caminos por serlo S 1 y R.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
70
Figura 4.7:
4.2.
Componentes conexas por caminos. Conexión local por caminos
Definición 4.2.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Se llama componente conexa por caminos de x ∈ X al mayor conexo por caminos Cx ⊆ X
con x ∈ Cx .
Lema 4.2.2. Cx existe.
Demostración. Sea C = {C ⊆ X; x ∈ Cy es conexo por caminos}. La
familia C =
6 ∅ no es vacía pues {x} ∈ C.
\
Ahora, por la variante anterior, como x ∈
C 6= ∅, entonces x ∈
C∈
C
[
C = D es conexo por caminos. Además, si C es conexo por caminos
C∈ C
y x ∈ C, por definición se tiene que C ∈ C, luego C ⊆ D y, por tanto, D es
el mayor entre todos los conjuntos que contienen a x; es decir Cx = D.
Proposición 4.2.3. Cx coincide con la clase de equivalencia de x respecto a la relación ”estar conectado por un camino”.
Demostración. Sea Z esa clase de equivalencia; esto es, Z = {y ∈ X;
existe un camino en X, entre x e y}. Veamos Z = Cx .
Comenzamos probando Cx ⊆ Z. Sea y ∈ Cx , entonces ∃α : [0, 1] → Cx ⊆
X con α(0) = x y α(1) = y. Luego, α es un camino en X y, por tanto,
y ∈ Z y Cx ⊆ Z.
Para ver la otra inclusión sea z ∈ Z, entonces existe un camino α :
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
71
[0, 1] → X con α(0) = x y α(1) = z. Tenemos que A = α([0, 1]) es
conexo por caminos por la continuidad de α y la conexión por caminos
de [0, 1]. Como x, z ∈ A entonces z ∈ A ⊆ Cx y hemos demostrado
Z ⊆ Cx .
Proposición 4.2.4. (Propiedades de componentes conexas por caminos)
Sea (X, T ) un espacio topológico. Se cumplen:
1. x ∈ Cx .
2. Cx es conexo por caminos.
3. Cx es la clase de x por la relación “estar conectado por un camino
en (X, T )".
4. Cx ∩ Cy 6= ∅ ⇒ Cx = Cy . Es decir, las componentes conexas por
caminos forman una partición de X.
Definición 4.2.5. Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente conexo
por caminos si dado x ∈ X y cualquier entorno de N de x, existe otro
entorno N ′ de x con N ′ ⊆ N y N ′ es conexo por caminos.
Proposición 4.2.6. Si (X, T ) es localmente conexo por caminos, la componente conexa por caminos (Cx ) es abierto y cerrado ∀x ∈ X.
Demostración. Probemos que es abierto.
Sea y ∈ Cx ⇒ y ∈ Cy ∩ Cx ⇒ Cx = Cy . Sea N = X, por hipótesis existe
N ′ ⊆ X entorno de y con N ′ conexo por caminos. En particular y ∈
intN ′ ⊆ N ′ ⇒ y ∈ N ′ . Como N ′ es conexo por caminos, necesariamente
N ′ ⊆ Cy ⇒ y ∈ intN ′ ⊆ intCy = intCx . Luego, y ∈ intCx ⇒ Cx ⊆
intCx ⇒ Cx = intCx ⇒ Cx es abierto.
Veamos que Cx es cerrado.
Sea y ∈ Cx entonces para el entorno N ′ anterior y ∈ intN ′ ⇒ (intN ′ ) ∩
Cx 6= ∅ ⇒ N ′ ∩ Cx 6= ∅ ⇒ Cx ∪ N ′ es conexo por caminos.
Además, Cx ⊆ Cx ∪ N ′ y por definición de componente Cx = Cx ∪ N ′ ⇒
N ′ ⊆ Cx ⇒ y ∈ Cx luego, Cx ⊆ Cx ⇒ Cx = Cx ⇒ Cx es cerrado.
Proposición 4.2.7. (Invarianza del número de componentes conexas por
caminos)
Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) un homeomorfismo. Si Cx es la componente
conexa por caminos de x, entonces f (Cx ) lo es de f (x).
Consecuencia: f induce una biyección entre las familias de componentes
conexas por caminos de (X, T ) y de (Y, T ′ ).
