Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y Administración. ECONOMETRIA II- CURSO 2003 REPARTIDO PRACTICO 2 MODELOS DE SERIES DE TIEMPO (I) EJERCICIO 1 (Procesos estocásticos) Dado el proceso estacionario zt= 2.at con t=0,1,2,..., donde at es una variable aleatoria tal que cumple con los supuestos: E(at)= 0.50 ∀t V(at)= 0.25 ∀t cov(at,at+s)=0 ∀ s≠0. SE PIDE: a) Hallar los parámetros del proceso estocástico:μ, γ0, γ1, γ2. b) Hallar la función de autocorrelación y graficar el correlograma. c) ¿Es el proceso estacionario en sentido amplio? EJERCICIO 2 (Procesos estocásticos y estacionariedad) Si se da el proceso zt= at + at-1 con t natural (t∈T), siendo at como en el ejercicio anterior, a) Hallar los parámetros del modelo: μ, γ0, γ1, γ2. b) Hallar la función de autocorrelación y dibujar su correlograma. c) Investigar la estacionariedad del proceso. EJERCICIO 3(Estacionariedad) Investigar si los siguientes procesos son estacionarios: a- zt= α1 + α2.t t= 0,1,2,.... 2 con αi variables aleatorias N(μi, σ i). b- zt= α1.cos(bt) + α2.sen(bt) con t ≥0, siendo b un número fijo y αi 2 variables aleatorias normales con media cero y varianzas σ i e independientes. EJERCICIO 4 (Procesos autorregresivos) Se considera un modelo AR(1): 2 zt= ϕ1.zt-1 + δ + ai con E(ai)=0 y E(at.as)=σ si t=s =0 si t≠s a) Recordando la condición de estacionariedad de un AR(1), hallar E(zt). b) Expresando el modelo en forma de desvíos hallar la varianza y la autocovarianza del modelo: γ0, γ1, γ2,..., γk. c) Hallar la función de autocorrelación ρk con k=0,1,2,... d) Para δ=5 y ϕ1=0.90, hallar E(zt), expresar en forma de desvíos, hallar varianza y autocovarianza y graficar el correlograma. EJERCICIO 5(Procesos de medias móviles) Se considera el modelo MA(2): 2 yt= at - 0.4at-1 + 1.2at-2 con σ a=2. a) Investigar la estacionariedad del proceso lineal. b) Investigar invertibilidad. c) Calcular las autocovarianzas del proceso. d) Calcular y graficar el correlograma correspondiente. 1 EJERCICIO 6 (Modelos ARMA(p,q) I- Dado el modelo ARMA(1,1) 2 yt= 0.9 yt-1 + at - 0.8at-1 con σ a=5 a) Investigar estacionariedad. b) ¿Es un proceso invertible? c) Calcular y graficar correlograma. II- Si se dispone de la serie de autocorrelación siguiente: ρ1=0.70; ρ2=0.49; ρ3=0.34; ρ4=0.24; ρ5=0.17. ¿de qué proceso ARMA(p,q) pueden provenir coeficientes?.Considere sólo valores bajos de p y de q. estos EJERCICIO 7 Si {yt} sigue un proceso: yt= 0.9 yt-1 - 0.8 yt-2 + at donde at tiene esperanza 0 y varianza 1 y además E(at.as)=0 con t≠s, hallar la función de autocorrelación (FAC) de {yt} y graficarla. EJERCICIO 8 Probar que un MA(∞) para {yt} definido como: yt= at + c (at-1 + at-2 + at-3 +....) 2 donde c es una constante y at es iid con E(at)=0 y V(at)= σ a es un proceso no estacionario. También probar que la primera diferencia Δyt es un MA(1) y estacionario. EJERCICIO Demostrar yt = está dada 9 que la FAC de un modelo ARMA(1,1): αyt-1 + at + βat-1 por la expresión: (1 + α .β )( α + β ) ρ1 = (1 + β 2 + 2α .β ) con ρ k = α . ρ k -1 k = 2,3,4,.... EJERCICIO 10 Para el modelo: (1 - L)(1 - 0.2L)yt= (1-0.5L)at, se pide: (a) identificar los valores de (p,d,q) en el modelo ARIMA(p,d,q) planteado. (b) determinar si el modelo es estacionario en yt o en Δyt 2