Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática e Estatística - UFF Gabarito da Primeira Prova de Cálculo III-A 2012-II Prof. Jorge Delgado Turma G1 Questão 1 (2,0 pontos) Inverta a ordem de integração para calcular: Zπ Zπ x 0 0 ≤ x ≤ π Solução: A região de integração é D : x ≤ y ≤ π , sen y dy dx. y 0 ≤ y ≤ π que também se representa como D : 0 ≤ x ≤ y . Assim, como a função do integrando é contínua na região D, temos: Zπ Zπ 0 sen y dy dx y x Zπ Zy = 0 Zπ sen y sen y dx dy = y y 0 0 Zπ Zπ Zy sen y dx dy = y 0 0 Z y dx dy 0 π π sen y sen y sen y dy y − 0 dy = y dy = y y 0 0 0 = Z π 0 − cos y = Z = −[cos π − cos 0] = −[−1 − 1] = 2. y = x y r 2 = 4 cos(2θ) Questão 2 (2,0 pontos) Use integral dupla para calcular a área da região R delimitada pela curva "Lemniscata" r 2 = 4 cos(2θ) R R x Indicação: Basta calcular a área da região R no primeiro quadrante. Questão 2 Solução: Por simetria, basta calcular a área da parte D de R localizada no primeiro quadrante do plano, isto é, D = {(x, y) ∈ R|x ≥ 0 e y ≥ 0}, pois Área(R) = 4 Área(D). Em coordenadas polares a região D se descreve por: Dr θ 0 ≤ θ ≤ π 4 : p 0 ≤ r ≤ 4 cos(2θ) . Logo, pela fórmula de mu- dança de variáveis, temos: ZZ Área(D) ZZ dA = = dx dy = D Z = π 4 0 = ZZ r dr dθ = D Dr θ √ r2 2 0 4 cos(2θ) Z Z Z √4 cos(2θ) 0 π 4 r dr dθ 0 Z π 4 4 cos(2θ) dθ = dθ = cos(2θ) 2 dθ 2 0 0 π π π sen(2θ)|04 = sen 2 = sen = 1. Logo, Área(R) = 4 Área(D) = 4 × 1 = 4 u.a. π 4 4 2 2 Questão 3 (2,0 pontos) Usando coordenadas cilíndricas, calcule o momento de inércia em torno do eixo-z do sólido homogêneo G de densidade 1, delimitado superiormente pela esfera de centro na origem e raio 1 e inferiormente pelo plano xy. Solução: O momento de inércia do sólido G em relação ao eixo-z é dado por ZZZ Iz (G) = r 2 (x, y, z) δ(x, y, z) dx dy dz, G onde r (x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ∈ G ao eixo-z e δ(x, y, z) é a função de densidade que, em nosso caso, é constante igual a 1. Note que a distância do ponto (x, y, z) ao eixo-z é a mesma que a distância do ponto q (x, y, 0) à origem: r (x, y, z) = x 2 + y 2 . Em coordenadas cilíndricas, o sólido G se descreve por: Gr θz 0≤r ≤1 : 0 ≤ θ ≤ 2π √ 0 ≤ z ≤ 1 − r 2 , e, portanto, o momento de inércia de G em relação ao eixo-z se calcula como: ZZZ Iz (G) Z 1 Z 2π Z √1−r 2 2 r r dr dθ dz = = Gr θz r r dz dθ dr = 0 0 3 Z 2π Z √1−r 2 0 0 Z1 Z1 p p r 2 1 − r 2 (−2r )dr . r 3 1 − r 2 dr = −π 0 0 2π = Z1 3 dz dθ dr 0 0 Fazendo a substituição u = 1 − r 2 , temos du = −2r dr , r 2 = 1 − u, u = 1 quando r = 0 e u = 0 quando r = 1. Assim, Z0 Iz (G) = Z1 √ (1 − u) u du = π −π 1 1 2 3 2 (u − u ) du = π 0 " 3 5 #1 u2 u2 − =π 3/2 5/2 0 2 2 − 3 5 =π 10 − 6 4π = . 15 15 Questão 4 (2,0 pontos) A transformação linear (u, v, w) = (3x, 2y, 5z) leva a esfera unitária S : x 2 + y 2 + z2 = 1 no elipsóide E : u2 v2 w2 + + = 1. Calcule o volume da região W do espaço delimitada pelo elipsóide E. 9 4 25 Solução: Seja (u, v, w) = T (x, y, z) = (3x, 2y, 5z) a transformação linear que leva a esfera unitária no elipsóide. O sólido W delimitado pelo elipsóide E é obtido aplicando T à esfera sólida Wxyz delimitada pela esfera S, logo, pela fórmula de mudança de variáveis, temos: ZZZ ZZZ ZZZ Vol(W ) = dV = du dv dw = W 3 onde J = det 0 0 0 2 0 0 W |J|dx dy dz, Wxyz 4π 13 0 , = 30. Como o volume da esfera Wxyz de centro na origem e raio 1 é igual a 3 5 obtemos: ZZZ Vol(W ) = 30 Wxyz dx dy dz = 30 Vol(Wxyz ) = 30 · 4π = 40π u.v. 3 3 z γ(t) Questão 5 (2,0 pontos) S Calcule a área do pedaço S do cilindro x 2 + y 2 = 2, compreendida entre o plano z = 0 e o arco da hélice t γ(t) = 2 cos t, 2 sen t, 2 , com 0 ≤ t ≤ 2π . 2 2 y x Questão 5 Solução: O círculo C de centro na origem e raio 2 contido no plano xy, base da superfície S, se parametriza por σ (t) = (2 cos t, 2 sen t), 0 ≤ t ≤ 2π . Sendo x = 2 cos t, y = 2 sen t, temos t = arctan função f (x, y) = y . Logo, a altura da superfície varia ao longo do círculo C pela x 1 y arctan , (x, y) ∈ C. Usando a parametrização do círculo, temos 2 x 2 sen t 1 t 1 = arctan(tan t) = , f (σ (t)) = f (2 cos t, 2 sen t) = arctan 2 2 cos t 2 2 e, como p kσ 0 (t)k = k(−2 sen t, 2 cos t)k = 4 sen2 t + 4 cos2 t = 2, obtemos: Z 2π Z f (x, y) ds = Área(S) = C 0 f (σ (t))kσ 0 (t)k dt = Z 2π 0 2π Z 2π t · 2 dt = 2 0 t dt = t2 2 0 = 4π 2 = 2π 2 u.a. 2