Introducción a la Probabilidad

Ignacio Cascos Fernández
Departamento de Estadı́stica
Universidad Carlos III de Madrid
Probabilidad
Estadı́stica I — curso 2008–2009
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede conocer de
antemano y la probabilidad mide o cuantifica la incertidumbre que tenemos
sobre dicho resultado.
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio lo
llamamos espacio muestral y lo denotamos por E, puede ser finito, infinito
numerable o infinito no numerable.
Un suceso será cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir
cualquier conjunto de posibles resultados del experimento. Solemos representar los sucesos con letras mayúsculas, A, B, C, . . ..
Las operaciones entre sucesos son las mismas que se realizan entre conjuntos, la unión, la intersección, la complementación y la diferencia.
El suceso A ∪ B (A unión B) ocurre cuando ocurre A u ocurre B o ambos
ocurren simultáneamente. El suceso A ∩ B (A intersección B) ocurre cuando
A y B ocurren simultáneamente. El suceso que ocurre cuando no ocurre A se
llama contrario o complementario de A y se denota por A. Finalmente,
el suceso A − B (A menos B) ocurre cuando ocurre A y no ocurre B.
Llamamos suceso elemental a cualquier resultado concreto del experimento y suceso compuesto a cualquier suceso que podemos escribir como
unión de sucesos elementales.
Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir simultáneamente,
su intersección es el suceso imposible, ∅. El complementario del suceso
imposible es el suceso seguro, E.
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Definición 1. Una probabilidad P asociada a un experimento aleatorio con
espacio muestral E asigna a cada suceso de interés A un número real, P (A),
que representa su probabilidad. Para ser una probabilidad P debe cumplir
estas tres propiedades:
1. para cualquier suceso A, P (A) ≥ 0;
2. P (E) = 1;
3. si tenemos una familia de sucesos {Ai }ni=1 y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j,
entonces
[
X
n
n
P
Ai =
P (Ai ).
i=1
i=1
Propiedades. Dados dos sucesos A y B,
P (A) ≤ 1;
P (A) = 1 − P (A);
P (∅) = 0;
si A ⊂ B, entonces P (A) ≤ P (B);
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B);
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Definición 2. Decimos que dos sucesos A y B son independientes si
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Propiedad. Si A y B son independientes, entonces A y B también lo son
y en consecuencia A y B también lo son.
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Definición 3. Dados dos sucesos A y B con P (B) > 0, definimos la probabilidad de A condicionada a B como la probabilidad de que ocurra A
sabiendo que ha ocurrido B, la denotamos por P (A|B),
P (A|B) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
La probabilidad condicionada es una probabilidad y por lo tanto podemos
aplicar todas las propiedades que se han obtenido para una probabilidad.
Propiedad. Dos sucesos A, B con P (A), P (B) > 0 son independientes si
y sólo si P (A|B) = P (A) (o bien P (B|A) = P (B)).
Teorema de la probabilidad compuesta. Dados n sucesos A1 , A2 , . . . ,
An con P (Ai ) > 0, i = 1, . . . , n
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) · · ·
· · · P (An−1 |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−2 )P (An |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ).
Teorema de la probabilidad total. Dados n sucesos A1 , A2 , . . . , An tales
que son incompatibles dos a dos, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j y la unión de todos
ellos es el suceso seguro, ∪ni=1 Ai = E, y otro suceso B, la probabilidad de B
viene dada por
n
X
P (B) =
P (Ai )P (B|Ai ).
i=1
Teorema de Bayes. Dados n sucesos A1 , A2 , . . . , An tales que son incompatibles dos a dos, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j y la unión de todos ellos es el suceso
seguro, ∪ni=1 Ai = E, y otro suceso B con P (B) > 0,
P (Ai |B) =
P (Ai )P (B|Ai )
P (Ai ∩ B)
= Pn
.
P (B)
j=1 P (Aj )P (B|Aj )
Cálculo efectivo de probabilidades: Regla de Laplace. La regla de
Laplace establece que cuando el espacio muestral asociado con un experimento aleatorio es finito y los sucesos elementales son equiprobables, entonces la
probabilidad de un suceso A puede calcularse como,
P (A) =
no casos favorables al suceso A
.
no casos posibles
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Regla de la multiplicación. Si la primera parte de un experimento tiene
n1 posibles resultados distintos, para cada una de ellos, la segunda parte del
experimento tiene n2 posibles resultados distintos y ası́ sucesivamente hasta
la k-ésima parte, la cual, haya sucedido lo que haya sucedido anteriormente,
tiene nk posibles resultados distintos, entonces el número total de posibles
resultados distintos del experimento es:
n1 × n2 × . . . × nk
SUPLEMENTO: COMBINATORIA BÁSICA
Variaciones. Llamamos variaciones de m elementos tomados de n
en n (con m ≥ n) a todas las sucesiones posibles que pueden formarse en las
que intervengan n elementos distintos de los m disponibles, considerándose
distintas dos variaciones cuando o bien difieren en algún elemento o, si tienen
los mismos elementos, difieren en el orden de esos elementos. El número de
variaciones distintas es igual a:
Vm,n = m(m − 1)(m − 2) . . . (m − n + 1) =
m!
(m − n)!
Permutaciones. Llamamos permutaciones de m elementos a todas
las ordenaciones posibles de esos m elementos. El número de permutaciones
distintas es igual a:
Pm = Vm,m = m!
Combinaciones. Llamamos combinaciones de m elementos tomados
de n en n (con m ≥ n) a todos los conjuntos posibles que pueden formarse
en los que intervengan n elementos distintos de los m disponibles, considerándose distintas dos combinaciones cuando difieren en algún elemento. El
número de combinaciones distintas es igual a:
m!
m
Vm,n
=
=
Cm,n =
Pn
(m − n)!n!
n
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