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
72
Demostración. Como f es continua, entonces f (Cx ) es conexo por caminos
y f (x) ∈ f (Cx ). Si Df (x) es la componente de f (x) en (Y, T ′ ) se tiene que
f (Cx ) ⊆ Df (x) . Como f −1 es continua, entonces f −1 (Df (x) ) es también
conexo por caminos y x = f −1 (f (x)) ∈ f −1 (Df (x) ). Luego, por definición
de componente conexa por caminos f −1 (Df (x) ) ⊆ Cx ⇒ Df (x) ⊆ f (Cx )
y, por tanto, f (Cx ) = Df (x) .
Demostración. (Consecuencia)
Sea CompX y CompY las familias de componentes conexas por caminos
de (X, T ) e (Y, T ′ ), respectivamente. Definimos
ψ : CompX −→ CompY
Cx 7−→ f (Cx ) = Df (x)
ψ es biyectiva con inversa
ψ −1 : CompY −→ CompX
Dy 7−→ f −1 (Dy ) = Cf −1 (y)
En efecto, se tiene:
ψ −1 ◦ ψ(Cx ) = ψ −1 (Df (x) ) = f −1 (Df (x) ) = Cf −1 (f (x))
ψ ◦ ψ (Dy ) = ψ(f −1 (Dy )) = ψ(Cf −1 (y) ) = f (Cf −1 (y) ) = Df (f −1 (y)) = Dy
−1
Ejemplo 4.2.8. Veamos algunos ejemplos:
1. Los espacios euclídeos (Rn ,euclídea) son conexos por caminos y
localmente conexos por caminos.
(Rn ,euclídea) viene del espacio normado (Rn , k · keuclidea ) y los
espacios normados son todos conexos por caminos.
Otra forma de razonarlo sería:
(Rn , euclídea) = (Rn , δneuclidea = producto n veces de (R,euclídea)
que es conexo por caminos.
Un cubo (= producto de intervalos) es conexo por caminos y entorno de su centro x (arbitrariamente pequeño) en (Rn ,euclídea).
Entonces (Rn ,euclídea) es localmente conexo por caminos.
2. S 1 en el plano euclídeo es conexo y localmente conexo por caminos.
Análogamente el disco unidad.
3. Un espacio conexo por caminos que no es localmente conexo por
caminos es el siguiente subespacio del plano euclídeo.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
73
Figura 4.8:
Figura 4.9:
X = (OY ) ∪ (OX)
∞
[
n=1
An , An = {(x, y); x = n1 }.
OX, OY, An son conexos por caminos y An ∩OX 6= ∅ y OX ∩OY 6=
∅. Luego, X es conexo por caminos. Para ver que no es localmente
conexo por camimos, suponemos por R.A. que sí lo es. Entonces
dado Sea p = (0, y) ∈ OY con y 6= 0. Tomamos Bd (p, r) con
r < d(p, OX), d = euclídea|X y N ⊆ Bd (p, r) entorno conexo
por caminos de p.
Como N es entorno de p, existe δ > 0 tal que Bd (p, δ) ⊆ N. Además
p = lı́m pn con pn ∈ Zn y existe n0 con pn ∈ Bd (p, δ) ⊆ N si n ≥ n0 .
Sea t con n01+1 < t < n10 . Entonces, no podemos encontrar un
camino de pn0 a pn0 +1 dentro de N, lo que es una contradicción.
4. El siguiente subespacio del plano euclídeo no es conexo por caminos
(pero tiene la propiedad de que los únicos conjuntos abiertos y
cerrados simultáneamente son el espacio total y el conjunto vacío).
∞
∞
[
[
Sea X = ( An ) ∪ ( Bn ) donde A0 = OY , y ∀n ≥ 1
n=0
n=1
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
74
Figura 4.10:
Figura 4.11:
1
An = {(x, y) : x = n1 } y Bn = {(x, y) : y = n; n+1
≤ x ≤ n1 }.
Consideramos (X, euclídea).
Cada Hi = Ai ∪ Bi ∪ Ai+1 ∀i ≥ 1 es unión de tres conexos (por lo
que Hi es conexo) y uno corta a los otros dos. Entonces se tiene:
H1 ∩ H2 = A2 ⇒ H1 ∪ H2 es conexo.
(H1 ∩ H2 ) ∪ H3 = A3 ⇒ H1 ∪ H2 ∪ H3 es conexo.
..
.
Por tanto, H =
∞
[
1
Hn es conexo por caminos. Sin embargo, X no
es conexo por caminos.
