Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y Administración. ECONOMETRIA II- CURSO 2004 PRACTICO 4 MODELOS DE SERIES DE TIEMPO (I) EJERCICIO 1 Se pide: Encuentre la solución para las siguientes ecuaciones en diferencias: 1. 2. 3. 4. Yt-2 - 5 Yt-1 + 6 Yt = 0 Yt-2 - Yt-1 + Yt = 0 Yt-2 + 3 Yt-1 –7/4 Yt = 9 Yt-2 -2 Yt-1 +2 Yt = 1 (Y0 = 6; Y1 = 3) (Y0 = 3; Y1 = 4) EJERCICIO 2 Dado el proceso estacionario zt = 2at con t = 0, 1, 2,..., donde at es una variable aleatoria tal que cumple con los supuestos E(at)= 0.50 ∀t V(at)= 0.25 ∀t cov(at, at+s)=0 ∀ s≠0. Se pide: 1. Hallar los parámetros del proceso estocástico: µ, γ0, γ1, γ2. 2. Hallar la función de autocorrelación y graficar el correlograma. 3. ¿Es el proceso estacionario en sentido amplio? EJERCICIO 3 Si se da el proceso zt = at + at-1 con t ∈ T ⊂ N, y at definida como en el ejercicio anterior. Se pide: 1. Hallar los parámetros del modelo: µ, γ0, γ1, γ2. 2. Hallar la función de autocorrelación y dibujar su correlograma. 3. Investigar la estacionariedad del proceso. EJERCICIO 4 Considere los siguiente procesos estocásticos: a- zt = α1 + α2t t= 0, 1, 2,.... Con αi ∼ N(µi, σ2i) para i = 1,2. b- zt = α1cos(bt) + α2sen(bt) con t ≥0, siendo b un número fijo y con αi ∼ N(0, σ2i) para i = 1,2 son variables independientes. Se pide: Investigar si son procesos estacionarios. EJERCICIO 5 Se considera un modelo AR(1) zt = ϕ1zt-1 + δ + ai con E(ai) = 0; E(atas) = σ2 si t = s y E(atas) = 0 si t ≠ s 1 Se pide: 1. Recordando la condición de estacionariedad de un AR(1), hallar E(zt). 2. Expresando el modelo en forma de desvíos hallar la varianza y la función de autocovarianzas del modelo: γ0, γ1, γ2,..., γk. 3. Hallar la función de autocorrelación ρk con k = 0, 1, 2,... 4. Para δ = 5 y ϕ1 = 0.90, hallar E(zt), expresar en forma de desvíos, hallar varianza y la función de autocovarianzas y graficar el correlograma. EJERCICIO 6 Se considera el modelo MA(2) yt = at - 0.4at-1 + 1.2at-2 con σ2a = 2. Se pide: 1. Investigar la estacionariedad del proceso lineal. 2. Investigar invertibilidad. 3. Calcular las autocovarianzas del proceso. 4. Calcular y graficar el correlograma correspondiente. EJERCICIO 7 Parte I] Dado el modelo ARMA(1, 1) yt = 0.9 yt-1 + at - 0.8at-1 con σ2a=5 Se pide 1: 1. Investigar estacionariedad. 2. ¿Es un proceso invertible? 3. Calcular y graficar correlograma. Parte II] Si se dispone de la siguiente función de autocorrelación: ρ1 = 0.70; ρ2 = 0.49; ρ3 = 0.34; ρ4 = 0.24; ρ5 = 0.17. Se pide 2: 1. Sugiera y justifique de qué tipo de proceso ARMA(p, q) puede provenir. Considere sólo valores bajos de p y de q. Parte III] A partir de las diez primeras autocorrelaciones de un proceso simulado: ρ1 = 0.4606; ρ2 = 0.0013; ρ3 = -0.0020; ρ4 = -0.0024; ρ5 =-0.0049; ρ6 = -0.0014; ρ7 = 0.0019; ρ8 = 0.0040; ρ9 = 0.0035; ρ10 = 0.0044. Se pide 3: 1. Grafique la Función de Autocorrelación 2. Sugiera y justifique de qué tipo de proceso ARMA(p, q) pueden provenir. Considere sólo valores bajos de p y de q. EJERCICIO 8 Sea {yt} es un proceso estocástico de la forma yt = 0.9 yt-1 - 0.8 yt-2 + at donde E(at) = 0, E(at at) = 1 y E(atas) = 0 para t ≠ s. Se pide: 1. Hallar la función de autocorrelación (FAC) de {yt} y graficarla. 2 EJERCICIO 9 Considere un proceso estocástico {yt} que puede expresarse como un MA(∞) yt = at + c (at-1 + at-2 + at-3 +....) donde c es una constante y at es iid con E(at) = 0 y V(at) = σ2a. Se pide: 1. Probar que {yt} es un proceso no estacionario. 2. Probar que la primera diferencia ∆yt es un MA(1). EJERCICIO 10 Considere un modelo ARMA(1, 1) yt = αyt-1 + at + βat-1 Se pide: Demostrar que la FAC de este proceso está dada por la expresión ρ1 = (1 + α .β )( α + β ) (1+ β 2 + 2α .β ) con ρ k = α . ρ k -1 k = 2,3,4,.... EJERCICIO 10 Considere el modelo (1 - L)(1 - 0.2L)yt = (1-0.5L)at. 1. Identificar los valores de (p, d, q) en el modelo ARIMA(p, d, q) planteado. 2. Determinar si el modelo es estacionario en yt o en ∆yt. 3