TOPOGRAFIA - Planimetria - Departamento de Engenharia Ambiental

TOPOGRAFIA - Planimetria
Alex Mota dos Santos
Unidades de Medida Linear
polegada = 2,75 cm = 0,0275 m
polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m
pé = 30,48cm = 0,3048 m
jarda = 91,44cm = 0,9144m
milha brasileira = 2200 m
milha terrestre/inglesa = 1609,31 m
Unidades de Medida de Superfície
are = 100 m2
acre = 4.046,86 m2
hectare (ha) = 10.000 m2
alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m2
alqueire mineiro (geométrico) = 4,84 ha = 48.400 m2
Unidades de Medida de Volume
m3
litro = 0,001 m3
Exercícios
1.Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o
valor de 1.290,9078 polegadas. Qual seria o valor desta mesma
medida em quilômetros?
2.O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste
mesmo lado em polegadas inglesas?
3.Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância
horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras.
4.Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a
1224,567 metros quadrados.
5.Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678
metros quadrados.
6.Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires
paulista.
7.Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m3.
8.Determine o valor em m3, para um volume de 15.362,56 litros.
9. Quantas folhas de papel tamanho A4 serão necessárias para representar uma
superfície de 350m x 280m, na escala 1:500?
Erro de Graficismo ou Precisão
do Levantamento
Segundo DOMINGUES (1979) o Erro de Graficismo (ɛ), também
chamado de Precisão Gráfica, é o nome dado ao raio do menor
círculo no interior do qual se pode marcar um ponto com os
recursos do desenho técnico. O valor de (ɛ), para os levantamentos
topográficos desenhados manualmente, é da ordem de 0,2mm
(1/5mm). Exemplo, a escala 1:5.000, o erro relativo permitido em
um levantamento seria de apenas 1m. (5.000x0,0002m)
Planimetria
Levantamento Planimétrico – estuda e estabelece os
procedimentos e métodos de medida de distância
e ângulos, no plano horizontal.
Distância Horizontal - Visada Horizontal
A figura a seguir (GARCIA, 1984) ilustra um teodolito estacionado no ponto P
e a régua graduada no ponto Q. Do ponto P visa-se o ponto Q com o círculo
vertical do teodolito zerado, ou seja, com a luneta na posição horizontal.
Procede-se a leitura dos fios estadimétricos inferior (FI), médio (FM) e superior
(FS). A distância horizontal entre os pontos será deduzida da relação existente
entre os triângulos a'b'F e ABF, que são semelhantes e opostos pelo vértice.
Rumo e Azimute
Orientação: 45°
Sentido: de A para B.
Extensão: x metros.
ROA = 35º NE
ROB = 35º SE
ROC = 70º SW
ROD = 20º NW
Rumo é o menor ângulo formado entre a linha Norte-Sul e o alinhamento em questão.
Azimute
Azimute é o ângulo formado entre o Norte e o alinhamento em questão. É medido a
partir do Norte, no sentido horário, podendo variar de 0º a 360º.
AzOA = 35º
AzOB = 145º
AzOC = 250º
AzOD = 340º
Conversão de Rumo em Azimute e viceversa
Quadrante NE: Az = 180º
Quadrante SE: Az = 180º - R
Quadrante SW: Az = 180º + R
Quadrante NW: Az = 360º - R
Rumo para Azimute
R = Az
R = 180º - Az
R = Az - 180º
R = 360º - Az
Até o momento, ao falar em rumos e azimutes não foi especificado a sua
referência, a partir do Norte Verdadeiro ou Magnético.
Quando o azimute é medido a partir da linha Norte-Sul verdadeira ou
geográfica, o azimute é verdadeiro; quando é medido a partir da linha
Norte-Sul magnética, o azimute é magnético. O mesmo se dá para os
rumos.
A diferença angular entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é a
Declinação Magnética local. A declinação magnética é sempre medida
do Norte verdadeiro para o magnético.
• Variação geográfica: numa mesma época, cada local apresenta um
determinado valor para a declinação. Os pontos da Terra que, num dado instante,
tem o mesmo valor de declinação, quando ligados por linhas imaginárias, formam
as linhas isogônicas.
• Variação secular: com o decorrer dos séculos, o pólo norte magnético caminha
em torno do
pólo norte verdadeiro, havendo grandes alterações no valor da declinação em um
lugar, mudando inclusive de sentido (de E para W, por ex.).
• Variação anual: esta variação não é bem definida e sua distribuição não é
uniforme pelos meses do ano, sendo pequena e sem importância para trabalhos
topográficos comuns. As linhas que unem locais de mesma varaiação annual da
declinação são ditas isopóricas.