R.A: supongamos ∃α : ([0, 1], euclídea) → (X, euclídea) tal que
α(0) = p ∈ H y α(1) = q ∈ A0 .
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
75
Figura 4.12:
El conjunto α([0, 1]) es conexo y compacto por ser imagen continua
de un conexo y compacto, entonces es cerrado y acotado. Luego,
∃Γ ⊆ R2 cuadrado centrado en el origen con α([0, 1]) ⊆ Γ. Se tiene:
∃n0 tal que ∀n ≥ n0 Bn ∩ Γ = ∅ ⇒ α([0, 1]) ∩ Bn = ∅ ∀n ≥ n0 .
Sea R = {(x, y); x = λ} con n01+1 < λ < n10 . Entonces U =
{(x, y); x < λ} y V = {(x, y); y > λ} son abiertos de (R2 ,euclídea)
disjuntos. Además, p ∈ V y q ∈ U. Como Bn0 ∩ α([0, 1]) = ∅, tenemos que no existe un camino en α([0, 1]) entre p y q, pero esto
contradice que α([0, 1]) es conexo por caminos.
A pesar de no ser conexo por caminos, este espacio no tiene otros
conjuntos abiertos y cerrados simultáneamente más que X y ∅. En
efecto, sea Z ⊆ X un conjunto no vacío a la vez abierto y cerrado
de (X, euclídea). Si Z ∩ (X − A0 ) = Z − A0 6= ∅, entonces Z = X;
en efecto, Z − A0 sería un conjunto abierto y cerrado (6= ∅) en la
topología restricción de X−A0 que es conexo por caminos. Entonces
Z − A0 = X − A0 ; luego X − A0 ⊆ Z. Además X − A0 = X, por
lo que al ser Z cerrado X = X − A0 ⊆ Z = Z; es decir Z = X.
Observemos que el caso Z − A0 = ∅ no se puede dar ya que si así
fuese Z ⊂ A0 y como Z es también abierto y los puntos de A0 son
adherentes a X −A0 , entonces se seguiría Z−A0 = Z∩(X −A0 ) 6= ∅.
Nota 4.2.9. Algunas observaciones:
1. No siempre la clausura de un conexo por caminos es conexo por
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
76
caminos. En efecto, en el ejercicio anterior H es conexo por caminos
pero X = H no lo es.
2. No siempre las componentes conexas por caminos son cerradas.En
el ejemplo anterior X tiene dos componentes conexas por caminos
H y A0 donde A0 es cerrada pero H no, pues H = X 6= H.
4.3.
Puntos de Corte
Definición 4.3.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Un punto x ∈ X se
dice un punto de corte de (X, T ) si X − {x} no es conexo por caminos.
Al número de componentes conexas por caminos de X − {x} se le llama
orden de corte de x.
Ejemplo 4.3.2. Veamos algunos ejemplos:
1. En (R2 , euclídea) ningún x ∈ R2 es punto de corte.
2. En ([0, 1],euclídea), ∀x ∈ (a, b) x es punto de corte de [a, b] de orden
2 mientras que a y b no son de corte.
3. En (S 1 ,euclídea) ningún x ∈ S 1 es de corte.
4. En (R,euclídea) todo punto x ∈ R es de corte de orden 2.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
77
Definición 4.3.3. Sea (X, T ) un espacio topológico. Un punto x ∈ X se
dice un punto de corte local de orden n de (X, T ) si para todo entorno N
de x existe otro N ′ ⊆ N tal que N ′ − {x} tiene n componentes conexas
por caminos.
Ejemplo 4.3.4. Observemos el dibujo:
y es punto de corte local de orden 3 pero no es de corte.
z es punto de corte local de orden 4 pero no es de corte.
x es punto de corte local de orden 2 pero no es de corte.
Proposición 4.3.5. (Invarianza de los puntos de corte)
Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) un homeomorfismo:
a) x es punto de corte de orden n de (X, T ) si y sólo si f (x) lo es de
(Y, T ′ ).
b) x es punto de corte local de orden n de (X, T ) si y sólo si f (x) lo es
de (Y, T ′ ).
