TEORÍA DE CONJUNTOS. Un conjunto es un grupo, una colección de objetos; a estos objetos se les llama miembros o elementos del conjunto. Ejemplos: • • • • Los libros de una biblioteca. Los alumnos de una escuela. Los meses del año. Los planetas del sistema solar. Se ha convenido en representar a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas, separadas por medio de una coma. Ejemplo. Sea el conjunto A formado por todos los números enteros. A= {1, 2, 3, 4, 5...... ∞ } Sea el conjunto B formado por las vocales. B = {a, e, i, o, u} Pertenencia entre un conjunto y sus elementos. La relación de pertenencia entre un conjunto y sus elementos se establece por medio del símbolo ∈ , que significa “es elemento de”, cuando el símbolo aparece tachado ∉ significa que “no es elemento de”. Ejemplo. Sea D el conjunto formado por las vocales. D= {a, e, i, o, u} Entonces; a ∈ D y b∉D Conjunto universal. Es aquel conjunto que consta de todos los elementos a los que se puede referir el análisis de un problema o situación. El conjunto universal lo representamos por la letra “U”. Conjunto de vacío o nulo. Es un conjunto sin elementos que se denota por el símbolo Ø ó { }. Conjunto unitario. Es aquel conjunto que sólo tiene un solo elemento. Ejemplo A= {a} Subconjunto. Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B. Si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B. Esta relación se denota por el símbolo ⊂ colocado ente A y B. A ⊂ B que se lee “A es subconjunto de B”. Ejemplo. Sea U el conjunto formado por todos los alumnos de la preparatoria 2, el conjunto A formado por los alumnos del turno matutino y el conjunto B formado por los alumnos de quinto semestre del turno matutino. U= {Alumnos de la preparatoria} A= {Alumnos de T.M.} B= {Alumnos de quinto semestre de T.M.} B ⊂ A y A ⊂ U B es subconjunto de A y A es subconjunto de U. DIAGRAMAS DE VENN EULER. Los conjuntos se pueden representar con diagramas de Venn- Euler de forma rectangular, circular u otras formas. Dentro de los diagramas se anota los elementos del conjunto. El conjunto universal, se representa por medio de un rectángulo y dentro de éste se representan los subconjuntos por medio de círculos. Ejemplo 1. f i k U l m n U= {a, b, c, d…..x, y, z} g a e A= {a, e, i, o, u} h A b i B r c B= {b, c, d} u z j s o d o p t u v w x q d y Ejemplo 2. Sea U el conjunto formado por los números enteros positivos menores que 10. A= {Integrado por los números pares}. B = {Integrado por los números impares}. U A 2 8 4 6 B 1 3 5 7 9 OPERACIONES CON CONJUNTOS. Intersección. Dados dos conjuntos A y B, la intersección es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. Esto es simbolizado por A ∩ B que se lee: “A intersección B.” y es representado por medio de un diagrama de Venn de la siguiente manera. A B A ∩Β Ejemplo 1. Sea: U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A= {1, 2, 3, 4, 5} B={2, 4, 6, 8} Representar la intersección con un diagrama de Venn. A 1 B 5 3 6 2 4 Por lo tanto A ∩ B = {2,4} 8 Ejemplo 2. Sean los conjuntos A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} B= {2, 4, 6, 8, 10} C={6,8} Representar la intersección entre los conjuntos mediante un diagrama de Venn. A ∩ C = {6} A ∩ B = {2, 4, 6} A B ∩ C = {6, 8} A ∩ B ∩ C = {6} 2 1 B 4 3 10 5 6 8 C Unión entre dos conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, la unión es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a por lo menos 1 de ambos conjuntos. Ésto se simboliza por AUB, que se lee: “A unión B” y se puede representar por medio de un diagrama de Venn de la siguiente manera. A B En este caso, los elementos pueden pertenecer al conjunto “A”, al conjunto “B” o a ambos conjuntos. Ejemplo. Sean los conjuntos A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} un diagrama de Venn. A 1 B 2 4 5 3 B= {4, 5, 6, 7, 8, 9}, representar A ∪ B mediante 6 9 7 A ∪ B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Diferencia ente dos conjuntos. Dados dos conjuntos A y B la diferencia A-B es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B. Esto se simboliza como A-B que se lee “A diferente de B” y se puede representar por medio del siguiente diagrama de Venn: A B A-B Ejemplo. Sea: A= {1, 2, 3, 4} Hallar B= {1, 3, 5, 7} A-B , B-A y A ∩ B A B 2 4 1 3 5 7 A-B= {2,4} B-A= {5,7} A ∩ B = {1,3} Complemento El complemento de un conjunto A con respecto al universo, es el conjunto de todos los elementos U que no están en A, se representa al complemento de A como A C A Ejemplo. Sea: A= {2, 4, 6, 8, 10} B= {1, 2, 3, 5, 6} U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 7 Hallar: 8 U A-B={4, 8, 10} A B B-A={1, 3, 5 } A ∩ B = {2, 6} 10 8 2 1 5 C A = {1, 3, 5, 7, 8, 9} 4 6 3 9