Caminhamento à esquerda ou no sentido horário
Az23 = Az12 – Ai2 + 180°
Az34 = Az23 – Ai3 + 180°
Caminhamento à direita ou no sentido anti-horário
Az23 = Az12 + Ai2 - 180°
Az34 = Az23 + Ai3 - 180°
Generalizando tem-se a Fórmula geral dos azimutes:
Azn = Azn -1 ± Ai ± 180º
Onde:
Azn é o azimute do alinhamento;
Azn-1 é o azimute do alinhamento anterior; e
Ai é o ângulo horizontal interno.
Se (Azn-1 ± Ai) > 180º , subtrai-se 180º; se (Azn-1 ± Ai) < 180º , soma-se 180º.
Médodo do Caminhamento
Perimétrico
Estação
P. Visado
Ai Lido
A
B
90 49 50
B
C
88 35 00
C
D
90 45 10
D
A
89 49 20
Somatório
359 59 20
a) Cálculo do Erro angular de fechamento da poligonal:
ΣAi = (n–2)180°
Onde:
Portanto:
Ai = ângulo lido = ângulo duplo/2
n = n° de vértices
Portanto:
EA=359°59’20” – 360°= – 0° 00 ’40´´
EAT = ± 1’ √ n
ΣAi = (4-2)180° = 360°
Onde:
ΣAi lidos =359°59’20”
EAT = erro angular tolerável
n = n° de vértices
EA=ΣAi lidos–ΣAi
Onde:
EA = erro angular
Portanto:
EAT = ± 1’ √ 4 = ± 2’
b) Distribuição do erro angular:
Normalmente o erro angular é distribuído por vértice em quantidades iguais,
embora a prática tem demonstrado que nas maiores distâncias os erros
angulares são menores.
Ai comp.=EA/n
c) Ângulo compensado:
O ângulo compensado é determinado pela adição ou subtração do erro no ângulo
lido. O somatório do erro por vértice deverá ser igual ao erro total da poligonal. O
sinal da correção deverá ser contrário ao do erro.
Ai compensado = ErroAngular (EA/n), onde n é o
número de vértices, ou seja, Aicomp. = 40´´/4 = 10´´
Angulos compensados
Estação
P. Visado
Ai Lido
Ai comp.
A
B
90 49 50
90 50 00
B
C
88 35 00
88 35 10
C
D
90 45 10
90 45 20
D
A
89 49 20
89 49 30
Somatório
359 59 20
360 graus
d) Azimutes:
A partir do primeiro azimute, medido no campo, são calculados os azimutes dos demais alinhamentos.
Azn =(Azn-1 + Ai ) +180°
Onde:
Azn = azimute do alinhamento;
Azn-1 = azimute do alinhamento anterior; e
Ai = ângulo interno do vértice comum aos dois alinhamentos.
Se o caminhamento for à direita ou no sentido anti-horário, a fórmula fica:
Azn =(Azn-1 + Ai ) +-180°
Se o caminhamento for à esquerda ou no sentido horário a fórmula fica:
Azn =(Azn-1 - Ai ) +-180°.
Se Azn-1 + Ai < 180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) + 180°, porém, se Azn-1 + Ai >
180º, a fórmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) - 180°.
Neste caso,
AzBC = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 88º35’10”) - 180º = 221º48’00”
AzCD = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 90º45’20”) - 180º = 132º33’20”
AzDA = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 89º49’30”) - 180º = 42º22’50”
Estação
P. Visado
Ai Lido
Ai comp.
Azimute
DH (m)
A
B
90 49 50
90 50 00
313 12 50
65,62
B
C
88 35 00
88 35 10
221 48 00
31,61
C
D
90 45 10
90 45 20
132 33 20
65,28
D
A
89 49 20
89 49 30
42 22 50
31,00
Somatório
359 59 20
360 graus
313 12 50
193,51
?
Mira
O instrumento utilizado são os teodolitos providos de fios
estadimétricos, que além de medir ângulos, acumulam também a
propriedade de medir óticamente as distâncias horizontais e
verticais.