Demostración. a) Si f es homeomorfismo lo es su restricción sobre la
imagen fe : (X − {x}, T /X−{x} ) → (Y − {f (x)}, T ′ /Y −{f (x)} ) con inversa,
la restricción sobre la imagen de f −1
−1 = (Y − {f (x)}, T ′ /
fg
Y −{f (x)} ) → (X − {x}, T /X−{x} )
De aquí obtenemos que el número de componentes conexas por caminos
de X − {x} coincide con el de Y − {f (x)}.
b) Si N es un entorno de f (x) entonces x ∈ f −1 (intN) ⊆ f −1 (N) donde
f −1 (intN) es abierto por la continuidad de f y por tanto f −1 (N) es
entorno de x en (X, T ). Por hipótesis existe W ′ entorno de x con W ′ ⊆
f −1 (N) y tal que W ′ − {x} tiene n componentes conexas por caminos.
Entonces la restricción de f
f : (W ′ − {x}, T |W ′−{x} ) → (f (W ′) − {f (x)}, T |f (W ′ )−{f (x)} )
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
78
es un homeomorfismo y así f (W ′) − {f (x)} tiene n componentes conexas
por caminos. Sólo queda comprobar que f (W ′ ) es entorno de f (x) pues
obviamente f (W ′ ) ⊆ N. En efecto, como f es homeomorfismo f es abierta y así f (intW ′ ) es abierto. Como f (x) ∈ f (intW ′ ) ⊆ f (W ′ ) se sigue
que f (W ′ ) es entorno de f (x).
4.4.
La conexión topológica. Definición y primeras
propiedades
Recordemos que la recta eucídea y todos los espacios conexos por
caminos tienen la propiedad de que la familia de los conjuntos abiertos
y cerrados a la vez en cualquiera de ellos se reduce al espacio total y
el conjunto vacío. Por tanto, esta propiedad generaliza la conexión por
caminos y vamos ahora a estudiarla con más detalle en esta sección.
Comenzamos probando que es equivalente a la siguiente propiedad que
llamaremos conexión topológica.
Definición 4.4.1. Un espacio topológico (X, T ) se dice disconexo si
existen dos abiertos U y V de (X, T ), distintos del vacío tales que U ∩V =
∅ y X = U ∪ V . En caso contrario se dirá que es topológicamente conexo
o, por abreviar, conexo.
En general, un subconjunto A ⊆ X se dice conexo en (X, T ) si (A, T /A )
es conexo.
Proposición 4.4.2. Un espacio topológico (X, T ) es conexo si y sólo si
los únicos conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez son ∅ y X.
Demostración. Supongamos que existe un conjunto A 6= ∅, X, que es
abierto y cerrado. Entonces X − A no es ni el vacío ni el total pero es
abierto y cerrado. Se tiene entonces X = (X − A) ∩ A con A y X − A
abiertos distintos del vacío y (X −A)∩A = ∅. Luego (X, T ) es disconexo,
llegando así a una contradicción.
Recíprocamente, si (X, T ) es disconexo, entonces X = U ∪ V con U y V
abiertos distintos del vacío y U ∩V = ∅. Luego U = X −V que es cerrado.
Por tanto, U es abierto y cerrado, U 6= ∅ y U 6= X pues V = X − U 6= ∅.
Por tanto, (X, T ) es conexo.
Ejemplo 4.4.3. (R, discreta) no es conexo.
S
∀x ∈ R, {x} = Bd (x, 1) es abierto. R − {x} = y6=x {y} es abierto. Por
tanto {x} también es cerrado.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
79
La Proposición 4.4.2 nos permite rescribir la Proposición 4.1.5 como
sigue. De esta manera se caracterizan los conjuntos conexos de la recta
euclídea además de establecerse que en ella la conexión es equivalente a
la conexión por caminos.
Proposición 4.4.4. (Caracterización de los conexos de la recta euclídea)
En (R,euclídea) las siguientes propiedades son equivalentes para un conjunto A ⊆ R.
1. A es conexo por caminos.
2. A es conexo.
3. Si a ≤ b con a, b ∈ A, entonces [a, b] ⊆ A.
4. A es un intervalo.
En general, la Proposición 4.1.4 muestra que la conexión topológica
generaliza a la conexión por caminos. Ambas propiedades no son equivalentes como se observa a continuación.
Ejemplo 4.4.5. El espacio en el Ejemplo 4.2.8(4) es conexo pero no
conexo por caminos. Todos los detalles se encuentran en 4.2.8(4).
Veamos una condición suficiente para que un espacio conexo sea
conexo por caminos.
Proposición 4.4.6. Sea (X, T ) localmente conexo por caminos. Entonces (X, T ) es conexo si y sólo si (X, T ) es conexo por caminos.
Demostración. Sea x0 ∈ X. Por la proposición anterior Cx0 es abierto y
cerrado, entonces Cx0 = X. Pero Cx0 = {y ∈ X : y se conecta por un
camino en X con x0 }, luego todo x ∈ X se conecta por un camino con
x0 y utilizando la transitividad ∀x, x′ ∈ X, x y x′ están conectados por
un camino en X. Por tanto, (X, T ) es conexo por caminos. El recíproco
es general (4.1.4)
Proposición 4.4.7. Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) continua y A ⊆ X conexo.
Entonces f (A) es conexo. En particular, si f es homeomorfismo y (X, T )
es conexo, entonces (Y, T ′ ) también.
Demostración. Por definición (A, T /A ) es conexo. Como f es continua,
entonces la restricción sobre la imagen fe : (A, T /A ) → (f (A), T ′ /f (A) ),
fe(a) = f (a) ∀a ∈ A también es continua.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
80
Sea Z ⊆ f (A) abierto y cerrado de (f (A), T ′ /f (A) ). Basta probar que
Z = ∅ ó Z = f (A) para concluir que f (A) es conexo.
−1 (Z) es abierto y cerrado de (A, T / ) y como
Por ser fe continua, fg
A
−1 (Z) = A ó f
g
−1 (Z) = ∅. De esta forma, si
A es conexo entonces fg
−1 (Z) = A ⇒ fe(A) = f (A) = Z y si f
g
−1 (Z) = ∅ ⇒ Z = ∅.
fg
Proposición 4.4.8. Sea (X, T ) un espacio topológico y A ⊆ X conexo,
entonces todo B ⊆ X tal que A ⊆ B ⊆ A es conexo. En particular A es
siempre conexo.
Demostración. R.A. Supongamos que B no es conexo. Entonces existen
dos abiertos U y V de (B, T /B ) con U 6= ∅, V 6= ∅ con U ∩ V = ∅ y
B =U ∪V .
Como U y V son abiertos relativos, existen H y G abiertos de (X, T )
con U = B ∩ G y V = B ∩ H. En particular, U ′ = A ∩ G y V ′ = A ∩ H
son abiertos de (A, T /A ) y además
U ′ ∪ V ′ = (G ∪ H) ∩ A = [(G ∪ H ∩ B)] ∩ A = [U ∪ V ] ∩ A = B ∩ A = A
U ′ ∩ V ′ = (G ∩ H) ∩ A = (G ∩ H) ∩ B ∩ A = (U ∩ V ) ∩ A = ∅
Pero A es conexo, luego U ′ = ∅ y V ′ = A ó V ′ = ∅ y U ′ = A. Como
U = G ∩ B 6= ∅ entonces existe b ∈ B con b ∈ G. Como G es abierto y
b ∈ B ⊆ A entonces G ∩ A 6= ∅ y por tanto U ′ 6= ∅.
De igual forma V 6= ∅, entonces V ′ 6= ∅ llegando así a una contradicción
pues o bien U ′ o V ′ debe ser vacío.
4.5.
Otras caracterizaciones y propiedades de
los espacios conexos
Comenzamos observando que la Proposición 4.4.2 permite demostrar
que la conexión de un espacio es equivalente a que toda aplicación de ese
espacio en la recta euclídea cumpla el Teorema del Valor Intermedio de
Bolzano en la Proposición 2.8.3. Esto es,
Proposición 4.5.1. Sea (X, T ) un espacio topológico. Son equivalentes
a) (X, T ) es conexo.
b) Si f : (X, T ) → (R, euclídea) y a, b ∈ f (X) con a ≤ b entonces
[a, b] ⊆ f (X)
c)(Teorema de Bolzano) Si f : (X, T ) → (R, euclídea) es continua y
∃x1 , x2 ∈ X con f (x1 ) < 0 y f (x2 ) > 0, entonces ∃x0 ∈ X con f (x0 ) = 0.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
81
Definición 4.5.2. Un espacio topológico (X, T ) se dice discreto si todos
los conjuntos unitarios {x} son abiertos.
Ejemplo 4.5.3. Si d es la distancia discreta (X, d) es un espacio discreto
ya que, Bd (x, 1) = {x} es abierto.