Da figura tem-se:
f = distância focal da objetiva
F = foco exterior à objetiva
c = distância do centro ótico do
aparelho à objetiva
C = c + f = constante do instrumento
d = distância do foco à régua graduada
H = AB = B - A = FS - FI = diferença entre as
leituras
M = FM = leitura do retículo médio
Pelas regras de semelhança pode-se escrever que:
Distância Horizontal - Visada Inclinada
Do triângulo AA'M -- MA' = MA . cos α
Do triângulo BB'M -- MB' = MB . cos α
MA' + MB' = (MA + MB) . cos α
MA' + MB' = A'B'
MA + MB = AB = H
Portanto,
A'B' = H . cos
Do triângulo OMR -- OR = OM . cos α
OM = 100 . A'B' + C
OM = 100 . H . cos α + C
OR = (100 . H . cos α + C ) . cos α
DH = OR
portanto,
DH = 100 . H . cos2 α + C . cos α
e) Projeções:
As projeções são calculadas da seguinte forma:
x =DH . sem Az e y =DH . cos Az
Onde:
x = projeção no eixo x;
y = projeção no eixo y;
DH = distância horizontal do alinhamento; e
Az = azimute do alinhamento.
Neste caso:
xAB = DHAB . sen AzAB = 65,62 . sen 313º12’50” = - 47,82
yAB = DHAB . cos AzAB = 65,62 . cos 313º12’50” = 44,93
xBC = DHBC . sen AzBC = 31,61 . sen 221º48’00” = - 21,07
yBC = DHBC . cos AzBC = 31,61 . cos 221º48’00” = - 23,56
xCD = DHCD . sen AzCD = 65,28 . sen 132º33’20” = 48,09
yCD = DHCD . cos AzCD = 65,28 . cos 132º33’20” = - 44,15
xDA = DHDA . sen AzDA = 31,00 . sen 42º22’50” = 20,90
yDA = DHDA . cos AzDA = 31,00 . cos 42º22’50” = 22,90
Estação
P. Visado
Ai Lido
Ai comp.
Azimute
DH (m)
A
B
90 49 50
90 50 00
313 12 50
65,62
B
C
88 35 00
88 35 10
221 48 00
31,61
C
D
90 45 10
90 45 20
132 33 20
65,28
D
A
89 49 20
89 49 30
42 22 50
31,00
Somatório
359 59 20
360 graus
313 12 50
193,51
Projeção Calculada
X
Y
-47,82
44,93
-21,07
-23,56
48,09
-44,15
20,90
22,90
DX = 0,10
DY = 0,12
Correções
Cx
Cy
DX = Somatório de X e DY = Somatório de Y
f) Erro linear:
O erro linear é determinado pela fórmula:
EL = √ (Δx)2 + (Δy)2
0,1² + 0,12²
Onde:
EL = erro linear;
Δx = somatório das projeções do eixo x; e
Δy = somatório das projeções do eixo y.
Neste caso, EL = 0,16 m
O erro linear tolerável é dado pela fórmula:
ELT = 0,8 . √ PERÍMETRO (km), e o Perímetro = 193,51 metros COMO?
Onde:
ELT = erro linear tolerável.
Neste caso, ELT = 0,35 m
g) Correção das projeções:
A correção do erro linear, nos eixos x e y, é dada pela fórmula:
Cx = Δx . DH/perim.
Cy = Δy . DH/perim.
Onde:
Cx = correção da projeção no eixo x;
Cy = correção da projeção no eixo y;
DH = distância horizontal do alinhamento;
Δx = somatório das projeções do eixo x; e
Δy = somatório das projeções do eixo y.
Atenção, o sinal da correção é contrário ao sinal do erro.
Neste caso:
CxAB = Δx . DHAB / PERÍMETRO = 0,10 . 65,62 / 193,51 ≅ 0,03
CyAB = Δy . DHAB / PERÍMETRO = 0,12 . 65,62 / 193,51 ≅ 0,04
CxBC = Δx . DHBC / PERÍMETRO = 0,10 . 31,61 / 193,51 ≅ 0,02
CyBC = Δy . DHBC / PERÍMETRO = 0,12 . 31,61 / 193,51 ≅ 0,02
CxCD = Δx . DHCD / PERÍMETRO = 0,10 . 65,28 / 193,51 ≅ 0,03
CyCD = Δy . DHCD / PERÍMETRO = 0,12 . 65,28 / 193,51 ≅ 0,04
CxDA = Δx . DHDA / PERÍMETRO = 0,10 . 31,00 / 193,51 ≅ 0,02
CyDA = Δy . DHDA / PERÍMETRO = 0,12 . 31,00 / 193,51 ≅ 0,02
h) Projeções compensadas:
A projeção compensada é calculada adicionando ou subtraindo o erro na projeção
calculada:
X’= x + |Cx|
Y’= y + |Cy|
Onde: X’ e Y’ = projeções compensadas nos eixos X e Y, respectivamente;
X e y = projeções calculadas nos eixos X e Y, respectivamente; e
Cx e Cy = correções das projeções nos eixos x e y, respectivamente.