Proposición 4.5.4. Sea (X, T ) espacio topológico discreto. Entonces
A ⊆ X es conexo si y sólo si A = {x} tiene un sólo elemento.
Demostración. Si A = {x} entonces es obvio que A es conexo. Recíprocamente, si A contiene a x e y (x 6= y); consideramos A = {x} ∪ (A − {x}),
donde {x} y A − {x} = ∪a∈Ax {a} son abierto y entonces A es disconexo.
Por tanto, concluimos que A sólo tiene un elemento.
Proposición 4.5.5. Sea (X, T ) cualquier espacio topológico. Son equivalentes:
a) (X, T ) es conexo.
b) Toda f : (X, T ) → (Y, T ′ ) continua con (Y, T ′ ) discreto es constante.
Demostración. a) ⇒ b)
Como (X, T ) es conexo y f es continua, entonces f (X) es conexo en
(Y, T ′ ). Por la proposición anterior f (X) se reduce a un elemento. Luego,
f es constante.
b) ⇒ a)
R.A. Supongamos que (X, T ) no es conexo. Entonces existen A y B
abiertos tales que X = A ∪ B y A ∩ B = ∅.
Sea Y = {y0 , y1} y T ′ = {∅, Y, {y0}, {y1 }}. Es claro que (Y, T ′ ) es un
espacio discreto. Definimos f : (X, T ) → (Y, T ′ ) como
y0 si x ∈ A
f (x) =
y1 si x ∈ B
Es inmediato comprobar f continua es continua ya que: f −1 (∅) = ∅,
f −1 (Y ) = X, f −1 ({y0}) = A, f −1 ({y1 }) = B. Se llega así a una contradicción pues f no es constante. Entonces, (X, T ) es necesariamente
conexo.
Proposición 4.5.6. Sea (X, T ) cualquier espacio topológico. Son equivalentes:
a) (X, T ) es conexo.
b) Dados a, b ∈ X, ∃C ⊆ X conexo tal que a, b ∈ C.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
82
Demostración. a) ⇒ b) es trivial tomando C = X.
b) ⇒ a)
R.A. Supongamos que (X, T ) no es conexo. Entonces existen U y V
abiertos tales que X = U ∪ V y U ∩ V = ∅. Como U, V 6= ∅, sean a ∈ U
y b ∈ V . Por b) se tiene ∃C ⊆ X con a, b ∈ C.
Como C ⊆ X. Entonces C = U ′ ∪ V ′ donde U ′ = C ∩ U y V ′ = C ∩ V . Se
cumple que U ′ ∩ V ′ ⊆ U ∩ V = ∅, luego U ′ ∩ V ′ = ∅ y U ′ , V ′ 6= ∅. Como
U ′ y V ′ son abiertos de (C, TC ) se sigue que C no es conexo, lo que es
una contradicción.
Proposición 4.5.7. Sea (X, T ) un espacio topológico. Sea {Cα }α∈Λ con
Cα ⊆ X conexo ∀α ∈ Λ. Supongamos
que existe α0 con Cα ∩ Cα0 6= ∅
[
∀α ∈ Λ (*). Entonces C =
Cα es conexo.
α∈Λ
Figura 4.13:
Demostración. Sea f : (C, T /C ) → (Y, T ′ ) continua con (Y, T ′ ) discreto.
Para ver que C es conexo basta ver que f es constante.
Para cada α, f |Cα es constante por ser Cα conexo. Por tanto, ∀x ∈ Cα
f (x) = yα ∈ Y .
Como Cα ∩ Cα0 6= ∅ si
x ∈ Cα ⇒ f (x) = yα
x0 ∈ Cα ∩ Cα0 ⇒
x ∈ Cα0 ⇒ f (x) = yα0
Entonces yα = yα0 ∀α, luego f es constante.
Las dos proposiciones siguientes tienen demostraciones análogas a las
de sus correspondientes contrapartes en conexión por caminos 4.1.11 y
4.1.12.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
83
Proposición 4.5.8. (Variante 1) Supongamos que
\ en vez de (∗) en 4.5.7
′
se tiene Cα ∩ Cα′ 6= ∅ ∀α, α ; en particular si
Cα 6= ∅. Entonces C
α∈Λ
sigue siendo conexo.
Proposición 4.5.9. (Variante 2) Sean C1 , C2 , ..., Cn una sucesión de
subconjuntos conexos en un espacio topológico (X, T ) con Ci ∩ Ci+1 6= ∅
∞
[
∀i ≥ 1. Entonces C =
Cn es conexo.
n=1
Pasamos a estudiar la conexión del producto de espacios (seudo)métricos.