Neste caso:
X’AB = xAB ± ⏐CxAB ⏐=- 47,82 - 0,03 = - 47,85
Y’AB = yAB ± ⏐CyAB ⏐= 44,93- 0,04 = 44,89
X’BC = xBC ± ⏐CxBC ⏐=- 21,07 - 0,02 = - 21,09
Y’BC = yBC ± ⏐CyBC ⏐=- 23,56 - 0,02 = - 23,58
X’CD = xCD ± ⏐CxCD ⏐= 48,09- 0,03 = 48,06
Y’CD = yCD ± ⏐CyCD ⏐=- 44,15 - 0,04 = - 44,19
X’DA = xDA ± ⏐CxDA ⏐= 20,90- 0,02 = 20,88
Y’DA = yDA ± ⏐CyDA ⏐= 22,90- 0,02 = 22,88
Obs: Se a correção está correta, o somatório das projeções deverá ser igual a zero.
DX = Somatório de X e DY = Somatório de Y
Estação
P. Visado
Ai Lido
Ai comp.
Azimute
DH (m)
A
B
90 49 50
90 50 00
313 12 50
65,62
B
C
88 35 00
88 35 10
221 48 00
31,61
C
D
90 45 10
90 45 20
132 33 20
65,28
D
A
89 49 20
89 49 30
42 22 50
31,00
Somatório
359 59 20
360 graus
313 12 50
193,51
Projeção Calculada
Correções
Projeções Compensadas
X
Y
Cx
Cy
X´
Y´
-47,82
44,93
0,03
0,04
-47,85
44,89
-21,07
-23,56
0,02
0,02
-21,09
-23,58
48,09
-44,15
0,03
0,04
48,06
-44,19
20,90
22,90
0,02
0,02
20,88
22,88
DX = 0,10
DY = 0,12
0,10
0,12
0,00
0,00
Cálculo de Coordenadas
a) Coordenadas dos vértices da poligonal de apoio (Não acabou):
As coordenadas são calculadas por soma algébrica das projeções
compensadas, partindo das coordenadas do ponto inicial:
Xn= Xn-1+X’
Yn= Yn-1+Y’
Onde:
Xn= abcissa do ponto;
Yn= Ordenada do ponto;
Xn-1= abcissa do ponto anterior;
Yn-1 = ordenada do ponto anterior;
X’ = projeção compensada no eixo x; e
Y’ = projeção compensada no eixo y.
OBS: ponto conhecido é colocado na origem.
Neste caso:
Vamos arbitrar que XA = 0,00 e YA = 0,00.
XB = XA + X’AB = 0,00 + (- 47,85) = - 47,85
YB = YA + Y’AB = 0,00 + 44,89 = 44,89
XC = XB + X’BC = - 47,85 + (- 21,09) = - 68,94
YC = YB + Y’BC = 44,89 + (- 23,58) = 21,31
XD = XC + X’CD = - 68,94 + 48,06 = - 20,88
YD = YC + Y’CD = 21,31 + (- 44,19) = - 22,88
Projeção Calculada
X
Y
Correções
Cy
Estação
P. Visado
Ai Lido
A
B
90 49 50
-47,82
44,93
0,03
0,04
B
C
88 35 00
-21,07
-23,56
0,02
0,02
C
D
90 45 10
48,09
-44,15
0,03
0,04
D
A
89 49 20
20,90
22,90
0,02
0,02
Somatório
359 59 20
DX = 0,10
DY = 0,12
0,10
0,12
Projeções Compensadas
Cx
Coordenadas (Poligona de Apoio)
X´
Y´
X
Y
-47,85
44,89
0,00
0,00
-21,09
-23,58
-47,85
44,89
48,06
-44,19
-68,94
21,31
20,88
22,88
-20,88
-22,88
0,00
0,00
0,00
0,00
Cálculo das coordenadas dos vértices da poligonal de interesse:
Estação
P. Visado
Ai Lido
A
a
19 23 40
8,07
B
B
73 04 20
8,46
C
c
16 08 10
5,83
D
d
62 02 00
6,00
DH
Cálculo do Azimute.
Para todos os vértices
A para a, B para b e ...
Vértice a:
AzAa = (AzDA + Ai) ± 180º = (42º22’50” + 19º23’40”) + 180º = 241º46’30”
X’Aa = DHAa . sen AzAa = 8,07 . sen 241º46’30” = - 7,11
Y’Aa = DHAa . cos AzAa = 8,07 . cos 241º46’30” = - 3,82
Xa = XA + X’Aa = 0,00 + (- 7,11) = - 7,11
Ya = YA + Y’Aa = 0,00 + (- 3,82) = - 3,82
Vértice b:
AzBb = (AzAB + Ai) ± 180º = (313º12’50” + 73º04’20”) - 180º = 206º17’10”
X’Bb = DHBb . sen AzBb = 8,46 . sen 206º17’10” = - 3,75
Y’Bb = DHBb . cos AzBb = 8,46 . cos 206º17’10” = - 7,58
Xb = XB + X’Bb = - 47,85 + (- 3,75) = - 51,60
Yb = YB + Y’Bb = 44,89 + (- 7,58) = 37,31
Vértice c:
AzCc = (AzBC + Ai) ± 180º = (221º48’00” + 16º08’10”) - 180º = 57º56’10”
X’Cc = DHCc . sen AzCc = 5,83 . sen 57º56’10” = 4,94
Y’Cc = DHCc . cos AzCc = 5,83 . cos 57º56’10” = 3,09
Xc = XC + X’Cc = - 68,94 + 4,94 = - 64,00
Yc = YC + Y’Cc = 21,31 + 3,09 = 24,40
Vértice d:
AzDd = (AzCD + Ai) ± 180º = (132º33’20” + 62º02’00”) - 180º = 14º35’20”
X’Dd = DHDd . sen AzDd = 6,00 . sen 14º35’20” = 1,51
Y’Dd = DHDd . cos AzDd = 6,00 . cos 14º35’20” = 5,81
Xd = XD + X’Dd = - 20,88 + 1,51 = - 19,37
Yd = YD + Y’Dd = - 22,88 + 5,81 = - 17,07
Reconstituição de poligonais
É possível, a partir das coordenadas dos vértices de uma poligonal, calcular os seus elementos:
a) Cálculo da distância horizontal:
_________________
DH12 = √ (X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²
b) Cálculo de azimutes:
arc tg R12 = (X2 - X1) / (Y2 - Y1)
Definição do quadrante:
+/+ → NE Az = R
+/- → SE Az = 180º - R
-/- → SW Az = 180º + R
-/+ → NW Az = 360º - R
Após a definição do quadrante, transforma-se o rumo em azimute.
c) Cálculo dos ângulos internos:
Azn = Azn-1 ± Ai ± 180º
Ai = Azn - Azn-1 ± 180º
Cálculo da Área
2 . S = {- 7,11 . [37,31 - (-17,07]} + {- 51,60 . [24,40 - (- 3,82)]} +
+ [64,00 . (- 17,07 - 37,31)] + [- 19,37 . (- 3,82 - 24,40)]
2 . A = - 386,6418 + (- 1456,1520) + 3480,3200 + 546,6214 = 2184,1476
S = 1092,0738 m2
ou
2 . S = {- 3,82 . [- 51,60 - (-19,37)]} + {37,31 . [- 64,00 - (- 7,11)]} +
+ {24,40 . [- 19,37 - (- 51,60)]} + {- 17,07 . [- 7,11 - (- 64,00)]}
2. S = - 2184,1476
S = 1092,0738 m2
1.De um piquete (A) foi visada uma mira colocada em um outro piquete (B). Foram feitas as seguintes
leituras:
fio inferior = 0,417m
fio médio = 1,518m
ângulo vertical = 5º30' em visada descendente (A  B)
altura do instrumento (A) = 1,500m
Calcule a distância horizontal entre os pontos (AB) sabendo-se que a luneta é do tipo analática.
2.Considerando os dados do exercício anterior, calcule a distância vertical ou diferença de nível entre os
pontos e determine o sentido de inclinação do terreno.
3.Ainda em relação ao exercício anterior, determine qual é a altitude (h) do ponto (B), sabendo-se que a
altitude do ponto (A) é de 584,025m.
4.Um teodolito acha-se estacionado na estaca número (1) de uma poligonal e a cota, deste ponto, é
200,000m. O eixo da luneta de um teodolito encontra-se a 1,700m do solo. Para a estaca de número
(2), de cota 224,385; foram feitas as seguintes leituras:
retículo inferior = 0,325m
retículo superior = 2,675m
Calcule a distância horizontal entre as estacas.
5.De um ponto com altitude 314,010m foi visada uma régua, situada em um segundo ponto de altitude
345,710m. Com as leituras: α = 12º em visada ascendente; I = 1,620m; e sabendo-se que a distância
horizontal entre estes pontos é de 157,100m; calcule H, FM, FI, FS.
Boa Tarde, boa semana.