Proposición 4.5.10. Sean (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) espacios (seudo)métricos
conexos. Entonces (X1 × X2 , δ2max ) con
δ2max ((x1 , x2 )(x′1 , x′2 )) = máx{d1 (x1 , x′1 ), d2(x2 , x′2 )}
es conexo.
Demostración. Sean (x01 , x02 ),(x11 , x12 ) ∈ X1 × X2 .
Figura 4.14:
La aplicación ϕ1 : (X2 , d2 ) → (X1 × X2 , δ2max ) dada por ϕ1 (x2 ) =
ϕ es isometría por tanto, continua. En efecto:
(x01 , x2 ).
δ2max (ϕ1 (x2 )ϕ1 (y2 )) = máx{d1 (x01 , x01 ), d2 (x2 , y2 )} = d2 (x2 , y2).
En particular, ϕ1 (X2 ) = {x01 } × X2 es conexo.
Análogamente, ϕ2 : (X1 , d1 ) → (X1 × X2 , δ2max ) dada por ϕ2 (x1 ) =
(x1 , x12 ) es una isometría y ϕ2 (X1 ) = X1 × {x12 } es conexo. Por último, ϕ1 (X2 ) ∩ ϕ2 (X1 ) = {(x01 , x12 )} =
6 ∅, luego, ϕ1 (X2 ) ∪ ϕ2 (X1 ) es conexo
0
0
1
1
y contiene a (x1 , x2 ) y (x1 , x2 ). Entonces (X1 × X2 , δ2max ) es conexo por
4.5.6.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
84
Nota 4.5.11. La proposición anterior es válida también para las (seudo)distancias δ2taxi y δ2euclidea. De hecho, todo lo indicado en 4.1.8 permanence válido si cambiamos la conexión por caminos por la conexión
topológica.
4.6.
Componentes conexas. Conexión local
Definición 4.6.1. Dado (X, T ) un espacio topológico y x ∈ X llamamos
componente conexa de X al mayor conjunto conexo Cx ⊆ X que contiene
a x.
Lema 4.6.2. Cx siempre existe.
Demostración. En efecto, sea C = {C ⊆ X; C es conexo y x ∈ C}.
La familia
6 ∅ no es vacía pues {x} es conexo y x ∈ {x}. La unión
[ C =
C0 =
C es un conjunto conexo pues cada C es conexo y si C, C ′ ∈ C
C∈ C
x ∈ C ∩ C ′ , y como x ∈ C0 se tiene C0 ∈ C. Pero ∀C ∈ C, C ⊆ C0 por
definición. Esto es, C0 es el mayor conexo en (X, T ) que contiene a x.
Así, Cx = C0
Ejemplo 4.6.3. En (Q,euclídea) la componente conexa de cada x ∈ Q
es {x}.
Nota 4.6.4. Si (X, T ) es conexo Cx = X ∀x ∈ X.
Proposición 4.6.5. (Propiedades básicas de las componentes conexas)
Sea (X, T ) un espacio topológico. Si Cx es la componente conexa de x ∈
X, se cumplen:
1. x ∈ Cx
2. Cx es conexo.
3. Cx es cerrado en (X, T ).
4. Si Cx ∩ Cy 6= ∅ ⇒ Cx = Cy . Es decir, las componentes conexas
forman una partición de X.
Demostración. Los apartados 1) y 2) se tienen por definición.
3) Cx es conexo, entonces Cx es conexo. Además, x ∈ Cx , luego x ∈ Cx
ya que Cx ⊆ Cx siempre.
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
85
Por ser Cx el mayor conexo conteniendo a x, se tiene Cx ⊆ Cx , por tanto,
Cx = Cx y se deduce que Cx es cerrado.
4) Como Cx ∩ Cy 6= ∅ y Cx y Cy son conexos, entonces Cx ∪ Cy es conexo.
Además,
x ∈ Cx ⊆ Cx ∪ Cy ⇒ Cx ∪ Cy ⊆ Cx ⇒ Cy ⊆ Cx .
Análogamente,
y ∈ Cy ⊆ Cx ∪ Cy ⇒ Cx ∪ Cy ⊆ Cy ⇒ Cx ⊆ Cy de donde Cx = Cy .
Ejemplo 4.6.6. Sea A = { n1 , 0}n≥1, X = A × R ⊆ R2 .
Entonces en (X,euclídea) la componente conexa de de x = (a, y) con
a ∈ A es Cx = {a} × R.
Figura 4.15:
Claramente, {a} × R es conexo, por tanto, {a} × R ⊆ Cx .
Si p = (a′ , y ′) ∈ Cx y p1 : R2 → R es la primera proyección, p1 (Cx ) es
conexo en A ⊆ Q, entonces p1 (Cx ) = {∗}, ∗ ∈ A. Luego, ∗ = a ⇒ a′ = a.
Por tanto Cx ⊆ p−1
1 (a) = {a} × R
Definición 4.6.7. Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente conexo
si dado cualquier x ∈ X y cualquier entorno N de x en (X, T ) entonces
existe otro entorno N ′ de x que es conexo y N ′ ⊆ N.
Proposición 4.6.8. Si (X, T ) es localmente conexo entonces toda componente Cx es un conjunto abierto (y por tanto abierto y cerrado).
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
86
Demostración. Sea y ∈ Cx . Por hipótesis si N = X (que es entorno de
y) existe N ′ ⊆ X conexo y entorno de y. En particular y ∈ intN ′ ⊆ N ′ .
Además, y ∈ Cy , por tanto, Cy ∩ Cx 6= ∅ por lo que Cx = Cy . Por definición de componente conexa se tiene,
N ′ ⊆ Cy = Cx ⇒ y ∈ intN ′ ⊆ intCx .
Así, Cx ⊆ intCx ⇒ Cx = intCx ⇒ Cx es abierto.
Ejemplo 4.6.9. Veamos algunos ejemplos:
1. Ya sabemos que los espacios euclídeos son conexos por caminos y
localmente conexos por caminos. Por tanto lo son también para la
conexión topológica.
2. (R, discreta) no es conexo y sí localmente conexo, pues si ε ≤ 1
Bd (x, ε) = {x} es conexo. Las componentes conexas son Cx = {x}
∀x ∈ R
3. (Q,euclídea) no es conexo y no es localmente conexo pues A ⊆ Q
es conexo si y sólo si A = {∗} y por tanto, intA = ∅, luego, dado x
no existe ningún entorno de x conexo.
4. En (R2 ,euclídea) hay conexos que no son localmente conexos.
Consideremos el ejemplo 4.2.8(3). Ya sabemos que es conexos por
caminos, luego es conexo. Además la misma demostración en 4.2.8(3)
lleva a que no es localmente conexo. La recordamos aquí. El sube∞
[
2
spacio en cuestión era X ⊆ R con X = OX ∪ OY
Zn con
1
Zn = {(x, y); x = n1 }.
Para ver que (X, euclídea) no es localmente conexo razonamos por
R.A.: Sea Bd (p, r) con r < d(p, OX), d = euclídea|X y N ⊆ Bd (p, r)
entorno conexo de p.
Como N es entorno de p, existe δ > 0 tal que Bd (p, δ) ⊆ N. Además
p = lı́m pn con pn ∈ Zn y existe n0 con pn ∈ Bd (p, δ) ⊆ N si n ≥ n0 .
Sea t con n01+1 < t < n10 . Consideremos:
U = {(x, y), x < t}
V = {(x, y), x > t}
CAPÍTULO 4. CONEXIÓN
87
Figura 4.16:
Figura 4.17:
ambos abiertos de (R,euclídea). Tenemos que N = (N ∩U)∪(N ∩V )
porque n01+1 < t < n10 y N ⊆ X. Luego, llamando a N ∩ U = U ′
y N ∩ V = V ′ se tiene U ′ 6= ∅ ya que pn0 +1 ∈ U ′ , V ′ 6= ∅ porque
pn0 ∈ V ′ y, U ′ ∩ V ′ = ∅. Por tanto, N no es conexo, lo que nos lleva
a contradicción.
Proposición 4.6.10. (Invarianza del número de componentes conexas)
Sea f : (X, T ) → (Y, T ′ ) un homeomorfismo, entonces si Cx es componente de x se tiene que f (Cx ) es componente conexa de f (x).
Consecuencia: Existe una biyección entre las componentes conexas de
(X, T ) y las de (Y, T ′ ).
Demostración. La demostración es análoga a la de 4.2.7 (ejercicio)